探求正四面体外接球内切球半径求法

1、探求正四面体外接球、内切球半径正四面体是特殊的正三棱锥,所有的棱长都相等,四个面是全等的等边三角形,有外接球、内切球,且球心重合正四面体 ABCD麦长为a,设外接球半径为 R,内切球半径为r,球心为0,那么正四面体的高h是扌a,外接球半径是f a即R 4 h ；内切球半径是a即1 一rh .外接球半径是内切球半径的 3倍下面从不同角度、用不同方法进行探求:4方法一：勾股定理作AH 平面BCD于 H点,那么点H是VBCD勺中央,高h AH迈a,设0为球心,那么03AH.连结 BH, B0在 RtVBOH中, BC2 BH2 0H2 ,即R2寻)2 (J a33R)2,12方法二:三角正切倍角公式

2、作AH 平面BCD于 H点,那么点H是VBCD的中央,高hAH6亍,设0为球心,那么0AH.连结 BH, BOQ A0B0AB0BAO=BOHJ2 .在 RtVABH中,tanBHAH2a36 亍a2,在 RtVOBH中,tan 2BH0H乜a3r3a3r '2Q tan 22 tantan 23a耳R h r12-la3丄a12方法三：分割等体积作AH 平面BCD于 H点,那么点H是VBCD勺中央,高h AHa,设O为球心,那么O3AH.连结 BO CO DO得到四个以O为顶点的小棱锥,它们的底面是正四面体的一个面,高是 内切球的半径r,设正四面体每个面的面积为S,那么 4VO BC

3、DVA BCD,即 43旳1§SgAH,1 1 r-AH - h-6 a,4412R h r 丄 a/a3124方法四：侧棱、高相似或三角作AH平面BCD于 H点,那么点H是VBCD的中央,高h AH6 a,设O为球心,那么O AH.3设M是AB的中点,连结OMOBBH,Q AO BO OM ABAMO AHB Rt ,又 MAO HAB,VAMO: VAHBAM AOAh Ab,a即上a,6 a a3-46 a,4或：设BAHMAO,那么在 RtVABH中,cosAHAB在 RtVAMOh,cosAMAO.6a3a方法五：斜高、高相似或三角作AH平面BCD于 H点,那么点H是VBC

4、D勺中央,高h AHa,设O为球心,那么OAH.3设E为BC中点,连结AE EH ,作ONAE于N点,贝U N是VABC中央,N是AE的三等分点,ON平面ABC OF是内切圆半径r,且RtVANO: RtVAEHANAHAOAE,R2即-3-,a3a, r46.6a a34a.12或：设 EAHNAO,那么在 RtVAEH中,cosAHAE37a,2在 RtVANO中, cosANAO2aJ_R以下同上.方法六:斜高、侧棱相似或三角作AH平面BCD于 H点,那么点H是VBCD勺中央,高h AH玄,设O为球心,那么.AH.3设E为BC中点,连结AE DE DO,延长DO交AE于N ,那么N是AE

5、的三等分点,HDE且DN平面ABC那么 RtVODH: RtVDNEOHNEODDEOHODNEDER3r.AHa,.6a,12a.或：在RtVDNE中, sinNDENEDE在 RtVDOH中,sin NDEsinODHOHod,OH 1OD 3,R3r.又 R rAH h31 . 6 rha,R - h-la41244方法七：构造正方体正四面体的四个顶点是正方体的顶点,此时正四面体的的棱长为a.正方体的体对角线等于外接球直径,有外接球也是正方体的外接球,正四面体的棱长为a,那么正方体2R,h R 迈 a a兰 a.3412方法八：相交弦定理设外接球球心为 0,半径为R,过A点作球的直径,交底面VBCDF H,那么H为VBCD勺外心,求得AHfa®-a,3由相交弦定理得乎ag2R当a)仔a2解得Ra.46.6.6rh Raaa3412以上从不同