§12事件的概率PPT课件

1、11.2.1 1.2.1 概率的初等描述概率的初等描述1.2.2 1.2.2 古典概型古典概型1.2.3 1.2.3 几何概型几何概型1.2.4 1.2.4 频率与概率频率与概率1.2.5 1.2.5 概率的公理化定义及性质概率的公理化定义及性质1.2 1.2 事件的概率事件的概率2定义定义 在概率论中，用来刻划事件发生的可能性大小的数量在概率论中，用来刻划事件发生的可能性大小的数量指标称为事件的指标称为事件的概率概率. . 记为记为 P(A).例例 掷一枚均匀的硬币，掷一枚均匀的硬币，A 表示表示“出现正面出现正面”，B 表示表示“出出现反面现反面”, 则则21,21P(B)P(A)性质：性

2、质：1、P( )=1，2、对任一事件对任一事件A有有：0P(A)1P( )=01 1.2 2.1 1 概率的初等描述概率的初等描述3例例1:1: 一个袋子中装有一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球，编号个大小、形状完全相同的球，编号分别为分别为 110，现从中任取一球。，现从中任取一球。用用 “i” 表示表示 “取到取到 i 号球号球”,( i = 1, 2, , 10 ), ,则该试验的样本空间则该试验的样本空间 = 1, 2, , 10 且每个样本点出现的可能性相同且每个样本点出现的可能性相同另如：另如： 1.掷一枚均匀的硬币掷一枚均匀的硬币 （1）样本空间样本空间只有只有2个个样本

3、点样本点 （2）每个）每个样本点样本点出现的出现的可能性相同可能性相同2.掷一枚均匀的骰子掷一枚均匀的骰子 （1）样本空间样本空间只有只有6个个样本点样本点 （2）每个）每个样本点样本点出现的出现的可能性相同可能性相同1 1.2 2.2 2 古典概型古典概型1.1.古典概型与概率的古典定义古典概型与概率的古典定义 定义定义 若一随机试验满足下述两个条件：若一随机试验满足下述两个条件：(i) 试验的样本空间只有有限个样本点（试验的样本空间只有有限个样本点（有限性有限性）；）；(ii) 试验中每个样本点出现的可能性相等（试验中每个样本点出现的可能性相等（等可能性等可能性）. .则称随机试验为则称随

4、机试验为等可能概型等可能概型或或古典概率模型古典概率模型, 简称为简称为古典概型古典概型。古典概型古典概型是一类最简单却是最常见的随机试验是一类最简单却是最常见的随机试验, 是概率论发是概率论发展初期的主要研究对象展初期的主要研究对象.例例2 2 一个袋子中装有一个袋子中装有10个个大小、形状完全相同大小、形状完全相同的球，的球，假设假设1010个球中有个球中有7 7个是白色的，个是白色的，3 3个是红色的，个是红色的，现从中任取一球。现从中任取一球。 A=取得白球取得白球 ，B=取得红球取得红球 则很自然地定义则很自然地定义P(A)=7/10，P(B)=3/105概率的古典定义概率的古典定义

5、 在古典概型中，如果样本空间在古典概型中，如果样本空间 含有含有 n 个样个样本点，事件本点，事件 A 含有含有 m 个样本点（称为事件个样本点（称为事件 A 的的有利样本点有利样本点）, 则定义事件则定义事件 A 的概率的概率 P(A)为：为：求概率问题求概率问题记数问题记数问题nmP(A)=nmA的的有利有利样本点样本点数数 中中样本点样本点总数总数=A中包含的基本事件数中包含的基本事件数基本事件总数基本事件总数=或：或：P(A)=nm1 1）加法原理）加法原理完成一项任务有两类方案完成一项任务有两类方案:与与, 方案方案中含中含 a 种方法种方法, 方方案案含含 b 种方法种方法,则完成

6、这项任务共则完成这项任务共 a + b 种方法种方法.2 2）乘法原理）乘法原理完成一项任务分为两个步骤完成一项任务分为两个步骤:与与, 步骤步骤含含 a 种方法，步种方法，步骤骤含含 b 种方法，则完成这项任务共种方法，则完成这项任务共 ab 种方法种方法. 2.2.基本计算原理与排列组合公式基本计算原理与排列组合公式 （1 1）基本计数原理）基本计数原理mnPnnP1 1）不重复排列）不重复排列. .从从 n 个不同元素中每次选出个不同元素中每次选出 m ( m n )个个不不同元素同元素按顺序进行排列，所有这样排列的总数按顺序进行排列，所有这样排列的总数,记作记作 =n(n1) (n2)

