FIR数字滤波器设计和实现

1、北京邮电大学信息与通信工程学院概述:IIR和FIR比较IIR与FIR性能比较IIR数字滤波器：幅频特性较好；但相频特性较差；有稳定性问题；FIR数字滤波器：可以严格线性相位，又可任意幅度特性因果稳定系统可用FFT计算（计算两个有限长序列的线性卷积 但阶次比IIR滤波器要高得多3北京邮电大学信息与通信工程学院概述:IIR和FIR比较IIR与FIR设计方法比较IIR DF :无限冲激响应，H（Z是z -1的有理分式，借助于模拟滤波器设计方法，阶数低（同样 性能要求。其优异的幅频特性是以非线性相位为代价的。缺点:只能设计特定类型的滤波器，不能逼近任意的频响。FIR DF :有限冲激响应，系统函数H(

2、Z是z -1的多项式，采用直接逼近要求的频率响应设计灵活性强缺点:设计方法复杂：延迟大；阶数高。(运算量比较大，因而在实现上需要比较多的运算单元和存储单元FIR DF的技术要求：通带频率p阻带频率S及最大衰减a p最小衰减a3艮重要的一条是保证 H(z具有线性相位。4北京邮电大学信息与通信工程学院概述:FIR DF设计方法FIR数字滤波器设计FIR滤波器的任务：给定要求的频率特性，按一定的最佳逼近准则，选定h(n及阶数N。三种设计方法：n窗函数加权法。频率采样法p FIR DF的CAD -切比雪夫等波纹逼近法5北京邮电大学信息与通信工程学院概述:FIR DF零极点FIR滤波器的I/O关系：10

3、N r y(nh(rx(n r-=-Z2 0121(，尸-h n n N FIR滤波器的系统传递函数:1211011N N N rN r h(z h(z .h(N H(zh(rzz=+-=口在Z平面上有N-1个零点;在原点处有一个(N-1阶极点，永远稳定。FIR系统定义:一个数字滤波器DF的输出y(n,如果仅取决于有限个过去的输入和现在的输入 x(n, x(n-1,x(n-N+1,则称之为FIR DF。FIR滤波器的单位冲激响应：6北京邮电大学信息与通信工程学院FIR DF的频率响应为：FIR滤波器的最重要特点是能实现线性相位。具有线性相移特性的FIR滤波器是FIR滤波器中应用最广泛的一种。1

4、j (r 0(H (e N j jn n H e h n e3 30 GJ GJ -=EH r (振幅响应，它是一个取值可正可负的实函数。8(=arg H(e j岫数字滤波器的相位响应。概述:FIR DF频率响应7北京邮电大学信息与通信工程学院信号通过线性滤波器时，其幅度和相位可能会发生改变，滤波器幅频特性|H( cP 相频特性9(M能会随频率的变化而改变。如:输入正弦信号Acos(n0则:输出为|H(0| Acos(n 共虫相移9=9 (0输出频率和输入频率相同，但幅度和相位都发生了变化输出信号比输入信号滞后的样点数 n (位移可由下式求得：设:n co 0+9 =0000(n -0 CD

5、0=8波器在数字频率 眦的相位延迟(位移由于相位延迟n的不同，最终产生了相位失真。确保不产生相位失真的办法：使不同频率的信号通过滤波器时有相同的延迟n o概述:相位失真8北京邮电大学信息与通信工程学院对不同的频率有恒定的相移8不同的相位延迟n，会产生相位失真.如:方波y(t可以用无数奇次谐波的正弦波的叠加来得到：41111y(tsin(tsin(3tsin(5tsin(7tsin(9t3579冗Q +Q +Q +Q +Q +若每个正弦波相移冗/项度：确保所有频率具有相同相位延迟的简单方法：随着频率的变化而改变相位，使滤波器具有线性相位特性，即使所有频率的相位延迟保持恒定，这种方法可通过使系统的

