平面向量的概念及线性运算考点与提醒归纳

1、平面向量的概念及线性运算考点与提醒归纳、根底知识1. 向量的有关概念向量的定义及表示： 既有大小又有方向的量叫做向量.以A为起点、B为终点的向量记作入宣,也可用黑体的单个小写字母 a, b , c,来表示向量.向量的长度模:向量N云的大小即向量AB的长度模,记为|鼻直|.2.几种特殊向量名称定义备注零向量长度为0的向量零向量记作0,其方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量a单位向量记作 ao,ao =|a|平行向量方向相同或相反的非零向量也叫共线向量0与任意向量共线相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量一疋是平仃向量,平仃向量不一疋是相等向量相反向量长度相等且方向相反的两个向量假设a,b

2、为相反向量,那么a = -b单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同；与向量a平行的单位向量有两a a个,即向量|和- |a|.3.向量的线性运算向量运算定义法那么或几何意义运算律加法求两个向量和的运算三角形法那么平行四边形法那么?(1)交换律：a + b = b + a;结合律：(a + b)+ c = a+ (b + c)减法求a与b的相反向 量一b的和的运算叫做a与b的差三角形法那么a b = a + ( b)数乘求实数入与 向量a的 积的运算|七|=|川a|;当A> 0时,的方向与 a的方向相同；当疋0时,扫的方向 与a的方向相反；当入=0时,七=0?(a)=(入)(a;

3、(入 + (j)a = 右+ pa;?(a + b)=右 + ?b?向量加法的多边形法那么多个向量相加,利用二角形法那么,应首尾顺次连接,a + b + c表示从始点指向终点的向 量,只关心始点、终点4.共线向量定理向量aa工0与b共线,当且仅当有唯一一个实数入使得b = ?a.只有a工0才保证实数 入的存在性和唯一性.二、常用结论1 > ->1假设P为线段AB的中点,O为平面内任一点,贝U OP = 2 OA +0B.> > >2OA = XOB + QC 人为实数,假设点A, B, C三点共线,那么 入+尸1.考点一平面向量的有关概念典例给出以下命题： 假设

4、a = b , b = c,贝U a = c;> > 假设A, B, C, D是不共线的四点,贝U AB = DC是四边形ABCD为平行四边形的充要 条件； a = b的充要条件是|a|=|b|且a / b ; 假设 a / b , b / c,贝U a / c.其中正确命题的序号是.解析正确 a = b ,.a, b的长度相等且方向相同,又b = c,.b , c的长度相等且方向相同, a, c的长度相等且方向相同,故 a = c.> > > > > > 正确. AB = DC ,二| AB |=|DC |且 AB / DC ,又 A, B,

5、C, D 是不共线的四点,四边形 ABCD 为平行四边形；反之,假设四边形 ABCD 为平行四边形,> > >> > >那么 AB / DC 且| AB |= | DC 因此,AB = DC . 不正确.当a/b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a= b,故|a|=|b|且a lib不是a= b的充要条件,而是必要不充分条件. 不正确.考虑b = 0这种特殊情况.综上所述,正确命题的序号是答案 解题技法 向量有关概念的关键点(1) 向量定义的关键是方向和长度.(2) 非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制.(3) 相等向量的关键是方向相同

6、且长度相等.(4) 单位向量的关键是长度都是一个单位长度.(5) 零向量的关键是长度是 0,规定零向量与任意向量共线.题组练习 1. 给出以下命题： 两个具有公共终点的向量,一定是共线向量； ？a = 0(入为实数),那么入必为零； 入为实数,假设扫,那么a与b共线.其中错误的命题的个数为 ()A. 0B. 1C. 2D. 3解析：选D 错误,两向量共线要看其方向而不是起点或终点.错误,当a = 0时,不管入为何值,la = 0.错误,当0时,la =pb = 0,此时,a与b可以是任意向量.故错误的命题有3个,应选D.2. 设ao为单位向量,以下命题中：假设 a为平面内的某个向量,那么a =

7、|a|ao；假设a与ao平行,那么a= |a|ao;假设a与ao平行且|a|= 1贝U a = ao,假命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3解析：选D向量是既有大小又有方向的量,a与|a|ao的模相冋,但方向不一定相冋,故是假命题；假设a与ao平行,那么a与ao的方向有两种情况：一是冋向,二是反向,反向时a = |a|ao,故也是假命题.综上所述,假命题的个数是3.考点二 平面向量的线性运算典例 2021全国卷I 在厶ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,那么 >EB =()3>1>"AB 4 AC1 B 3BB. 1 AB 4 ACD.1 AeB

8、 + 4 AC44D. 4c.3aeB + 1ACC44如图,在直角梯形 ABCD 中,B Br AB + sAD,贝U 2r + 3s=()A. 1C. 312B B B 1B 1 B解析(1)作出示意图如下图.EB = ED + DB = 2AD + 2 CB =1 B B 1 B B 3B 1 Bx 2( AB + AC )+ 2( AB AC) = 4 AB AC 应选 A.B B B B 2 B B 2 B B B(2)根据图形,由题意可得 AE = AB + BE = AB + 3 BC = AB + 3( BA + AD + DC)=1 b 2 b1 b 2 aaB , 1 aa