7、 (nm + 1)=n(n1) (n2) 321=n!()!nn m当当 mn 时时, 称为选排列称为选排列; m=n 时时, 称为全排列。称为全排列。mnP（2 2）排列组合公式）排列组合公式2 2）重复排列）重复排列. .从从 n 个不同元素中有放回地取个不同元素中有放回地取 m 个个元素，元素，按一按一定的顺序排成一列，所有这样排列的总数为定的顺序排成一列，所有这样排列的总数为 .mn3)3)组合组合. .从从 n 个不同元素中任取个不同元素中任取 m ( m n )个个不同元素不同元素并成一并成一组组, 所有这样组合的总数记作所有这样组合的总数记作(1)(1)!(1)2 1!()!mn

8、Pn nn mnmm mm n mmnC组合组合.把把 n 个元素分为两组，其中一组含个元素分为两组，其中一组含 m 个元素，另一组含个元素，另一组含 n - - m 个元素，共有个元素，共有 种不同分法种不同分法.mnCmnC性质性质.mn mnnCC01nnnCC96011202nmAP)(例例3 3 一套五卷的选集，随机的放到书架上，求各册自左向右一套五卷的选集，随机的放到书架上，求各册自左向右或自右向左卷号恰为或自右向左卷号恰为 1、2、3、4、5 顺序的概率。顺序的概率。解解 设设A表示表示“各册自左向右或自右向左卷号恰为各册自左向右或自右向左卷号恰为 1、2、3、 4、5 顺序顺序

9、”， 样本空间包含的基本事件总数样本空间包含的基本事件总数 n = 5! =120 事件事件A中包含的基本事件个数中包含的基本事件个数 m = 2所以所以 3.3.举例举例10P(B) = 6/16,P(C) = 12/16.n=42=16mA=2!=2P(A) = 2/16,61312CCmB1224 PmC例例4 4 两封信随机地向标号为两封信随机地向标号为、的的4个邮筒投寄个邮筒投寄. 求求 (1)前两个邮筒各投入前两个邮筒各投入1封信的概率；封信的概率；(2)第第个邮筒恰好投个邮筒恰好投入入1封信的概率；封信的概率； (3)两两封信封信投入不同邮筒的概率投入不同邮筒的概率.解解 设设A

10、表示表示前两个邮筒各投入前两个邮筒各投入1封信，封信，B 表示表示第第个邮筒恰个邮筒恰好投入好投入1封信，封信，C表示表示两两封信封信投入不同邮筒，则投入不同邮筒，则样本空间包含的样本空间包含的基本事件总数基本事件总数事件事件A中中包含的包含的基本事件个数基本事件个数事件事件B中中包含的包含的基本事件个数基本事件个数事件事件C中中包含的包含的基本事件个数基本事件个数则则 1139C39C35C3435CC 39C1425CC解解 设设 A 表示表示“任取任取3个球，恰有个球，恰有2个白球个白球1个黑球个黑球”, B 表示表示“任取任取3个球，没有黑球个球，没有黑球”, C 表示表示“任取任取3

11、个球，颜色相同个球，颜色相同”, 例例5 5 一袋中有大小、形状完全相同的一袋中有大小、形状完全相同的5个白球个白球4个黑球，从中个黑球，从中任取任取3个球，求：个球，求： ( 1 ) 恰有恰有2个白球个白球1个黑球的概率个黑球的概率, ( 2 ) 没有黑球的概率没有黑球的概率, ( 3 ) 颜色相同的概率颜色相同的概率.则则 P(A) = P(B) = P(C) = 12解解 由于球除颜色外无其它区别，故每一个球被取到的可能由于球除颜色外无其它区别，故每一个球被取到的可能性相同。总共可能的取法有性相同。总共可能的取法有例例6 6 袋中有袋中有 a 个白球，个白球，b 个黑球，从中任取一个，求