6、相 位函数8(的频率的线性函数来实现。概述:相位失真p 41111y (t=cos(tcos(3tcos(5tcos(7tcos(9t3579九Q + Q + Q + Q +0+相移之后正弦波之和已不再是方波。9北京邮电大学信息与通信工程学院线性相移FIR DF约束条件和频率响应三个内容：n约束条件包延时滤波h(n偶对称:恒相延时和包群延时同时成立 h(n奇对称:仅恒群延时成立。频率响应Type I :h(n偶对称、N为奇数Type II :h(n偶对称、N为偶数Type III :h(n奇对 称、N为奇数Type IV :h(n奇对称、N为偶数p FIR DF零极点分布10北京邮电大学信息与

7、通信工程学院群延时：(g d d 0 CD T CD CD线性相移FIR DF约束条件1叵延时滤波包延时滤波滤波器的延时分为相延时和群延时两种1(l(l(N j jn j j j r n H e h n e H e e H e企。 8 -=± =Ej (二arg H(e 8期延时滤波器：P p (或3 P g (曷不随变化的常量，这时滤波器具有线性相 位特性。11北京邮电大学信息与通信工程学院(0 CD T CD=-(负号是因为系统必有时延由于FIR滤波器的传递函数为：1010(cos sin N j jn n N n H e h n e h n n j n-=-=- EEw0 (w

8、1010(sin (arg(arctan (cos N j n N n h n n H e h n n P？ ?=?=? =-=- ?EM:线性相移FIR DF约束条件1叵延时恒相延时和包群延时同时成立要使rp p都不随变化，8 (面、须是一条过原点直线12北京邮电大学信息与通信工程学院于是：1(sin sin tan(cos (cos N n N n h n n h n n010T CDT GJ T GJ 3=22110(sin cos (cos sin N N n n h n n h n n-= ESI(in(N n h n s n p -=-=E叩00h(0siMs(Nh(nsin -n

9、 h(N-0 h(1sin h(0sin(h(N-1 h (1 1-( h N-1(N-2s s s in in -(-nsi (n N (N-1-n -2 N-1in 0 + + = +1 T T CD T CD CD CD +T CD CD +tCjDTCl)Cjl)TCjl(Cjl) + T + + =CjD Cl) T Cl) Cl) Cl)-+-线性相移FIR DF约束条件;叵延时13北京邮电大学信息与通信工程学院 可以证明，当 1 12(0n N-1N h n h N n -(P g N - TCD=TCD=T =线性相移FIR DF约束条件:上式成立，此时恒相延时和包群延时同时成

10、立时，线性相位滤波器的必要条件是：不管N为偶数，还是N为奇数，系统冲激响应h(n都关于中心点(N-1/2偶对称。 当N为奇数时对称中心轴位于整数样点上；当N为偶数时对称中心轴位于非整数样 点上。h(n为偶对称,N为偶数 12N -7nh(nh(n为偶对称,N为奇数 12 N -6 n h(n 14北京邮电大学信息与通信工程学院 020CjD=0-TCl) =- T是有：11(sin cos(tan cot 2sin(cos N n N n h n nh n nCOTtrCDTCDTCDT?EE 110j (r (H (e (cos sin N N j j n n n H e h n e h n

11、 n j n 8 线仰=- DDE 渤束条件:只要求包群延时成立若只要求群延时r g (为一常数，则相移特性为不过原点的直线。8 (2九1010(sin (arg(arctan 2(cos N j n Nn h n n H e h n n 兀 8 cd?t? ? ? ? ?=-=- ?EM15北京邮电大学信息与通信工程学院11(cos cos (sin sn N N n n h n n h n n -=-EE1(cos(0N n h n n p-可以证明，当112(0n N-1N h n h N n - 七二=02s12(g N - T CD = T =上式成立，此时线性相移FIR DF约束条