9、B 1 b 2 b§AB + 3(AD + DC ) = 3 AB + 3 AD + AB = 2 AB + 3 AD .B B B12由于 AE = r AB + sAD ,所以 r = 2, s= 3,贝U 2r + 3s= 1 + 2 = 3.答案A (2)C解题技法向量线性运算的解题策略(1) 常用的法那么是平行四边形法那么和三角形法那么,一般共起点的向量求和用平行四边形 法那么,求差用三角形法那么,求首尾相连的向量的和用三角形法那么.(2) 找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.(3) 用几个根本向量表示某个向量问题的根本技巧

10、：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法那么找关系；化简结果.与向量的线性运算有关的参数问题,一般是构造三角形,利用向量运算的三角形法那么进行加法或减法运算,然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.题组练习1. 设DABC所在平面内一点,"BO = 365,那么()>1 > 4>> 1 > 4>A . AD =- 3 AB + §ACB . AD = 3 AB 3 ACd .= 3ab 3 CC C C C 1 C C 1 C 1 C1C解析：选 A 由题意得 AD = AC + CD = AC + 3 BC = AC + 3

11、 AC 3 AB = 3 AB + 4-c4 AC .2. 2021太原模拟在正方形ABCD中,M , N分别是BC, CD的中点,假设 A-=瓜M-+ 3AN,那么实数 AtF尸C C C C 1 C C 1 C解析：如图, AM = AB + BM = AB + 2 BC = DC + 2 BC,C C C C 1 CAN = AD + DN = BC + DC, 4 2 4 2由得 BC = 3 AN 3 AM , DC = 3 AM 3 AN ,4 2 42 2 2 AC = AB + BC = DC + BC = 3AM 3 AN + 3 AN 3 AM = 3 AM + 3 AN

12、,224T AC = ZAM + 3AN , = 3, 3= 3, >+ 尸 §考点三共线向量定理的应用典例设两个非零向量a与b不共线,假设 AB = a + b , BC = 2a + 8b , CD = 3a 3b ,求证： A, B, D 三点共线；(2)试确定实数 k,使ka+ b和a + kb同向.> > >解(1)证实：AB = a + b , BC = 2a + 8b , CD = 3a 3b ,> > >>BD = BC + CD = 2a + 8b + 3a 3b = 5(a + b)= 5 AB ,> >

13、 AB , BD 共线.又它们有公共点B, A,B, D 三点共线.(2) vka + b 与 a+ kb 同向,存在实数 久?0),使 ka + b = Xa + kb),即 ka+ b = ?a + 入 k (k X)a= (Xk 1)b .a, b是不共线的非零向量,k X= 0,k= 1 ,k= 1 , 解得或Xk 1 = 0 ,X= 1X= 1 ,又?>0,.k= 1.1. 向量共线问题的考前须知(1 )向量共线的充要条件中, 当两向量共线时, 通常只有非零向量才能表示与之共线的其 他向量,注意待定系数法和方程思想的运用.(2)证实三点共线问题, 可用向量共线来解决, 但应注意

14、向量共线与三点共线的区别与联 系,当两向量共线且有公共点时,才能得到三点共线.题组练习 1.在四边形 ABCD 中,AB = a + 2b , BC = 4a b , CD = 5a 3b ,那么四边形 ABCD的形状是 ()B 平行四边形D .以上都不对A .矩形C.梯形解析：选 C 由,得 瓦D = A8 + 1BC + CID=- 8a 2b = 2( 4a b) = 21BC,故> > > > AD / BC 又由于AB与CD不平行,所以四边形 ABCD是梯形.2. 向量 eiM 0,入 R, a = ei+ te2, b = 2ei,假设向量a与向量b共线,那

15、么()A .A 0B. e2= 0C. ei / e2D. ei / e2或 =0解析：选D 由于向量eiM 0,入 R, a = ei + te2, b = 2ei,又由于向量a和b共线,存在实数 k,使得a = kb,所以ei+?62= 2kei,所以 入e= (2k i)ei,所以ei/e2或X= 0.> i > > > >3. 0ABC 内一点,且 AO = 2( OB + OC), AD = t AC,假设 B, O, D 三点共线,那么t=()iiAyb.3i2C.2d.3解析：选B 设E是BC边的中点,贝y 2( OeB +_Oc)=_Oe,由题意得

16、 瓜3=I,所以i 1 i i i i i i i ii iAO = 2AE = 4( AB + AC) = 4 AB + AD,又由于 B, O , D 三点共线,所以+ / = 1,解1得t=3,应选B.14. O, A, B三点不共线,P为该平面内一点,且<O? =_Oa +AB,那么()| AB|A .点P在线段AB上B .点P在线段AB的延长线上C.点P在线段AB的反向延长线上D .点P在射线AB上1 1i iAbi i Ab i1 1解析：选 D 由 OP = OA +T,得 OP OA = , AP = 1 -AB ,.点 P 在| AB | AB | AB |射线AB上,