12、取出的个黑球，从中任取一个，求取出的球是白球的概率。球是白球的概率。a+b 种种设设表示表示“取到的是白球取到的是白球”. .注意：注意：本例中的本例中的“球球”可用其它东西代替，可用其它东西代替，“颜色颜色”也可以也可以用其它性质代替。比如用其它性质代替。比如“球球”被被“产品产品”代替，代替，“颜色颜色”被被“合格合格”或或“不合格不合格”代替等。代替等。 的样本点数的样本点数 a P() = = 样本点总数样本点总数 a+b13解解 设设表示表示“第第m次取到白球次取到白球”例例7 7 袋中有袋中有 a 个白球个白球, ,b 个黑球个黑球, ,从中接连任意取出从中接连任意取出 m (1

13、m a+b) 个球个球, ,取出的球不放回取出的球不放回, ,求第求第 m 次取出的球是白球的概率。次取出的球是白球的概率。把把 a+b 个球编上个球编上至至 a+b 号，将球一个一个地取出后放成号，将球一个一个地取出后放成一排，考虑到先后顺序，因此每一种取法对应着一个一排，考虑到先后顺序，因此每一种取法对应着一个a+b 阶阶排列，故有排列，故有 (a+b)! 种取法。种取法。a (a+b-1)! 种排法，种排法， a (a+b-1)! a P(A) = = (a+b)！ a+b发生可以先从发生可以先从 a 个白球中任取一个放在第个白球中任取一个放在第 m 个位置上，然个位置上，然后将剩下的后

14、将剩下的 a+b- -1 个球任意排在另外个球任意排在另外 a+b- -1 个位置上，共个位置上，共有有14古典概型的优、缺点古典概型的优、缺点 优点优点：古典概率可直接按公式计算，而不必进行大量的重古典概率可直接按公式计算，而不必进行大量的重 复试验。复试验。缺点缺点：有局限性：只能用于全部结果为有限个，且等可能性有局限性：只能用于全部结果为有限个，且等可能性成立的情形。成立的情形。古典概率的性质古典概率的性质 1)非负性：对于任一事件非负性：对于任一事件 A 有：有：0P(A)1.2)规范性：规范性：P( )=1，P( )=0.3) 有限可加性有限可加性: 若若 Ai (i=1，2， ,n

15、) 两两互不相容，则两两互不相容，则 nn1ii1ii)P(A)AP(例例1 1 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不超过报时，求他等待的时间不超过10分钟的概率分钟的概率.1 1.2 2.3 3 几何概型几何概型解解 设设A表示表示“某人等待的时间不超过某人等待的时间不超过10分钟分钟”，P(A)=13:0014:0013:5061几何区域几何区域 D 的度量的度量 对某区域对某区域 D (线段、平面、立体线段、平面、立体) 的大的大小的一种数量描述小的一种数量描述 (长度、面积、体积长度、面积、体积)，用，用

16、 (D) 表示表示.16几何概率几何概率 设试验设试验 E 为几何概型，其样本空间对应的几何区域为几何概型，其样本空间对应的几何区域为为 ，事件，事件 A 表示为表示为“在在区域区域 内随机投一点，而该点落在内随机投一点，而该点落在区域区域 的可度量子的可度量子区域区域 G 中中”, 则有则有 P(A)=)()( G这个概率称为这个概率称为几何概率几何概率. .几何概型几何概型 设设区域区域 G 区域区域 ，向区域，向区域 内随机地内随机地 (等可能等可能地地) 投点投点 , ,点落入点落入 G 的概率与的概率与区域区域 G 的度量成正比，而与该的度量成正比，而与该区域在区域在 中的位置、形状

17、无关，中的位置、形状无关，则称此概率模型为则称此概率模型为几何概型几何概型. .17例例2 2（会面问题）（会面问题）甲、乙两人约定在甲、乙两人约定在6 时时到到 7 时之间在某处见面，并约定先到者时之间在某处见面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去应等候另一人一刻钟，过时即可离去. 假假定每个人在指定的定每个人在指定的 1 小时内任一时刻到小时内任一时刻到达是等可能的，求两人能会面的概率达是等可能的，求两人能会面的概率.)()G( 222602452160 43756. 0 解解 设设 A两人能会面两人能会面 x甲到达约会地点的时刻甲到达约会地点的时刻 y乙到达约会地点的时刻乙到达

