2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(江西卷,含答案)(一)

1、绝密启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)数学(理科)本试卷分第I卷(选择题)和第I【卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页，第I【卷3至4页。全卷 满分150分。考试时间120分钟。考生注意：1 .答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘帖的条形 码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2 .第【卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号°第II卷用0.5亳米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷 上答题，答案无效。4.考试结束，监

2、考员将试题卷、答题卡一并收回。第I卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分:在每个小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。L 设集合 M二1, 2, zi,i 为虚数单位，N=3, 4, MAN=4,则复数 z二 ()A. -2iB. 2i C. -4i D.4i2 .函数尸4In (1-x)的定义域为 ( )A. (0, 1)B. 0, 1)C. (0, 1 D. 0, 13 .等比数列x, 3x+3, 6x+6,的的第四项等于 ( )A. -24B.OC. 12D. 244 .总体由编号为01, 02,，19, 20的20个个体组成.利用下面的随机数

3、表选取5个个体，选取方法 从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的 编号为()7816657208026314070243699728019832049234493482003623486969387481A. 08B. 07C. 02D. 0125.(工2-'3 )5展开式中的常数项为 )A. 80B. -80C.4022D. -406.若，S产3卢广上七，e'd孙 则si, s2, s3的大小关系为A. si FI *'! <s2<s3B. s2<sl<s3C. s2<s3<sl D

4、. s3<s2<sl7 .阅读如下程序框图，如果愉出i=5,那么在空白矩形框中应填入的语句为A. S=2*i-2C. S=2*IB. S=2*i-1D. S=2*i+48 .如果，正方体的底而与正四而体的底面在同一平而o上，且AB/CD,正方体的六个而所在的平而 与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m, n,那么m+n=A. 8B. 9C. 10D. 11、受9.过点(，0) 面积取最大值时,V3A. 3引直线i的曲线，直线i的斜率等于V13B.- 3y=、，牙相交于4.8两点0为坐标原点，当AAOB的10.如图，半径为1的半圆0与等边三角形 ABC夹在两平行线T, i2之间，i

5、T,1与半圆相交于F,G两点，与三角形ABC 两边相交于E,D两点。设弧 FG 的长为 x (0<x< n ), y=EB-BC+CD, 若i从T平行移动到i2,则函数-f(x) 的图像大致是第II卷注意事项：第卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答，答案无效。二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分11 .函数y=sin2x+2Vsin2x的最小正周期T为.TT312 .设el,。2为单位向量。且el、e2的夹角为,若a=el+3e2, b=2el,则向量a在b方向上 的射影为.13 .设函数 f(x)在(0, +8)内可导，且 f(ex)=x+

6、ex,则 f' (1)二.14 .抛物线x2=2py (p>0)的焦点为F,其准线与双曲线3 - 3=1相交于A, B两点，若AABF为等边三角形，则P二.三.选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做按其中一题评阅计分。本题共5分。15 （1）.（坐标系与参数方程选做题）设曲线C的参数方程为：x=t, y=t2 （t为参数），若以直角坐 标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴简历极坐标系，则曲线C的极坐标方程为.（2）.（不等式选做题）在实数范围内，不等式：x-2l的解集为.四.解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 .（本小题满分12

7、分）在AABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c,已知 cosC+ （conA-v JsinA） cosB=O.求角B的大小；若a+c=1,求b的取值范闱17 .（本小题满分12分）正项数列an的前n项和Sn满足：求数列an的通项公式an：n+15令b"（n+2）%：,数列bn）的前n项和为Tn.证明：对于任意n£N*,都有TnV。18 .（本小题满分12分）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从Al, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8 （如图）这8个点中任取两点分别分终点得到两个向量，记

8、这两个向量的数 量积为X。若XR就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队。y4（ T，1） T“ 1/式J04（兀FT /1）求小诙头力译枝香丽一的概参求X的分布列和数学期望。19 （本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA，平面ABCD, E为BD的中点，G为PD的中点，ZkDAB父 ADCB, EA=EB=AB=1,3PA=2,连接CE并延长交AD于F求证：ADL平面CFG；求平而BCP与平面DCP的夹角的余弦值20.(本小题满分13分) 如图，椭圆a /经过点P (L 2),离心率=2,直线1的方程为归4.求椭圆C的方程：AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线

9、1相交于点记PA, PB, PM的斜率分 别为kl, k2, k3c I nJ：是否存在常数入，使得kl+k2=Nk3?若存在，求、的值：若不存在，说明理由 2L (本小题满分14分)1已知函数f (x)=a (1-2 I X-2 I ), a为常数且a>0.1证明：函数f(X)的图像关于直线x=2对称：若xO满足f (f (xO) = xO,但f (xO) WxO,则称xO为函数f (x)的二阶周期点，如果f (x)有两个二阶周期点xl, x2,试确定a的取值范围：对于(2)中的xl, x2,和a,设x3为函数f (f (x)的最大值点，A (xb f (f (xl), B (x2,

10、f (f (x2), C (x3, 0),记AABC的面积为S (a),讨论S (a)的单调性。绝密启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。l.C 2.D3. A 4. D 5.C6. B 7.C8. A 9. B 10. D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.511. 7112. 213. 214. 6三、选做题：本大题5分.15,（1）pcos26>-sin<9 = 0°阁四、解答题：本大题共6小题，共75分。16 .（本小题满分12分）解.（）由已知得一cos（A + 8