12、件:包群延时16北京邮电大学信息与通信工程学院FIR滤波器单独满足恒定群延时的必要条件为：冲激响应h(n对中心点(N-1/2成奇对称。此时，无论N为奇数或偶数，滤波器的 相频特性均为线性，并包含有九/2勺固定相移：因此，信号通过此类滤波器时不仅产生(N-1/2个取样点的延迟，还将产生90o的相移，通常这类滤波器又被称为90o移相器，并具有很好的应用价 值。N-1(22Tt 0 CD CD-=1111222N N N h h N h- ? ?=-=-? ? ? ? ? ? ?当N为奇数时，故 102N h-?=?N -7h(n为奇对称，N为偶数n h(n 12N -6h(n为奇对称,N为奇数 n

13、h(n线性相移FIR DF约束条件:包群延时17北京邮电大学信息与通信工程学院00,(1 2(1N h n h N n 88 copT =?-?=?=-?相时延和群时延同时成立 奇对称：9 (对所有的频率成分都有一个90 相移。因此,有四种类型的FIR DF :线性相移FIR DF约束条件线性相位约束条件对于任意名&定的值N，当FIR滤波器的h(n相对其中心点(N-1/2是对称时，不管 是偶对称还是奇对称，此时滤波器的相移特性是线性的，且群延时都是r = (1-1/2。偶又t称：9 (为过原点的，斜率为-t的一条直线0,(221 2(1 N h n h N n 兀？ 88 =-?-?=

14、?=-?仅群时延同时成立IN II N III N IV N ?类型：h(n偶对称，为奇数类型：h(n偶对称，为偶数类型：h(n奇对称，为奇数 类型：h(n奇对称，为偶数18北京邮电大学信息与通信工程学院线性相移FIR DF频率响应:Type Ih(n偶对称,N为奇数(恒相时延、包群时延此时，由于h(n序列的长度为奇数，因此滤波器的频率响应函数可进行以下拆分 (前后对称部分、中心点：1111121200121(2N N N N j wjwjnwj N n nw jnw n n N H e h n e h n e h n e h e=-+=-?=+? EEEh(n为偶对称,N为奇数12N -6n

15、h(n对上式的第二和式作变量替换(n=N-1-m后得到:1 11122(1201(12N N N j wjw jnwj N w jnw n n N H e h n e h N n e e h e =-?= +-+?EE由对称条件1(h n h N n =-则H(e j 表示为：19北京邮电大学信息与通信工程学院线性相移FIR DF频率响应:Type I1112201112211122(111221(21(21(12c s 2o 2N N jj n N N jn N N jn j N jn N N j j j j w jn n n N H e h n h eh h e e e e e n e e

16、 N n =-? ?=+? ? ? - ? =+? ? ? ? +? ? - ?- ? ? ? -? =+?K E2?令1'2N n n -=-则上式为1122112(21011(2('cos '22(cos (N N j j N N j j rn n N N H e eh h n n ea n n eH CD CD 0 CD CD CD CD =-=- ? =+- ?=EE 20北京邮电大学信息与通信工程学院由此可以看出其线性相位特性。由于 cos(n谢于=Q兀、2冗都是偶对称，所 以幅度响应H r (对=Q兀、2冗也是偶对称。线性相移FIR DF频率响应:Type

17、I其中1(21(2(2N a n h n 0N a n h n n 0-?=?=-n？振幅响应:12r H (cos N n a n n U目频响应：N-1(-28 colT =0246800.20.40.60.81h(n24680.20.40.60.81a(n12123frequency Unit:pi M a g n t u d eMagnitude Response12-30-20-100frequency Unit:piP h a s ePhase ResponseN=9Hr (w21北京邮电大学信息与通信工程学院h(n偶对称,N为偶数(恒相时延、包群时延由于h(n序列的长度为偶数，因

