高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.1直线的方向向量与平面的法向量3.2.2空间线面关系的判定(一)学案苏

1、直线的方向向量与平面的法向量空间线面关系的判定( 一 )学习目标1. 掌握空间点、线、面的向量表示.2. 理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3. 能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题.知识点一直线的方向向量与平面的法向量思考怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？梳理(1) 用向量表示直线的位置条件直线 l上一点 A表示直线 l 方向的向量 a( 即直线的 _)在直线ll上任意一点 ，一定存在实数t，上取 AB ，那么对于直线形式aP使得 AP _定位置点 A 和向量 a 可以确定直线的 _作用l 上的任意 _定点可以具体表示出(

2、2) 用向量表示平面的位置通过平面 上的一个定点O和两个向量a 和 b 来确定：条件平面内两条相交直线的方向向量，和交点Oa b形式对于平面 上任意一点 P，存在有序实数对( x， y) 使得 OP xa yb1/10通过平面 上的一个定点A 和法向量来确定：平面的直线 l ，直线 l 的_ 叫做平面 的法向法向量量确定平过点 A，以向量 a 为法向量的平面是完全确定的面位置(3) 直线的方向向量和平面的法向量能平移到直线上的_向量a，叫做直线直线的方向向量l 的一个方向向量直线 l ，取直线l 的_，n 叫做平面平面的法向量 的法向量(4) 空间中平行关系的向量表示设直线 l ， m的方向向

3、量分别为a， b，平面 ， 的法向量分别为，v，则线线平行l m? _? a kb( k R)线面平行l ? a ? _面面平行 ? v? _知识点二利用空间向量处理平行问题思考(1) 设 v1 ( a1， b1， c1) ， v2 ( a2 ， b2 ， c2) 分别是直线l 1， l 2 的方向向量. 若直线l 1 l 2，则向量 v1，v2 应满足什么关系.(2) 若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？(3) 用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？梳理利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中

4、涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.2/10类型一求直线的方向向量、平面的法向量例 1如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形， PA平面 ABCD， E 为 PD的中点 . ABAP 1， AD3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量 .引申探究若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量 .反思与感悟利用待定系数法求平面法向量的步骤(1)设向量：设平面的法向量为n ( x， y， z).(2) 选向量：在平面内选取两个不共线向量 AB，A

5、C.(3)n·AB 0，列出方程组 .列方程组：由n·AC 0n· AB0，(4) 解方程组：n· AC0.(5)赋非零值：取其中一个为非零值( 常取± 1).(6) 得结论：得到平面的一个法向量 .跟踪训练1 如图，在四棱锥P ABCD中，底面 ABCD是矩形 . 平面 PAB平面 ABCD， PAB是边长为1 的正三角形， ABCD是菱形 . ABC60°， E 是 PC的中点， F 是 AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面的一个法向量 .DEF3/10类型二利用空间向量证明平行问题例 2 已知正方体 ABCD-A1B1

6、C1D1 的棱长为 2， E、 F 分别是 BB1、 DD1 的中点，求证：(1) FC1 平面 ADE；(2) 平面 ADE 平面 B1C1 F.反思与感悟利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题.跟踪训练2如图，在四棱锥P ABCD中， PA平面 ABCD， PB 与底面所成的角为45°，底1面 ABCD为直角梯形，ABC BAD90°， PA BC 2AD1，问在棱PD 上是否存在一点E，使 CE平面 PAB？若存在，求出E 点的位置；若不存在，请说明理由.1.若点 A( 1,0,1) ， B

7、(1,4,7) 在直线l 上，则直线 l的一个方向向量的坐标可以是_.2.已知向量 n(2 ， 3,1)是平面 的一个法向量，则下列向量中能作为平面 的法向量的是 _.( 填序号 ) 1 (0， 3,1) ；2 ( 2,0,4) ；nn n3 ( 2， 3,1) ； n4 ( 2,3 ， 1).3.已知向量 n ( 1,3,1)为平面 的法向量，点 M(0,1,1)为平面内一定点 . P( x， y， z) 为4/10平面内任一点，则x， y，z 满足的关系式是_.14. 若直线 l ，且 l 的方向向量为 (2 ， m,1) ，平面 的法向量为 1， 2， 2 ，则 m 为_.5. 在正方体

8、 ABCDA11C1D1 中，平面 ACD1的一个法向量为 _.1. 应用向量法证明线面平行问题的方法(1) 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.(2) 证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线.(3) 证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示. 即用平面向量基本定理证明线面平行 .2. 证明面面平行的方法设平面 的法向量为 n1( a1， b1， c1) ，平面 的法向量为 n2 ( a2， b2， c2) ，则 ? n1 n2? ( a1， b1，c1) k( a2，b2，c2)( kR).5/10答案精析问题导学知识点一思考 (1)点：在空间中，我们取一定点O

