第十二章 第6节 二阶常系数非齐次线性微分方程

1、1方程常系数非齐次线性微分第六节型一、)()(xPexfmx型二、xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(三、小结及作业三、小结及作业2第六节第六节 常系数线性非齐次微分方程常系数线性非齐次微分方程方程)(xfyqypy qp ,(为常数 )叫做二阶常系数线性非齐次微分方程 .根据解的结构定理 , 其通解为Yy *y非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法:根据 f (x) 的特殊形式 , 给出特解*y的待定形式 ,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .3)(xQex )()2(xQp)()(2xQqp)(xPemx一一. )(xfyqypy qp ,(为常数 )()(xPexfmx

2、型为实数 ,)(xPm设特解形式为, )(*xQeyx其中 为待定多项式 , )(xQ, )(*xQeyx)()(*xQxQeyx)()(2)(*2xQxQxQeyx 将代入原方程 , 得 )(xQ (1) 若,02qp则取 Q (x) 为 m 次待定系数多项式),(xQm从而得到特解形式为. )(*xQeymx)()2(xQp)()(2xQqp)(xPm为 m 次多项式 .不是特征方程的根 , 即4)(xPeyqypymx qp ,(为常数 ) (4)设特解为,)(*xQeyx(2) 若,02qp但,02 p则)(xQ是一个待定系数的 m 次多项式 ,这时特解形式为;)(*xmexQxy(3

3、) 若,02qp且,02 p则)(xQ 是一个待定系数的 m 次多项式 ,这时特解形式为;)(*2xmexQxy小结小结对方程(4), 当)2, 1,0()(*kexQxyxmk此结论可推广到高阶常系数线性微分方程)(xQ )()2(xQp)(xPm)()(2xQqp是特征方程的单根 , 即是特征方程的重根 , 即是特征方程的 k 重根 时,可设特解为5例例1. 求方程1332 xyyy的一个特解.解解: 本题而特征方程为,0322rr不是特征方程的根 .设所求特解为,*10bxby代入方程 :13233010 xbbxb比较系数 , 得330 b13210bb31,1,10bb于是所求特解为

4、.31*xy0,06例例2. 求方程xexyyy265 的通解. 解解: 本题特征方程为,0652 rr其根为对应齐次方程的通解为xxeCeCY3221设非齐次方程特解为xebxbxy210)(*比较系数 , 得120 b0210bb1,2110bb因此特解为.)121(*2xexxy3,221rr代入方程得xbbxb01022所求通解为xxeCeCy3221.)21(22xexx ,27特解特解求求例例xexyyy31963)( :解解特征方程为0962 rr其根为321 rr方程特解为xebaxxy32)(*代入方程得比较系数 , 得2161ba,xexxy322161)(*8例例4. 求

5、解定解问题 0)0()0()0( 123yyyyyy解解: 本题而特征方程为,02323rrr其根为设非齐次方程特解为*y代入方程得12b故,21*xy 0321CCC21322CC,2,1,0321rrr故对应齐次方程通解为1CY xeC2xeC23原方程通解为x211Cy xeC2xeC23由初始条件得0432CC,0,xb9于是所求解为xeeyxx2141432原方程通解为解得)423(412xxeexx211Cy xeC2xeC2341 143321CCC10的的特特解解形形式式写写出出例例54352 xxyy练习练习通解形式通解形式写出写出例例xexxyy)(3262 )(*cbxa

6、xxy2xxecbxaxeCCy)(222111解：设解：设 的特解为的特解为2644xyyy *1yxeyyy2844 设设 的特解为的特解为*2y*2y *1*yy 则所求特解为则所求特解为0442 rr特征根特征根22, 1 rCBxAxy 2*1xeDxy22*2 （重根）（重根）*2y *1*yy CBxAx 2.22xeDx 例例7 写出微分方程写出微分方程xexyyy228644 的待定特解的形式的待定特解的形式. 12 *xkexyxRmcosxRmsin其中 为特征方程的 k 重根 ( k = 0 , 1 ) , ilnm,max上述结论也可推广到高阶方程的情形 。方程)(x

