平面向量专题复习学生

1、第 1 页共 5 页1平面向量一、复习要求1、向量的概念；2 、向量的线性运算：即向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积等的定义，运算律；3、向量运算的运用二、学习指导1 、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法一一有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的 基础。在向量的运算过程中，借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释，有时甚至更简捷。向量运算中的基本图形：向量加减法则：三角形或平行四边形；实数与向量乘积的几何意义一一 共线；定比分点基本图形一一起点相同的三个向量终点共线等。2、向量的三种线性运算及运算的三种形式。向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线

2、性运算，前两者的结果是向量,两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：运算图形语言付号语言坐标语言加法与减法Br*T 弓 弓OA+OB=OCT 弓 弓OB-OA=AB、 Tf记OA=(x1,y1),OB=(x1,y2)T 1今则OA+OB=(x1+X2,y1+y2)- 了 弓OB-OA= (X2-x1,y2-y1)4T 弓 弓OA+AB=OB实数与向量的乘积才-TTAB=入a入 R、T 记a=(x,y)则入a=(入 x,入 y)两个向量的数量积T T T Tab=|a|b|T T cosP TT记a=(x1,y1),b=(x2,y2)r

3、u T T贝寸ab=X1X2+y1y23、运算律加法：TTTTTT TT TTa+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c)TTTTTTTf第 1 页共 5 页2实数与向量的乘积：入（a+b）=入a+入b；（入+卩）a=入a+卩a,入（卩a）第 1 页共 5 页3两个向量的数量积：ab=ba；(入a) b=a(入b)=入(ab),(a+b) c=ac+bc说明：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实2 2(ab)2= az2 a bb4、重要定理、公式一 亠 u TTT任一向量a与有序数对(入i,入2)对应，称(入i,入2)为a在基底 ei,e2下

4、的坐标，当取 e1,e2为单位正交基底 i, j 时定义(入1,入2)为向量a的平面直角坐标。向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若TAB=(x2-xi,y2-yi)(2)两个向量平行的充要条件符号语言：若a/b,T|X|=|a |,X的大小由a及b的大小确定。因此，当a,b确定时，X的符号与大小就确定了。这就是|b|实数乘向量中X的几何意义。(3)两个向量垂直的充要条件数的运算性质可以简化向量的运算，例如(1)平面向量基本定理;如果 ei,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量有且只有一对、卄Lt TTT亍T满足a=iei+入2e2，称入

5、iei+入.2e2为 ei,e2的线性组合。A(x , y)，则OA=(x,y );当向量起点不在原点时，向量AB坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A (xi,yi), B (X2,y2),则根据平面向量基本定理,坐标语言为:设a= (xi,yi),TT Tb=(x2,y2)，贝ya/b：二(xi,yi)=X(x2,y2),即Xi=妝2)i=沏2,或 xiy2-x2yi=0在这里，实数X是唯一存在的，当a与b同向时,X0;当a与b异向时,X00第 1 页共 5 页4符号语言:T T T Ta丄b二ab=0坐标语言：设Ta=(x1,y1),TT Tb=(x2,y2)，贝卩a丄b：= x1x2+y1

6、y2=0(4)线段定比分点公式TT如图，设 RP W-.PP2则定比分点向量式:-一1 -, -OP OR OF21+扎1定比分点坐标式：设F (x,y ) , F (xi,y1), F2(X2,y2)第 3 页共 5 页5AXiX21 yi % i 特例：当入=i时，就得到中点公式:1 .OP(OPiOP2),2实际上，对于起点相同，终点共线三个向量OP,OPi,0P2(0 与 PiP2不共线)，总有OP=uOPi+vOP2,u+v=i，即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量，且系数和为io(5)平移公式：TX = X + h点平移公式，如果点 P (X, y )按a= (h, k)

7、平移至 P (xy),则y = y + k分别称(X, y), (X ) y )为旧、新坐标，a为平移法则在点 P 新、旧坐标及平移法则三组坐标中，已知两组坐标，一定可以求第三组坐标图形平移：设曲线C：y=f(x)按a= (h, k)平移，则平移后曲线C对应的解析式为 y-k=f(x-h)当 h, k 中有一个为零时，就是前面已经研究过的左右及上下移利用平移变换可以化简函数解析式，从而便于研究曲线的几何性质(6)正弦定理，余弦定理正弦定理：a= b 二 csin A sinB sin C222余弦定理：a =b +c -2cbcosA2 2 2b=c +a -2cacosB2 2 2c=a +