17、应选D.课时跟踪检测1.设D , E, F分别为 ABC的三边BC, CA, AB的中点,贝U 击 + 於=()ii iA. ADB.AD1>>C2 BCD. BC> > 1 > > 1 > > 1 > > >解析：选 A 由题意得 EB + FC = 2 AB + CB + qAC + BC =空AB + AC = AD.2. 向量a, b不共线,且c =七+ b , d = a+ 2入一1b,假设c与d共线反向,那么实数入的值为1A . 1B . - 21 1c. 1或2d . 1或2解析：选B 由于c与d共线反向,那么存在

18、实数 k使c = kdkv 0,于是沦 + b = k a + 211 b .整理得 扫+ b = ka + 2入k kb.=k,由于a, b不共线,所以有2 入 k k= 1,2 1整理得2 f 1= 0,解得 L 1或入=-.1又由于kv 0,所以入v 0,故f= 2-> > >3. 设向量 a , b 不共线,AB = 2a + pb , BC = a + b , CD = a 2b,假设 A, B, D 三点 共线,那么实数p的值为A . 2B . 1C. 1D. 2解析：选B 由于BC = a + b ,D = a 2b ,所以?=3 + "Cd = 2a

19、 b.又由于A,D DD DB, D三点共线,所以AB , BD共线.设AB = XBD ,所以2a + pb = f2a b,所以2= 2 f, p= f 即 f= 1, p= 1.4. 2021甘肃诊断设DABC所在平面内一点,"BC = 4"Cd,那么D =1D 3D1D 3DA"AB T ACBJ AB +； AC44443d1 d3 d1-DCJAB ； ACDJAB +： AC4444解析：选B 法一：设3 = x-+ y-,由-=4D-可得,BA +3= 4Ca> > > > >4AD,即一 AB 3AC =- 4x A

20、B 4yAC,那么4x= 1 ,4y= 3,1X= 4,解得 33尸4,>即AD =1>3 >4AB + 4 AC,应选 B., , ,>>1>>>>>>1 >法二：在AABC 中,BC = 4CD ,即一；BC = CD ,贝U AD = AC + CD = AC - BC 44> 1 > > 1 > 3 >=AC 4 BA + AC = 4 AB + 4 AC,应选 B.>3>1> 一 丨 BC I5. 在平面直角坐标系中,0为坐标原点,A, B, C三点满足OC = O

21、A + OB ,那么J二1IC|等于A . 1B. 23C. 3D.2>>>3 >1 >>3>>>>3解析：选 C 由于 BC = 0C OB =T 0A +- OB OB =- BA , AC = OC OA =- 4444DA + 才-B OA = 1AB,所以3应选 C.I AC |B B BB B6. ABC的边BC的中点为D,点G满足GA + BG + CG = 0,且AG =入GD , 那么入的值是1A. 2B . 21C. 2D . 2解析：选C 由"GX +63 + &G = 0,得G为以AB, AC

22、为邻边的平行四边形的第四个BB顶点,因此 AG = 2GD,贝U A 2应选C.7. 以下四个结论：十前 + "C = 0 :能 +祁 十品 + OHM = 0；B B B B B B B B AB AC + BD CD = 0: NQ + QP + MN MP = 0,其中一定正确的结论个数是 A . 1B. 2解析：选 C AB> + B + CA = AC + C = 0,正确； AB> + M + BO + OM>> >> > > > > > > > >=AB + MO + OM = AB,错

23、误； AB - AC + BD - CD = CB + BD + DC = CD + > > > > > > >正确.故正确.8如图,在平行四边形 ABCD中,M, N分别为AB, AD上的点,且>3>>2>AM= 3 AB,AN= 2 AD,AC,MN 交于点f fP.假设 AP =入AC ,那么入的值为( )Al6d.17> 3 > > 2 >解析：选 D VAM = - AB , AN = 3 AD4 3_AB + AD )=入 3 AM + 2 AN43=3XAM + 2入AN .V点M , N,

24、 P三点共线,3入+ 3=1,那么x=寻应选d.9.设向量a, b不平行,向量扫+ b与a + 2b平行,那么实数 X=DC = 0,正确； NQ + QP + MN - MP = NP + PN = 0,解析：由于向量七+ b与a + 2b平行,1所以X=-.=k, 所以可设扫+ b = k(a + 2b),贝U1= 2k,1答案：2> 1 >> >10假设 AP = 2PB,AB =(入+ 1) B P,那么解析：如图,由A = 2 "P,可知点P是线段AB上靠近点A的三等分点,f 3>35那么AB =- 2 BP,结合题意可得 H 1 = 2,所以X=- 2.答案：一5> > 11. 平行四边形 ABCD的对角线 AC和BD相交于0,且OA = a , OB = b,贝U DC=, BC =.(用 a, b 表示)> > > > &