2020年北师大九年级上《第4章图形的相似》单元测试含解析VIP

1、第4章图形的相似、选择题DEF与1 .如图，A, B, C, D, E, G, H, M, N都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使 ABCffi似，则点F应是G, H, M, N四点中的（）第2页（共26页）A. H 或 N B. G或 HC. M或 ND. G或 M2. 4ABC与ADEF的相似比为1:4,则 AB* DEF的周长比为（）A. 1: 2 B.1:3 C.1:4 D .ABEC3.如图，在 ABC中，DE/ BC,1,1,则4 .在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下:甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为 则新三角形与原三

2、角形相似.对于两人的观点，下列说法正确的是（）圄1图2乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为 新矩形与原矩形不相似.5 .如图，4ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中： /ACP玄B;/APCW ACRAC2=AP?AB;AB?CP=APCB,能满足 APC和4ACB相似的条件是（A.B.C.D.6 .如图，在？ ABC邛，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F,则EF: FC等于（A. 3: 2 B . 3: 1 C . 1 : 1 D. 1: 27 .四边形ABC内四边形 A B' C D'位似，O为位似中心，若 OA

3、OA =1: 3,则 S四边形ABCD S四边形 ABCD=（）A. 1:9 B.1:3 C.1:4 D.1:58 .小刚身高1.7m,测得他站立在阳光下的影长为0.85m,紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为1.1m,那么小刚举起手臂超出头顶（）A. 0.5 m B. 0.55 m C. 0.6 m D. 2.2 mAD I'9 .如图，在 ABC中，DE/ BC,=,则下列结论中正确的是()A AE 1 DE 1AM 一亍B前一亍ADE的周长1 CADE的面积1C. =一D.一：面 =一10 .如图，已知AR CD EF都与BD垂直，垂足分别是 B D F,且AB=1, CD=3那么

4、EF的长是（）第4页(共26页)二、填空题11 .若片号则普 I? .? b12 .如果旦=工=巨=卜(b+d+fw0),且 a+c+e=3 (b+d+f),那么 k= . b d f18,则较小13 .已知一个三角形的三边长分别为6, 8和10,与其相似的一个三角形的最短边长为三角形与较大三角形的相似比k=.14 .在 ABC中，AB=12cm BC=18cm AC=24cm另一个与它相似的 A B' C'的周长为18cm,则 A' B' C各边长分别为.15 .如图，一束光线从点 A (3, 3)出发，经过y轴上点C反射后经过点B (1, 0),则光线从点

5、A到点B经过的路径长为EF=2,贝U AC的长16 .如图，AB CD相交于点 O, OC=Z OD=3 AC/ BD, EF是 ODB勺中位线，且为17 .如缸在 ABC中，DE" BG罂栏，4DE的面而是8,则ABC的面积为18 .如图，在正方形 ABCDK 点E是BC边上一点，且 BE EC=2: 1, AE与BD交于点F,则 AFD解答题19.已知线段 a, b, c, d成比例，且 a=6dn b=3dn求线段c的长度.20.4k - 3V 1,求工的值.已知a、b、c是 ABC的三边，且满足a+4 b+3 c+822.如图， ABC中，CD是边AB上的高，且324AD C

6、D,且a+b+c=12,请你探索 ABC的形状.(1)求证： ACD CBD(2)求/ ACB的大小.BC的延长线于点G.E、F分别是边 AD. CD上的点，AE=ED DF=DQ连接EF并延长交(1)求证： AB& DEF，(2)若正方形的边长为 4,求BG的长.(1)若 ABC与 EBD的周长之差为(2)若 ABC与 EBD的面积之和为24.某小区居民筹集资金 1600元，计划在两底分别为 10m 20m梯形空地上种植种植花木，如图：(1)他们在 AM丽BMCM带上种植太阳花，单价为 8元/m2,当 AMD%带种满花后(图中阴影部分)，共花了 160元，计算种满 BMCfe带所需费

7、用.(2)若其余地带有玫瑰、茉莉两种可供选择，单价分别为12元/m2、10元/m2,应选哪种花木，刚AB _BC _AC _5EB -BD -ED 可60cm,求这两个三角形的周长.812cm2,求这两个三角形的面积.26.某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在?岸边选择了一点B (点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸).小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示,这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；小明站在原地转动 180。后蹲下，并保持原来的观察姿态

