高二数学导数及其应用综合检测综合测试题

1、第一章导数及其应用综合检测时间 120 分钟，满分 150 分。一、选择题 (本大题共 12 个小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2018·全国文，7)若曲线 2axb 在点 (0，b)处的切线y x方程是 xy10，则 ()A a1，b1 Ba 1，b1 Ca1，b 1Da 1，b 1答案 A解析 y2xa，y|x0(2xa)|x 0a1，将 (0，b)代入切线方程得b1.2一物体的运动方程为s2tsintt，则它的速度方程为 ()A v2sint2tcost1 Bv2sint2tcost Cv2sintDv2sint2cost

2、1答案 A解析 因为变速运动在t0 的瞬时速度就是路程函数ys(t)在t0的导数， S2sint2tcost1，故选 A.3曲线 yx23x 在点 A(2,10)处的切线的斜率是 ()A 4B5C6D7答案 D解析 由导数的几何意义知，曲线yx23x 在点 A(2,10)处的切线的斜率就是函数yx23x 在 x2 时的导数， y|x27，故选D.4函数 yx|x(x3)| 1()A 极大值为 f(2)5，极小值为 f(0)1B极大值为 f(2)5，极小值为 f(3)1C极大值为 f(2)5，极小值为 f(0)f(3)1D极大值为 f(2)5，极小值为 f(3)1，f(1) 3答案 B解析 yx

3、|x(x3)|1x33x21(x<0或x>3)x33x21(0x3)3x26x(x<0或x>3) y3x26x(0x3)x 变化时， f(x)，f(x)变化情况如下表：(，0(0,2)2(2,3)3(3，x)0)f(x)000无极极大值极小值f(x)51值 f(x)极大 f(2)5，f(x)极小 f(3)1故应选 B.5(2018 ·安徽理， 9)已知函数 f(x)在 R 上满足 f(x)2f(2x)x28x8，则曲线 yf(x)在点 (1，f(1)处的切线方程是 ()A y2x1 ByxCy3x2Dy 2x3答案A 解析 本题考查函数解析式的求法、导数的几何

4、意义及直线方程的点斜式 f(x)2f(2x)x28x8， f(2x)2f(x)x24x4， f(x)x2，f(x)2x， 曲线 yf(x)在点 (1，f(1)处的切线斜率为 2，切线方程为 y1 2(x1)，y2x1.6函数 f(x)x3ax23x9，已知 f(x)在 x 3 时取得极值，则 a 等于 ()A 2B3C4D5答案D 解析 f (x)3x22ax3， f(x)在 x 3 时取得极值， x 3 是方程 3x22ax30 的根， a5，故选 D.7设 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数 当 x<0 时，f(x)g(x)f(x)g(x)>0，且 g(3)

5、0，则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是()A (3,0)(3， ) B(3,0)(0,3)C(， 3)(3， ) D(， 3)(0,3)答案D 解析 令 F(x)f(x) ·g(x)，易知 F(x)为奇函数，又当x<0 时，f(x)g(x)f(x)g(x)>0，即 F(x)>0，知 F(x)在(，0)内单调递增，又 F(x)为奇函数，所以 F(x)在(0，)内也单调递增，且由奇函数知 f(0)0，F(0)0.又由 g(3)0，知 g(3)0 F(3)0，进而 F(3)0于是 F(x)f(x)g(x)的大致图象如图所示 F(x)f(x) ·g(x

6、)<0 的解集为 (， 3)(0,3)，故应选 D.8下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是()A BCD答案B 解析 不正确；导函数过原点， 但三次函数在 x0 不存在极值；不正确；三次函数先增后减再增，而导函数先负后正再负故应选 B.9(2018 ·湖南理， 5)41dx 等于 ()x2A 2ln2B2ln2C ln2Dln2答案D1 解析 因为 (lnx) x，所以41xdxln x|42ln4ln2ln2.210已知三次函数 f(x)31x3(4m1)x2(15m22m7)x2 在x(， )是增函数，则 m 的取值范围是 ()A m&

7、lt;2 或 m>4B 4<m<2C2<m<4D以上皆不正确答案D 解析 f (x)x22(4m1)x15m22m7，由题意得 x22(4m1)x15m22m70 恒成立， 4(4m 1)24(15m22m7) 64m232m460m28m28 4(m26m8)0， 2m4，故选 D.11已知 f(x)x3bx2cxd 在区间 1,2上是减函数，那么 bc()15A 有最大值 215B有最大值 215C有最小值 215D有最小值 2答案 B解析由题意f(x)3x22bxc在 1,2上， f(x)0恒成立f(1)0所以f(2)02bc30即4bc120令 bcz，b

8、 cz，如图3过 A 6， 2 得 z 最大，3 15最大值为 bc 62 2 .故应选 B.12设 f(x)、g(x)是定义域为 R 的恒大于 0 的可导函数，且 f(x)g(x)f(x)g(x)<0，则当 a<x<b 时有 ()A f(x)g(x)>f(b)g(b) Bf(x)g(a)>f(a)g(x)Cf(x)g(b)>f(b)g(x)Df(x)g(x)>f(a)g(x)答案Cf(x) 解析 令 F(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)则 F(x)g2(x)<0f(x)、g(x)是定义域为 R 恒大于零的实数 F(x)在 R 上为递