18、约会地点的时刻 则样本空间则样本空间 = ( x , y ) | 0 x 60，0 y 60 A为区域为区域 G = ( x , y )| 0 | x -y | 15 ，且，且G 于是于是 P(A)=18定义定义1 1.1 1 设设 A 是试验是试验 E 的一个事件，若在的一个事件，若在 n 次重复试验中次重复试验中事件事件 A 发生了发生了 m 次，则称次，则称 m 为事件为事件 A 发生的发生的频数频数，比值，比值 m/n 为事件为事件 A 发生的发生的频率频率，记为，记为 n(A).性质：性质：1.非负性非负性 对任意事件对任意事件 A ，0 n(A) 1;2. 规范性规范性 对于必然事

19、件对于必然事件 , 有有 n( ) = 1,3. 可加性可加性 若事件若事件A1, A2 , , An两两互不相容，则两两互不相容，则 nn1iin1iin)(A)A( n( ) = 0;1 1.2 2.4 4 频率与概率频率与概率19定义定义1 1.2 2 在相同的条件下在相同的条件下 , 重复进行重复进行 n 次试验次试验 , 当当 n 充分大充分大时，事件时，事件 A 发生的频率发生的频率 n(A)稳定地某一常数稳定地某一常数 p 附近摆动附近摆动 , 且且n 越大越大 , 摆动幅度越小摆动幅度越小 , 称这个称这个频率的稳定值频率的稳定值 p 为事件为事件 A 的的概率概率, 即即注意

20、注意 频率的稳定值是先于试验而客观存在的。频率的稳定值是先于试验而客观存在的。P(A)= p这个概率称为这个概率称为统计统计概率概率. .20公理公理2 2 （规范性）（规范性）P( )=1； 公理公理3 3 （可列可加性（可列可加性完全可加性）完全可加性） 若若Ai (i=1, 2, ) 两两互不相容，则两两互不相容，则公理公理1 1 （非负性）对于任一事件（非负性）对于任一事件A，都有，都有0P(A)1； 则称函数则称函数 P(A) 为事件为事件 A 的概率。的概率。 1ii1ii)P(A)AP(定义定义1 1.3 3 设设 为为试验试验 E 的样本空间的样本空间, 若对每一事件若对每一事

21、件 A，都有都有一个实数一个实数 P(A) 与之对应与之对应, 且且 P(A) 满足下列三条公理：满足下列三条公理： 1 1.2 2.5 5概率的公理化定义概率的公理化定义21性质性质1 1 不可能事件的概率为零，即不可能事件的概率为零，即P( )=0.证明证明 因为因为 = + +， 由公理得由公理得P( )= P( )+ P( )+，故故 P( )=0概率的性质概率的性质证明证明 性质性质2 2 (有限可加性有限可加性) 若事件若事件1, 2, ,n 两两互不相容两两互不相容, 则则 n1iin1ii)P(A)AP( n21n1iiAAAA由公理由公理3得得ni12ni 1P(AP(A )

22、P(A )P(A ) 0 0 )nii 1P(A)22性质性质3 3 对于任意事件对于任意事件，有，有P(A)1)AP( 证明证明 因为因为,AA AA由性质由性质2P()=P(A+A)=P(A)+P(A)=1 P(A)1)AP( 故故推论推论若若1，2，n 构成完备事件组，构成完备事件组， 则则 1)()A()P(An1iin1ii PP23ABBAA)-( 且且(A B)与与AB互不相容，由性质互不相容，由性质2 2 得得P(A)P(AB)P(AB)即即 P(AB)P(A)P(AB)2)2)当当A B时，有时，有AB=B，故有，故有P(AB)P(A)P(B),又又P(AB) 0, 所以所以P(A) P(B)证明证明 1) 因为因为性质性质4 4 1)对于任意事件对于任意事件A、B，有，有 P(AB)P(A)P(AB); 2)若若A B, 则则P(AB)=P(A)P(B) , 且且 P(A)P(B).24证明证明 因为因为 A+B=A+(B- -AB) 且且 A(B- -AB)=,由性质由性质2 P(A+B)=P(A)+P(B- -AB)又因又因 AB B，由由性质性质4得得P(B- -A