8、(除身体重心下移外， 其他姿态均不变) 这时视线通过帽檐落在了 DB延长线上的点E处，此时小亮测得 BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距 离 CB=1.2 米.第11页（共26页）第4章图形的相似参考答案与试题解析一、选择题1 .如图，A,B,C,D,E,G,H,M,N都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使DEF与 ABCffi似，则点F应是G, H, M, N四点中的（）A. H 或 N B. G或 HC. M或 ND. G或 M【考点】相似三角形的判定.【专题】压轴题；网格型；数形结合.【分析】根据两三角形三条边对应成比例，两三角形相似进行解答.【解答】解：设小正方形的边长为1,则

9、ABC的各边分别为3、6、VW,只能F是M或N时,其各边是6、2丁后，2/10.与 ABC各边对应成比例，故选 C.【点评】此题考查三边对应成比例，两三角形相似判定定理的应用.2. 4ABC与4DEF的相似比为1:4,则 AB* DEF的周长比为（）A. 1: 2 B. 1: 3 C. 1: 4 D. 1: 16【考点】相似三角形的性质.【分析】由相似三角形周长的比等于相似比即可得出结果.【解答】解：. ABC< DEF的相似比为1: 4,.ABC与4DEF的周长比为1: 4;故选：C.【点评】本题考查了相似三角形的性质；熟记相似三角形周长的比等于相似比是解决问题的关键.3 .如图，在

10、ABC中，DE/ BC,若过一,则叫=（【考点】平行线分线段成比例.【分析】直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可.【解答】解：= DE/ BG,AE AD 2 - 一 一.EC DB 3故选C.【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答本题的关键，属于基础定义 或定理，难度不大.4 .在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1,则新三角形与原三角形相似.乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为 1,则 新矩形与原矩形不相似.对于两人的观点，下列说

11、法正确的是（）.11一工： T1 IMI JS1图2A.两人都对B .两人都不对C.甲对，乙不对 D.甲不对，乙对【考点】相似三角形的判定；相似多边形的性质.【专题】数形结合.【分析】甲：根据题意得：AB/ A B' , AC A C' , BC/I B' C',即可证得/ A=Z A , Z B=Z B', 可得 ABSLA B' C'乙：根据题意得：AB=CD=3 AD=BC=5 贝UAB'=C D' =3 +2=5, AD'=B'C'=5 +2=7,则可得二,即新矩形与原矩形不相似.【解答】解

12、：甲：根据题意得：AB/ AB',AC/ AC',BC/B'C',./A=/A' , / B=Z B',.ABSXA B' C',二甲说法正确；乙：.根据题意得：AB=CD=3 AD=BC=5 则 A B' =C' D' =3+2=5, A D' =B' C =5 +2=7,，新矩形与原矩形不相似.，乙说法正确.故选：A.【点评】此题考查了相似三角形以及相似多边形的判定.此题难度不大，注意掌握数形结合思想的 应用.5 .如图，4ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中： /ACP=Z B

13、;/APCW ACBAC2=AP?AB;AB?CP=APCB,能满足 APC和4ACB相似的条件是（A. B,C.D.【考点】相似三角形的判定.【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对进行判断；根据两组对应边的比相等且 夹角对应相等的两个三角形相似可对进行判断.【解答】解：当/ ACPW B,/ A公共，所以 APS ACB当 / APC之 ACB/ A公共，所以 APS ACB当 AC2=AP?AB,即 AC AB=AP AC,/A公共，所以 APS ACBr AP当 AB?CP=APCB,即 £-=-,BC AB而 / PAC=Z CAB所以不能判断 APC和AACB相似

14、.故选D.【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； 有两组角对应相等的两个三角形相似.6 .如图，在？ ABCDK 点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F,则EF: FC等于（A. 3: 2 B . 3: 1 C . 1 : 1 D. 1: 2【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质.【专题】几何图形问题.DE EF【分析】根据题意得出 DEDABCF,进而得出多方不时，利用点E是边AD的中点得出答案即可.【解答】解：? ABCD故AD/ BC, . DED BCF,，些旦IbcTfc点E是边AD的中点，AE=DE=-AD, :,EF_