11、） + cosAcosB 5/5sinAcos8 = 0即 仃 sin A sin 8 - V?sin A cos 8 = 0因为 sin A WO ,所以 sin 8 - JJcosB =。，又 cosB WO,所以 tan B =6,B =-又°V8V4,所以 3。（2）由余弦定理，有，/=c+c2_2accos8。a + c = 1, cos B = b2 = 3（ - ）2 + 因为2,有2 4o-<b2<-<b<又°vavl,于是有4 ，即有2,17 .（本小题满分12分）解:由5；-（2+-1电-"+% = 0,得区-面+叨+1

12、） = 0。由于6是正项数列，所以S" >03” = n2+no于是 4 =S| =2,22 时，an = S - S-1 =n2 +n- （n -1）2 - （/? -1） = In综上，数列“的通项凡=2。a = 2/7, Z? =?证明：由于5 + 2)，；16 n1 (7/ + 2)2 -+ - (mI)2 ( + 1)2 n (n+2)21622 5 + 1)2 ( + 2)*-l，。小小猫 I . X18 .（本小题满分12分）T 弱1尸1）2 _ ,父解：（1）从8个点中任意取两点为向量终点的不同取法共有5 一2种，二°时，两向量夹角为直角共有8种情形：

13、所以小波参加学校合唱团的概率为Q ,尸（，=0）= =19.（本大题满分12分）解：（1）在AABD中，因为E是8。的中点，所以EA = EB = ED = AB = 1,因为 ADAB = ADCB 所以 AEAB = SECB从而有 /FED = NFEA,故Ef ADA/=尸0,又因为PG = GD所以/g 始，28 7（2）两向量数量积/的所有可能取值为-2,-1,0,1,/ = 2时，有两种情形：7 = 1时，有8种情形:，=T时，有10种情形。所以的分布列为：Z-2-101P114514272715223EZ-( 2)xi4+( 1)xi4 + 0x7+1x7- m 0又24,平面

14、A3CO, 所以GF, AO,故A。,平面cfg。44。,。, 0）, 8（1,0,0）,晨,£ 0）, 0（0," 0）（2）以点A为坐标原点建立如图所示的坐标系，则2 2P（0,0；）比=&乎,0）,丽=（_：,一，3,丽=（二呼,0）2,故 2 222 22 22 2 13 6 3n一一一一V, 十 & =02 272 设平而8”的法向量 =（1，）1，4）,则.>1 =一 一/i 小 2、 n =（L-"解得设平面0cp的法向量生 =6）'22）,则3+正力=。2 23 5/3% =6 ,解得匕=23 =&_ co即4

15、 =（1,6,2）。从而平而80与平面OCP的夹角的余弦值为V 920.（本大题满分13分）3190（1，7）二 + "77 = 1解：（1）由 2在椭圆上得，（厂协依题设知4 = 2c,则/=3J代入解得,'=1，/= 4, =3。22片+厂1故椭圆C的方程为43。（2）方法一：由题意可设A8的斜率为女，则直线AB的方程为=心工-1）代入椭圆方程3* +4/ =12并整理， （4k2 + 3）x2 - 8公x + 4（攵2 - 3） = 0得设4%,州）.8（,），2）,则有玉+公4（父 一3） 4k2+3，即3 3在方程中令工=4得，M的坐标为（4.3公。乃 3kq 1h

16、 =乙,匕=、k% = k -从而 内一1 七一1 4一12人= » = k注意到A£8共线，则有攵=工”=攵"，即有玉7 &-1人+公=2+占所以七一1占一1X A 311- + (+)X 1%2 12 X 1 X? 2= 2k-一七十 12_2 xx2 _(/ +x2) + l代入得8k2&+一-28?4k2+3 -4父+3k =&_!_又5,所以占+自=2取。故存在常数%=2符合题意。方法二：设8（%，为）（与工1）,则直线用的方程为:M（4,22k）令工=4,求得 % I ,._2%一两+ 1从而直线尸”的斜率为2（% -1）,TT

17、*/. 1 联H)，=已(1)工+143则直线外的斜率为:得 2% - 5 2x0 - 5 ,_ 2%-2/+ 52(% 一1),直线总的斜率为:_ 2)，。-32(x0-l)k 卜死. 2M 2.% + 5 ； 2.v。-3 _ 2* 一 凡 + 1_所以 12(%-1)2(%-1),-13故存在常数4 = 2符合题意。21.（本大题满分14分）（1）证明：因为/(7+ x) = (1 一 2 |x|),/( x) = «(1 2 |x|)/ /（： + %）= /（；-x） 有12=£所以函数/（月的图像关于直线2对称。0<«<1/（ 吁（2）解：

18、当2时，有所以/（/（x）="只有一个解x = °,又/（。）=。，故。不是二阶周期点,J /（7（X） = <当 2时，有上,21x > 一.2所以"/（x）= x有解集 阶周期点。又当x W £ / 2时，fM = 故xx< >2J中的所有点都不是二r（/u）=4n2A2。一4。,4。、人.4。22。(1 - 2。) + 4。、, 1467-1一< .V S1a > 当 2时，有4a2 -4/尤24674。一1X所以J（/（x）= x有四个解°*1+4/'1 + 2。'1 + 4/ ,又仔佟八J（r）/l + 4c l + 4c/1+4”-述，所求"的取值范围为2o2a1 + 4/ ,故只有1 + 4/'1 + 4/是/（x）的二阶周期点。综上所v = =(3)由得 1 1 + 41 + 4因为与为函数/（/（幻）的最大值点