18、此滤波器的频率响应函数可拆分成如下两部分 (前后对称部分，中心点处无值:线性相移FIR DF频率响应:Type IIh(n为偶对称,N为偶数12N -7nh(n对上式的第二和式作变量替换(n=N-1-m后得到:由对称条件1(h n h N n =-则 H(e j 表示为：11122(N n N N N j jn jn jn n n H e h n eh n eh n e3333=+ EEE 1122101(N N j jn j N jn n n H e h n e h N n e e=+-Z2 Z2 22北京邮电大学信息与通信工程学院线性相移FIR DF频率响应:Type II令2Nn n=-

19、,则上式为：1211212122(cos(jn j N w j j n n n N NN jH e h n en e e N n h e 3 3+-=EE12212122212(cos(cos(NN jw jw n NN jw j n rh n n w eb n n w e H 8 -=-=-=-=其更 1222212(,.，/Nb n h n n N =-=(注意n从1开始，即b(0=0，或没有定义23北京邮电大学信息与通信工程学院线性相移FIR DF频率响应:Type II与所设计的b(n或h(n无关，何为00这种类型(即h(n偶对称,N为偶数不能用 于高通或带阻滤波器。(2由于cos(n

20、-1/2；寸于=旌奇对称，所以,H r (w对=也是奇对称；以CD =0 2冗为偶对称。振幅响应：N 2r n 11H (b(n cos (n-2 ?=?U目频响应:N-1(-2=02460.20.40.60.81h(n246800.20.40.60.81b(n12frequency Unit:pi M a g n t u d e Magnitude Response12-30-20-100frequency Unit:piP h a s ePhase ResponseN=8n从1开始Hr (w汪,思:(1在二处，有：21102(cos N r n H b n n ?冗冗二? =-=? 124

21、北京邮电大学信息与通信工程学院111 111222 (1(100111111222201(22(1(口11(2sin(2(sin(2212(sin 2N N N j jn j N jn jn j N jn n n n N N N N jj n n N j H e h n e h N n e e h n e e e N N eh n j n e h n n n j N e h n 兀:+-= Q 1EEE1120N n 3-=? ? ? ? ? ? ? E h(n<Xt称,N为奇数(包群时延h(n长度为奇数，拆分成前后两部分：线性相移FIR DF频率响应:Type III对上式的第二和式作

22、变量替换，并利用对称条件h(n=-h(N-1-n,得：11112112(N N N j jn jn jn N n n n H e h n e h n e h n e=+=+EEE12N -6h(n为奇对称,N为奇数nh(n25北京邮电大学信息与通信工程学院Hr (w线性相移FIR DF频率响应:Type III1'2N n n -=-,则上式为：111222(sin (N N j j j r n H e ec n n eH兀0 Cl) Cl) Cl)=-=三其中 1212212(,.,(/N c n h n n N -?=-?=-令振幅响应：121(sinN r n H c n n -

23、=工相频响应：2N-1(-2Tt 0 CD CD02468-0.4-0.200.20.40.6h(n24680.20.40.60.81c(n120.511.5frequency Unit:pi M a g n i t u d eMagnitude Response12-30-20-10010frequency Unit:piP h a s ePhase Response 0.5pin从1开始26北京邮电大学信息与通信工程学院与c(n或h(n的值无关，因此，这种类型的滤波器不适用于低通、带阻或高通滤 波器设计，而且，这说明jH r (w是纯虚数，对于逼近理想数字希尔伯特变换和微分器， 它是很有用

24、的。理想的希尔伯特变换是一个全通滤波器，它对输入信号产生90度的相移，它频繁用于通信系统中的调制。微分器广泛用于模拟和数字系统中对信号求 导。(2由于sin(n 对于 =0兀、2 都是奇对称，所以,H r (w以=0 % 2冗为奇对称。一、/汪,思:(1在9 =解口几处，有：121(sin N j r n H e c n n3 -=二%性相移FIR DF频率响应:Type III27北京邮电大学信息与通信工程学院线性相移FIR DF频率响应:Type IVh(n奇对称,N为偶数(恒群时延1122212(sin(n NN j w j j r H e ee H 九8 -=-=12012N -7h(