15、1=FC 2故选：D.【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出 DEM BCF是解题关键.7.四边形ABC内四边形A B' C D'位似，O为位似中心，若 OA OA =1: 3,则S四边形abcD S四边形 AB'C D=()A. 1:9 B.1:3 C.1:4 D.1:5【考点】位似变换.【分析】四边形ABC内四边形 AB'CD'位似，四边形ABCDo四边形AB'CD',可知AD/A' D' , OADAOA D',求出相似比从而求得S四边形abcD S四边形ab'c

16、'd，的值.【解答】解：.四边形 ABCM四边形A B' C' D'位似，四边形ABCm四边形A B' C D', .AD/ A D', .OADAOA D', .OA O' A =AD A D' =1：3,一S四边形abcD S四边形a b 'c'd=1 : 9 .故选：A.【点评】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积 比等于相似比的平方.8.小刚身高1.7m,测得他站立在阳光下的影长为0.85m,紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为1.1 m,那么小刚举起

17、手臂超出头顶（）A. 0.5 mB. 0.55 mC. 0.6 m D. 2.2 m【考点】相似三角形的应用.【分析】根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出手臂竖直举起时总高度x,即可列方程解出x的值，再减去身高即可得出小刚举起的手臂超出头顶的高度.【解答】解：设手臂竖直举起时总高度xm,列方程得：LT二工0. 85- 1.1，解得x=2.2 ,2.2 - 1.7=0.5m ,所以小刚举起的手臂超出头顶的高度为0.5m .故选：A.【点评】本题考查了相似三角形的应用，解答此题的关键是明确在同一时刻物体的高度和影长成正比.9.如图，在 ABC中，DE/ BC,瞿=,则下列结论中正确的是（）第1

18、5页（共26页）A普弓陶ADE的周长i_ ZkADE的面积1_C 山面周长|=kD 广丁直可=【考点】相似三角形的判定与性质.AB AC BC '【分析】由DE/ BC,可彳# AD ABC；然后由相似三角形的对应边成比例可得后由即可判断A、B的正误，然后根据相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方即可判断 G D的正误.【解答】解：= DE/ BG . ADa ABG故A、B选项均错误;ADa ABG.N零理长望.财=4上 ABC的周长；皿 5' ZkABC的面积 （够 9,故C选项正确，D选项错误.故选C.【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键

19、是：熟记相似三角形的对应边之比等于 相似比；相似三角形的周长之比等于相似比；相似三角形的面积之比等于相似比的平方.10.如图，已知AR CD EF都与BD垂直，垂足分别是 B D F,且AB=1, CD=3那么EF的长是（）5DA.B.C.D-【考点】相似三角形的判定与性质.【分析】易证 DEDADAE ABEF BCD根据相似三角形的性质可得EF DF EF BF= 一 :=AB DB ' CD BD可得EF EF DF BF大丁+7；万=而"+二"1.然后把 AB=1, CD=3代入即可求出 EF的值. AT- LU Ud DU【解答】解：: AR CD EF都

20、与BD垂直,AB/ CD/ EF, . DED DAB BEQ BCD.EE=DF "AB=DBEF BFCDBDEFEFDFBFBDABr -CT'DB+ - bd|ED AB=1, CD=3三十y故选C.【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，发现口F BF器旁7=1是解决本题的关键.Dd dU、填空题11.若春则【考点】比例的性质.【专题】常规题型.【分析】根据比例的性质求出的值，然后两边加1进行计算即可得解.【解答】解:二=1故答案为:143【点评】本题考查了比例的性质，根据已知条件求出的值是解题的关键.ace12.如果 j=y=1=k (b+d+fw0),且

21、 a+c+e=3 (b+d+f),那么 k= 3 . D <1 I【考点】比例的性质.【分析】根据等比性质，可得答案.【解答】解：由等比性质，得 k=h t=3,故答案为：3.【点评】本题考查了比例的性质，利用了等比性质：子=-=f-=k? k=r=T7b a f b B+d+f13 .已知一个三角形的三边长分别为6, 8和10,与其相似的一个三角形的最短边长为18,则较小三角形与较大三角形的相似比k=.3 【考点】相似三角形的性质.【分析】由一个三角形的三边长分别为6, 8和10,与其相似的一个三角形的最短边长为18,根据相似比等于对应边的比，即可求得答案.【解答】解：.一个三角形的三

