Haar小波分析

1、Haar小波分析郑克芝轮机工程傅里叶变换的局限性傅里叶变换的局限性 傅里叶变换：知道一段时间内，信号的各个频率分量有分别多少。 傅里叶变换是把时域的函数比作无数不同频率的正余弦函数的叠加，计算每个频率分量有多少，形成频谱。 问题： 如果每个频率分量都在整个时间域上持续，没问题。但如果有些频率分量可能一开始没有，只在某一段时间范围内出现（非平稳过程）。频谱图上看不出来。也就是说，时域相差很大的两个信号，可能频谱图一样！所以，对非平稳过程，傅里叶变换有局限性！如上图，最上边的是频率始终不变的平稳信号。而下边两个则是频率随着时间改变的非平稳信号，它们同样包含和最上信号相同频率的四个成分。做FFT后，

2、我们发现这三个时域上有巨大差异的信号，频谱（幅值谱）却非常一致。尤其是下边两个非平稳信号，我们从频谱上无法区分它们，因为它们包含的四个频率的信号的成分确实是一样的，只是出现的先后顺序不同。可见，傅里叶变换处理非平稳信号有天生缺陷。它只能获取一段信号总体上包含哪些频率的成分，但是对各成分出现的时刻并无所知。因此时域相差很大的两个信号，可能频谱图一样。小波概念小波概念 小波是定义在有限间隔而且其平均值为零的一 种函数。 小波变换：知道一段时间内，信号的各个频率分量有分别多少，以及他们都是什么时候出现的。 Haar小波是小波的一种，是最简单的正交归一化小波。Haar基本小波函数定义在区间 0，1上。

3、比较比较小波具有有限的持续时间和突变的频率和振幅，波形可以是不规则的，也可以是不对称的，在整个时间范围里的幅度平均值为零。而正弦波和余弦波具有无限的持续时间，可以从负无穷扩展到正无穷，波形是平滑的，振幅和频率也是恒定的。HaarHaar小波小波Haar基函数小波函数小波函数Haar小波函数为：构造Haar小波函数的两个关键点：（1） 是的成员 ，所以可表示为 ，（仅有有限个 非零）。（2） 与 正交，即对所有的正整数 成立。) 12()2()(xxx1VRaxaxlll , ) 12()(la0V0)()(dxkxxk令 是由形如的函数构成的空间，设仅有有限个 非零。 是 的正交补，即 能被分

4、解为无限个正交直和：特别地，对每个 可唯一地写成：这里无限直和应当视为有限直和的极限，即jWzkkjkRakxa )2(kajVjjjWVV 1jW)(2RL.)(1002WWVRL)(2RLf 00jjwff。，jjWwVf00NjjNwff00lim 对于多分辨率而言，尺度函数与小波函数共同构造了信号的分解。这里尺度函数可以由低通滤波器构造，而小波函数则由高通滤波器实现。这样的滤波器组就构成了分解的框架。而同时我们可以看到，低通滤波器的尺度函数可以作为下一级的小波函数和尺度函数的母函数。说明白些，其实尺度函数表征了信号的低频特征，小波函数才是真正逼近高频的基。利用尺度函数可以构造出小波函数。HaarHaar分解与重构算法分解与重构算法 其中 表示宽为 的尖峰。当 足够大时，这样的尖峰也就窄的足以表示噪声了。 例如，假设脉宽小于0.01的尖峰表示噪声。因为 ，那么任何 ， 均表示噪声。为了滤除该噪声，这些项要被设定为0。和式的其余部分表示了一个同原信号非常近似的信号，只是已经没有噪声了。lljjWwwwwff ,.1210llw121l76201