9、作为基点，那么空间中任意一点P 的位置就可以用向量 OP来表示 . 我们把向量 OP称为点 P 的位置向量 .(2)直线：直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量.对于直线 l 上的任一点 P，在直线上取AB a，则存在实数t ，使得 APt AB.(3)平面：空间中平面 的位置可以由 内两条相交直线来确定. 对于平面 上的任一点，b是平面内两个不共线向量，则存在有序实数对(x，xayb.) ，使得 OPP ay空间中平面 的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示.梳理 (1)方向向量位置 一点t AB(2) 方向向量(3) 非零方向向量 n(4) ab a· 0 kv(

10、k R)知识点二思考(1) 由直线方向向量的定义知若直线l 1 l 2，则直线 l 1， l 2 的方向向量共线，即l 1 l 2? v1v 2? v1 v2( R).(2)可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行.(3)关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行.题型探究例 1 解 因为 PA平面 ABCD，底面 ABCD为矩形，所以 AB， AD， AP两两垂直 .如图，以x 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0 ， 3，A 为坐标原点， AB的方向为310)，E(0， 2， 2) ， B(1,0,0)，C(1 ，3，0)，31于是 AE(0 ，

11、 2， 2) ，AC (1，3， 0).设 n ( x， y， z) 为平面 ACE的法向量，6/10x3y0，n· AC 0，则即312 y 2z 0，n· AE 0，所以x3y，z3y，令 y 1，则 xz 3.所以平面 ACE的一个法向量为 n(3， 1， 3 ).引申探究解如图所示，建立空间直角坐标系，则P(0,0,1)，C(1 ，3，0)，3， 1) ，所以 PC (1 ，即为直线 PC的一个方向向量 .设平面 PCD的法向量为 n ( x， y， z).因为 D(0 ，3， 1).3， 0) ，所以 PD (0 ，x 3y z0，n· PC 0，由即3

12、y z 0，n·PD 0，所以x 0，令 y 1，则 z 3.z 3y，所以平面 PCD的一个法向量为n ( 0,1 ， 3).跟踪训练1 解连结 PF， CF， AC.因为 PA PB， F 为 AB的中点，所以PF AB，又因为平面平面，平面平面，?平面.PABABCDPABABCD ABPFPAB所以 PF平面 ABCD，因为 AB BC， ABC60°，所以 ABC是等边三角形，所以CF AB.以 F为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示.7/1033333由题意得 F(0,0,0)，P(0,0 ， 2 ) ，D( 1， 2，0)，C(0 ， 2 ，0) ，E(0

13、 ， 4，4).33所以 FE(0，4，4) ，3( 1， 2， 0). FD设平面m· FE 0，则m·FD 0，DEF的法向量为m ( x， y， z).334 y 4 z0，即3 x y 0. 2z y，所以x3令 y2，y，2则 x3， z 2.所以平面的一个法向量为 (3， 2，2).DEFm例 2证明(1) 建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ，则有D(0,0,0)， A(2 ， 0,0)，C(0,2,0) ，C1(0,2,2)， E(2 ， 2,1)， F(0,0,1)， B1(2,2,2)，所以 FC1(0,2,1)， DA (2,0,0)， AE (0

14、,2,1).设 n1 ( x1， y1， z1) 是平面 ADE的法向量，则 n1DA， n1 AE，n1· DA 2x1 0，即n1· AE 2y1 z1 0，x1 0，得z1 2y1，令 z1 2，则 y1 1，所以 n1 (0 ， 1,2).因为 FC1· n1 2 2 0，8/10所以 FC1n1.又因为1?平面，FCADE所以 FC平面 ADE.1，设 n2 ( x2 ， y2， z2) 是平面B1C1F 的一个法向量. 由(2 ) 因为 C1B1 (2,0,0)n2 FC1，n2 C1B1， 0，n2·FC1 2y2 z2得n2·C1B1 2x2 0，得x2 0，z2 2y2.令 z2 2，得 y2 1，所以 n (0 ， 1,2)，2因为 n n ，所以平面 ADE 平面 B CF.1211跟踪训练 2解分别以 AB， AD，AP为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，如图所示 . (0,0,1)， (1,1,0)， (0,2,0) ，PCD设存在满足题意的点E(0 ， y， z) ，则 PE (0 ， y， z 1) ， (0,2