22、边长分别为6, 8和10,与其相似的一个三角形的最短边长为18,，较小三角形与较大三角形的相似比k=Y= .故答案为：工.3【点评】此题考查了相似比的定义.此题比较简单，解题的关键是熟记定义.14 .在 ABC中，AB=12cm BC=18cm AC=24cm另一个与它相似的 A B' C'的周长为18cm,则A' B' C 各边长分别为4cm, 6cm, 8cm .【考点】相似三角形的性质.【分析】由 A B' C' s abc根据相似三角形周长的比等于相似比，即可求得答案.【解答】解：. A B' C' s abg.A'

23、; B' C'的周长： ABC的周长=& B' : AB,.在 ABC中，AB=12cm BC=18cm AC=24cm.ABC 的周长为：54cm, .A' B' C'的周长为 18cm,BC A' B' : AB=A C' : AC=B C'.A' B' =4cn B' C =6cn A C =8cm故答案为：4cm, 6cm, 8cm.【点评】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.15 .如图，一束光线从点 A (3, 3)出发，经过y轴上点C反射后

24、经过点B (1, 0),则光线从点 A到点B经过的路径长为5 .第17页(共26页)第22页（共26页）【考点】解直角三角形的应用.【专题】计算题；压轴题.路径长就【分析】延长 AC交x轴于B'.根据光的反射原理，点B、B'关于y轴对称，CB=CB .是AB'的长度.结合 A点坐标，运用勾股定理求解.【解答】解：如图所示，延长AC交x轴于B'.则点 B B'关于y轴对称，CB=CB .作 ADL x 轴于 D点.贝U AD=3 DB =3+1=4. .AB' =AC+CB =AC+CB=5即光线从点A到点B经过的路径长为5.【点评】本题考查了直角

25、三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，构造直角三角形是解决本 题关键.AC的长16.如图，AB CD相交于点 O, OC=Z OD=3 AC/ BD, EF是 ODB勺中位线，且 EF=2,为二一【考点】三角形中位线定理.【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出DB再根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解.【解答】解：: EF是ODB的中位线,DB=2EF=2< 2=4, AC/ BD, .AOS ABOD,AC DCDB 0E解得AC故答案为:一8_3【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定与性质，熟记定理与性质是

26、解题的关键.【考点】相似三角形的判定与性质. ADE的面积是8,则 ABC的面积为18ADa ABC；根据相似三角形的性质，可得答案.【分析】根据相似三角形的判定，可得【解答】解；二.在 ABC中，DE/ BC, . ADa ABC君ZUDE 川E,2、2y =年应 BC， 39842AAEC §， S»A AB(=18,故答案为：18.【点评】本题考查了相似三角形判定与性质，利用了相似三角形的判定与性质.18.如图，在正方形 ABCN,点E是BC边上一点，且 BE EC=2: 1, AE与BD交于点F,则 AFD与四边形DEFC勺面积之比是9: 11【考点】正方形的性质；

27、相似三角形的判定与性质.【专题】压轴题.【分析】根据题意，先设 CE=X, SABEF=a,再求出Saadf的表达式，利用四部分的面积和等于正方形的面积，得到x与a的关系，那么两部分的面积比就可以求出来.【解答】解：设CE=x, SABEF=a,CE=x, BE: CE=2 1,BE=2x, AD=BC=CD=AD=3x BC/ AD).1. / EBF=Z ADF又. / BFE=Z DFA; . EBF ADFSA BEF： SA AD=端"）得，那么sEEAD叭AD=a., SA BCD SA BE=S 四边形 EFD=S 正方形 ABCD- SA ABE SAADF>-

28、a=9x -x 3x ?2x -可化简可求出x2=9 Sa AFD： S 四边形DEF=目：一；”=9_ 产11a =9 : 11,故答案为9: 11.【点评】此题运用了相似三角形的判定和性质，还用到了相似三角形的面积比等于相似比的平方.d 成比例，且 a=6dn b=3dnc的长度.三、解答题19 .已知线段a, b, c,【考点】比例线段.【分析】根据比例线段的定义得出【解答】解：根据题意,解得：c=3, 答：线段c的长度为3dmi的值.【点评】本题主要考查比例线段，掌握比例线段的定义是关键.20 .若【考点】比例的性质.【分析】首先由已知条件可得 X=; 然后再代入（即可求值.【解答】解