7、fyqypy qp ,(为常数 )xxPxxPexfnlx sin)(cos)()(二二、可以证明可以证明xxxf212cos)()(如如xexfx35sin)(13xxPxxPexfnlxsin)(cos)()( *xkexyxRmcosxRmsinlnm,max例例8. 求方程xxyy2cos 的一个特解. 解解: 本题 特征方程,0所以可设原方程xdxcxbxay2sin)(2cos)(*由于 不是特征方程的根 ,ii2代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r,2,)(xxPl,0)(xPn1m特解为比较系数 , 得0 94,31cbda.2

8、sin942cos31*xxxy于是求得一个特解13 a043cb03 c043ad14例例9. 求方程xxyy3sin303cos189 的通解. 解解: 特征方程为,092r其根为对应齐次方程的通解为xCxCY3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比较系数 , 得,5a,3b因此特解为)3sin33cos5(*xxxyir32, 1代入方程得xaxb3sin63cos6所求通解为xCxCy3sin3cos21由于 为特征方程的单根 ,因此设非齐次方程特解为i30)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos1815例例10. 设出下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形

9、式xyyysin2) 1 ()4( 解解: (1) 特征方程,01224rr即,0)1(22r有二重根, ir所以设非齐次方程特解为(*2xy )sincosxbxa(2) 特征方程,024 rr即0)1(22rr有根,04,32, 1irrxexyyxsin3)2()4( 利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为)(*2baxxyxec)sincos(xkxdx16思考与练习思考与练习1. 求方程xaeyyy 44的通解 .提示提示:0442rr221 rr对应齐次方程通解xexCCY221)(1) 当2a时,设特解xaeAy 2) 当2a时, 设特解xaexBy2答案答案: 原方程的通解为y

10、2a,)2(1)(2221xaxeaexCC2a,)21(2221xexxCC172 . (填空填空) 设1) 当 时可设特解为 xxxfcos)(2) 当xexxxf22cos)( *xy xbxacos)(*yxdxcxbxa2sin)(2cos)(xek2)(xfyy 时可设特解为 xxPxxPexfnlxsin)(cos)()( *xkexyxRmcosxRmsinlnm,max提示提示:xdcxsin)(18三、小结三、小结)(xfyqypy 1. xmexPxf)()(为特征方程的重根 ,)2, 1 ,0(kxmkexQxy)(*则设特解为2.sin)(cos)()(xxPxxPe

11、xfnlx为特征方程的i重根 ,)1 ,0(kxkexy*则设特解为sin)(cos)(xxRxxRmmnlm,max19作业作业12-6A组组220P1(1)(2)(3)(5)(7)(9),2(1)(3)20一、一、 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解: :1 1、xeyay 2；2 2、xxeyyy 323；3 3、xxyycos4 ；4 4、xyy2sin . .二、二、 求下列各微分方程满足已给初始条件的特解求下列各微分方程满足已给初始条件的特解: :1 1、0,1,5400 xxyyyy；2 2、xxexeyyy 2, , 1,111 xxyy；3 3、)2cos(214xxy

12、y , , 0,000 xxyy. .练练 习习 题题21三、三、 含源含源在在CLR,串联电路中串联电路中, ,电动电动E势为势为的电源对的电源对电电充电充电容器容器 C. .已已20 E知知伏伏, ,微法微法2 . 0 C, ,亨亨1 . 0 L, ,欧欧1000 R, ,试求合上开试求合上开后后关关 K的电的电及及流流)(ti)(tuc电电压压 . .四、四、 设设)(x 函数函数连续连续, ,且满足且满足 xxxdttxdtttex00)()()( , , )(x 求求. .22练习题答案练习题答案一、一、1 1、2211sincosaeaxCaxCyx ； 2 2、)323(2221xxeeCeCyxxx ； 3 3、xxxxCxCysin92cos312sin2cos21 ； 4 4、212cos10121 xeCeCyxx. .二、二、1