25、n为奇对称，N为偶数nh(n其中212322(,N N d n h n n ?=-=?211(d(sin -2N r n H n n ?二? =?El22N Tt 0 CD CD-(=28北京邮电大学信息与通信工程学院线性相移FIR DF频率响应:Type IV2468-0.4-0.200.20.40.6h(n024680.20.40.60.81d(n120.511.5frequency Unit:pi M a g n i t u d eMagnitude Response12-30-20-10010frequency Unit:piP h a s ePhase Response 0.5piH

26、r (w与d(n或h(n的取值无关，因此传输函数H(z在z = 1处为零点。显然，这种类型 不能用于实现低通滤波器。又有，所以这类滤波器适用于设计希尔伯特变换和微分 器。一、/汪,思:(1在=眺，有：2112(sin(Nj r n H e d n n =-=E2 sin(n-1/2在=处偶对称，在0、2兀是奇对称, 所以,H r (w以co=d禺称,0、2冗为奇对称。29北京邮电大学信息与通信工程学院一般形式：(j j r H e eH0禺又称:12(N - 0 Cl)=-奇对称：122(N兀-8二-的个包时延条件(一个包时延条件(H r (为)的实函数线性相移FIR DF频率响应:小结30北

27、京邮电大学信息与通信工程学院一般的FIR DF的零、极点：11111(N N nN N nN n n f z H z h n z z h n z z=EE nfc z=0处,有一个(N-1阶的极点，故滤波器稳定;o其零点要求f(z=0,根据代 数理论，它为N-1阶多项式，应有N-1个根，所以有N-1个零点。如果h(n为实数值洪 根肯定是共腕对称的。线性相移FIR DF零极点分布31北京邮电大学信息与通信工程学院1( h n h N n =± -1,0-=N n 110 1(N N n nn n H z h n z h N n z -=殳-nri§N-1-n(11(101(1

28、01(=-± = ± = ± 二二二 z H zzm h zzm h z H N N m mN N m m N于是：(11(-±=z H z z H N性相移FIR DF零极点分布线性相移FIR DF的零极点：9如果z i是H(z的零点，即H(z i = 0则H(z -1 =0,即z i -1亦为H(z的零点32北京邮电大学信息与通信工程学院上面提到z i肯定是共腕的，故z i *亦必为其零点 于是零点有：11.*.*i i i i z zz z 1-1Z alZ a21/b b5.2.3线性相移FIR DF零极点分布总结：(1 一般情况,i j i i

29、e rz血糊个零点：=i-=*i j i i e r z1ij i i er z 11*(-=(2=印位圆上的零点:ii j i j ie z e z - c=(共腕对(3位于实轴上的实数：b, 1/b (实轴上的倒数对。(4 z i = 1:单零点(11*i i i iz z z z -=33北京邮电大学信息与通信工程学院思路：理想数字滤波器设计的FIR数字滤波器(j jn d dn H e h n eoo3-3=-°°El(N j jn n H e h n e -=12窗函数截短(d h n h n ? ? ? f?要求:线性相位尽可能降低逼近误差FIR DF窗口法(傅

30、里叶级数法h d (n无限长，且非因果h(n有限长，且因果34北京邮电大学信息与通信工程学院设所要求的DF的频率响应是H d (e j需票注意：它可能是低通、高通、带通 和带阻FIR DF ,没有特指某种类型的数字滤波器。不管是何种FIR DF,它的频率响应是频域中的周期函数，周期为2冗所以它可以 展开为傅氏级数形式：(j jn d d n H e h n e003-3=-00E12(j jn d d h n H e e d九-九WB法:基本原理式中h d (n是傅里叶系数 也是单位取样响应序列。由傅里叶级数理论可得：35北京邮电大学信息与通信工程学院因此，所要求的DF的系统函数便可求得：显然,H d (z是非因果的，且h d (n的持续时间为-00+oo物理上不可实现我们可以采用逼近H d (e j白物方法n首先把h d (n先截短为有限项，把h d (n截为2M+1项，得：(nd d n H z h