29、:l- 8x- 6y=x y,【点评】此题主要考查了比例的性质,关键是掌握内项之积等于外项之积.21.已知a、b、c是 ABC的三边,且满足,且a+b+c=12,请你探索 ABC的形状.【考点】勾股定理的逆定理.【专题】探究型.【分析】令 史二上=k.根据a+b+c=12,得到关于k的方程，求得k值，再进一步求得 a, 324b, c的值，从而判定三角形的形状.【解答】解：令迎上3W=k. 324a+4=3k, b+3=2k, c+8=4k,a=3k- 4, b=2k 3, c=4k -8.又 = a+b+c=12, (3k-4) + (2k-3) + (4k-8) =12,k=3.a=5,

30、b=3, c=4 . .ABC是直角三角形.【点评】此题能够利用方程求得k的值，进一步求得三角形的三边长，根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状.22.如图， ABC中，CD是边AB上的高，且AD CDCD BD ,第26页（共26页）(1)求证： ACD CBD(2)求/ ACB的大小.【考点】相似三角形的判定与性质.AC8 CBDA=Z BCD然后由/ A+【分析】(1)由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明4(2)由(1)知AACDACBtD然后根据相似三角形的对应角相等可得：/Z ACD=90 ,可得：/ BCD吆 ACD=90 ,即 / ACB=90 .【解答】(1)证明

31、：.CD是边AB上的高，/ ADC=/ CDB=90 ,.AD = CD, CD = BE , .ACD ACBtD(2)解：. ACD CBDA=/ BCD在 ACD中，/ ADC=90 ,. / A+/ACD=90 , ./ BCD+Z ACD=90 ,即/ACB=90 .【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的判定定理与性质 定理.23.如图，在正方形ABCN, E、F分别是边 AR CD上的点，AE=ED DFDQ连接EF并延长交BC的延长线于点G.(1)求证： AB& DEF，（2）若正方形的边长为 4,求BG的长.【考点】相似三角形的判定；正

32、方形的性质；平行线分线段成比例.【专题】计算题；证明题.【分析】（1）利用正方形的性质，可得/ A=/D,根据已知可得 三理，根据有两边对应成比例 AB EE且夹角相等三角形相似，可得 ABa DEF（2）根据平行线分线段成比例定理，可得 CG的长，即可求得 BG的长.【解答】（1）证明：.ABCM正方形，AD=AB=DC=BC/ A=Z D=90 , AE=ED.蛆 一2,d df'dg 4,DF 1DE2,.AE DF-AB DE'.AB& DEF;（2）解：ABCM正方形，ED/ BG,即二 DF"CG -CF ?又DF:LdQ正方形的边长为 4,4，E

33、D=2 CG=6BG=BC+CG=10【点评】此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性 质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用.解题的关键是数形结合思想的应用.24. （10分）（2012?富顺县校级模拟）某小区居民筹集资金1600元，计划在两底分别为 10n 20m梯形空地上种植种植花木，如图：（1）他们在 AM丽BMCM带上种植太阳花，单价为 8元/m2,当 AMD%带种满花后（图中阴影部分），共花了 160元，计算种满 BMCfe带所需费用.（2）若其余地带有玫瑰、茉莉两种可供选择，单价分别为12元/m2、10元/m2,应选哪种花木，刚好用完所筹

34、资金？【考点】相似三角形的应用.【专题】应用题.【分析】（1）易得 AMWBMC根据BC=2AM彳导S；Abm=4Saamd据此可彳#种满 BMM花费；根据每平方米 8元来看， AM面积为20平米方米， BMC®积为80平方米，因此可以得出 梯形的高也就是两三角形高的和为 12米，那么可得梯形面积为 180平方米，还有80平方米未种, 800元未用，所以要选择每平方米十元的茉莉花.【解答】解：（1）二.四边形ABC虚梯形，AD/ BC, / MADh MCB / MDA= MBC . .AM由 ACMB S»aamD S»abm= (10: 20 ) =1 : 4.种植 AM龙带花费160元，单价为8元/m： S>a cM=80m,.BMCM带所需的费用为 8X 80=640 （元）；（2）设 AM而高为h1, BMC勺高为h2,梯形ABC而高为h.am=Lx10hi=201 %=4,bcM20h2=80,h2=8,S梯形 abc=1 (AD+BC ?h=X (10+20) X (4+8)=180.SA am+Sa dm=180 -20- 80=80 (m2),160+640+80X 12=1