8、b -2abcosc定理变形：cosA=lc , cosB=兰一a , cosC=L-2bc2ac2ab正弦定理及余弦定理是解决三角形的重要而又基本的工具。通过阅读课本，理解用向量法推导正、余 弦定理的重要思想方法。5、向量既是重要的数学概念，也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直，线线平行，求夹角等， 特别是直角坐标系的引入， 体现了向量解决问题的“程序性”Xiyixix22yiy22_特点。第 1 页共 5 页6三、典型例题例 1、如图,OA,OB为单位向量，OA与OB夹角为0120 ,，0OC与OA的夹角为 45 ,|OC|=5 ,-T -T用OA,OB表示例 2、已知 ABC 中

9、，A ( 2, -1 ) , B ( 3, 2), C (-3 , -1OCoD IF),BC边上的高为第 1 页共 5 页7AD,求点 D 和向量AD坐标。例 3、求与向量a= (.3 , -1 )和b= (1,.3 )夹角相等，且模为 2 的向量c的坐标。例 4、在厶 OAB 的边 OA 0B 上分别取点 M N,使 | OM | : |OA|=1 : 3, |ON| : |OB|=1 ： 4,设线 段 AN 与BM 交于点 P,记OA=a,OB=b，用a,b表示向量OP。例 5、已知长方形 ABCD AB=3 BC=2 E 为 BC 中点，P 为 AB 上一点(1) 利用向量知识判定点

10、P 在什么位置时，/ PED=45;(2)若/ PED=4& 求证：P、D C、E 四点共圆。同步练习(一) 选择题1、平面内三点 A (0 , -3 ) , B (3 , 3) , C (x , -1 ),若AB/BC,则 x 的值为：CA、 -5B、-1C、 1D、51 、平面上 A(-2 , 1), B( 1,4) , D(4 , -3 ), C 点满足AC CB,连 DC 并延长至2TTf f |a|-|b|a-b|T T T T T Tf(bc)a-(ca)b不与c垂直(3a+2b) (3a-2b)=9|a12-4b|2中,真命题是：A(-8 ,B、(，)C 、(0 , 1)

11、D、(0 , 1)或(2 ,33 3TT3、点(2 , -1 ) 沿向量a平移到(-2 ,1),则点(-2, 1)沿a平移到：DA、(2 , -1 )B 、 (-2, 1)C、(6 , -3 )D、(-6 , 3)4、 ABC 中，2cosB -sinC=sinA ,则此三角形是：BA、 直角三角形B、等腰三角形C 、等边三角形D 、以上均有可能T TT5、设a,b,c是任意的非零平面向量，且相互不共线，贝 U：DT T TTT T(ab)c-(ca)b=0则点 E 坐标为：B工)3 1 - E ,使 |CE|=|ED| ,4第 1 页共 5 页8A、B、C、D、6、 ABC中,若 a4+b4

12、+c4=2c2(a2+b2),则/ C 度数是：( B )A、 6001B、450或 1350C、1200D、300TT OAB中 ,TJ T? TTab7、OA=：a,OB=b,OP= p , 若 p-t (-T旦)T)t R,则点 P 在：(A)1 1 a|b|第 1 页共 5 页9A、/ AOB 平分线所在直线上BC、AB 边所在直线上DA、（一7,-i )B、(7,-)C、(7, 4)D222 2（二）填空题一J7f77?7710、已知 |a|=6(3 , |b|=i,ab=-9，则a与b的夹角是_11、 设 ei,e2是两个单位向量，它们夹角为600,标，其中 O 为坐标原点。0 . ?.i5、已知|a|= 2 , |b|=3 ,a和b夹角为 45，求当向量a+入b与入a+b夹角为锐角时，入的取 值范围。、线段 AB 中垂线上、AB 边的中线上&正方形 PQRS 寸角线交点为M 坐标原点 0 不在正方形内部,且0P=（0，3），0S=(4, 0)，则RM=已知 ei，e2是平面上一个基底，若T T T a = ei+ 入e2,TT T 卄 Tb