9、减函数，f(x)f(b)当 x(a，b)时， g(x)>g(b) f(x)g(b)>f(b)g(x)故应选 C.二、填空题 (本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分将正确答案填在题中横线上 )13. 1dx3_.(115x) 2答案 7721解析 取 F(x) 10(5x11)2，从而 F(x)1(115x)3则 1dxF(1)F(2)(115x)3 211117.10× 6210×121036072ax2114若函数 f(x)的单调增区间为 (0， )，则实数 a 的 x取值范围是 _答案 a0解析 1a 12，f (x)axxx1由题意得， ax

10、20，对 x(0， )恒成立，1 ax2，x(0， )恒成立， a0.15(2018 ·陕西理， 16)设曲线 yxn1(nN *)在点 (1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为xn，令 anlgxn，则 a1a2 a99 的值为_答案 解析 2本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质ky|x 1n1， 切线 l ：y1(n1)(x1)，nn令 y0，x，anlg，n1n11299 原式 lg2lg3lg10012991 lg2×3××100lg100 2.16如图阴影部分是由曲线1，y2x 与直线 x2，y0 围成，yx则其面积为 _答案

11、2ln23y2x，解析 由1，得交点 A(1,1)y xx21由1得交点 B 2，2 .yx故所求面积 S1xdx 21dxx012 3 122 3x2|0lnx|13ln2.三、解答题 (本大题共 6 个小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )17(本题满分 12 分)(2018 江·西理， 19)设函数 f(x)lnxln(2x)ax(a>0)(1)当 a1 时，求 f(x)的单调区间；1(2)若 f(x)在(0,1上 的最大值为 2，求 a 的值 解析 函数 f(x)的定义域为 (0,2)，11f (x) xa，2x x22(1)当 a1 时， f (

12、x)，所以 f(x)的单调递增区间为 (0，x(2x)2)，单调递减区间为 (2，2)；(2)当 x(0,1时， f (x)22xa>0，x(2x)即 f(x)在(0,1上单调递增，故 f(x)在(0,1上的最大值为 f(1)a，1因此 a2.18(本题满分 12 分)求曲线 y2xx2，y2x24x 所围成图形的面积y2xx2，解析 由y2x24x得 x10，x22.由图可知，所求图形的面积为S 2(2xx2)dx| 2 (2x24x)dx|00 2(2x x2)dx 2(2x24x)dx.00因为x21x3322xx，2x32x2 2x2 ，34x21 322322所以 S x3x0

13、 3x 2x04.19本题满分12分设函数33axb(a0)()f(x)x(1)若曲线 yf(x)在点 (2，f(2)处与直线 y8 相切，求 a，b 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间与极值点 分析 考查利用导数研究函数的单调性，极值点的性质，以及分类讨论思想 解析 (1)f(x)3x23a.因为曲线 yf(x)在点 (2，f(2)处与直线 y8 相切，f(2)0，3(4a)0，所以即f(2)8.86ab8.解得 a4，b24.(2)f(x)3(x2a)(a0)当 a<0 时，f(x)>0，函数 f(x)在(，)上单调递增，此时函数 f(x)没有极值点当 a>0 时，由

14、 f(x)0 得 x± a.当 x(， a)时， f(x)>0，函数 f(x)单调递增；当 x( a， a)时， f(x)<0，函数 f(x)单调递减；当 x( a， )时， f(x)>0，函数 f(x)单调递增此时 xa是 f(x)的极大值点， xa是 f(x)的极小值点20(本题满分 12 分)已知函数 f(x)12x2lnx.(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)求证：当1223x>1 时， 2x lnx<3x .解析 (1)依题意知函数的定义域为 x|x>0，1 f (x)xx，故 f(x)>0， f(x)的单调增区间为 (0， )

15、2312(2)设 g(x)3x 2x lnx， g(x)2x2x1x，(x1)(2x2x1) 当 x>1 时， g(x)，x>0 g(x)在(1， )上为增函数，1 g(x)>g(1)6>0， 当 x>1 时，12232x lnx<3x .21(本题满分 12 分)设函数 f(x) x392x26xa.(1)对于任意实数 x, f(x)m 恒成立，求 m 的最大值；(2)若方程 f(x)0 有且仅有一个实根，求a 的取值范围 分析 本题主要考查导数的应用及转化思想，以及求参数的范围问题 解析 (1)f(x)3x29x63(x1)(x2)因为 x(， )f(x)m，即 3x29x(6m)0 恒成立33所以8112(6m)0，得 m4，即 m 的最大值为4.(2)因为当 x<1 时， f(x)>0；当 1<x<2 时， f(x)<0；当 x>2 时f(x)>0.5所以当 x1 时， f(x)取极大值 f(1)2a，当 x2 时， f(x)取极小值 f(2)2a.故当 f(2)>0 或 f(1)<0 时，方程 f(x)0 仅有一个实根，解得a<25或 a>2.22(本题满分 14 分)已知函数 f(x) x3ax21(aR