专训一：等腰三角形中四种常用作辅助线的方法

1、专训一：等腰三角形中四种常用作辅助线的方法名师点金：在几何图形中添加辅助线，往往能把分散的条件集中，使隐蔽的 条件显露，将复杂的问题简单化，例如：作"三线”中的'一线”，作平行线构 造等腰（边）三角形，利用截长补短法证线段和、差关系或求角的度数，利用加倍 折半法证线段的倍分关系.fLii 作“二线”中的线”7j. jyj I 厂 I I H J1. 如图，在AABC中，AB = AC, D是BC的中点，过点A作EF/7BC, 且 AE=AF.求证：DE = DE（第1题）透11作平行线法2. 如图，在ZXABC中，AB = AC,点P从点B出发沿线段BA移动，同时, 点Q从点

2、C出发沿线段AC的延长线移动，点P, Q移动的速度相同，PQ与直 线BC相交于点D.如图，当点P为AB的中点时，求证：PD = QD.（2）如图，过点P作直线BC的垂线，垂足为E,当P, Q在移动的过程中, 线段BE, ED, CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由.1Si截长补短法3. 如图，在AABC 中，AB = AC, D 是AABC 外一点，且ZABD = 60。,ZACD = 60°.求证：BD÷DC = AB;加倍折半法4. 如图，在AABC 中，ZBAC=I20。，AD丄BC 于 D,且 AB + BD = DC, 求ZC的度数.B DC（第4题）5如

3、图，CE, CB分别是AABC, ADC的中线，且AB = AC求证：CD= 2CE.7专训二：分类讨论思想在等腰三角形中的应用名师点金：分类讨论思想是解题的一种常用方法，在等腰三角形中，往往会 遇到条件或结论不唯一的情况，此时就需要分类讨论.通过正确地分类讨论，可 以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答.其解题疑略为：先分类，再画图， E计算.1当顶角或底角不确定时，分类讨论1. 若等腰三角形中有一个角等于40。，则这个等腰三角形的顶角度数为（）A. 40o B. IOOo C. 40。或 70°D. 40。或 100°2. 已知等腰三角形ABC中，AD丄BC于D,且A

4、D=IBC,则等腰三角形 ABC的底角的度数为（）A. 45o B. 75o C. 45°或 75。 D. 65°3. 若等腰三角形的一个外角为64。，则底角的度数为.危用2当底和腰不确定时，分类讨论4. （2015-荆门）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4,则该等腰三角 形的周长为（）. 8 或 10 B. 8 C. 10 D. 6 或 125. 等腰三角形的两边长分别为7和9,则其周长为.6. 若实数X, y满足l-4l+（y-8）2=0,则以x, y的值为边长的等腰三角形的周长为：盍刖&当高的位置关系不确定时，分类讨论7. 等腰三角形一腰上的高与另一边的夹

5、角为25。，求这个三角形的各个内 角的度数.1危用4：由腰的垂直平分线引起的分类讨论8. 在三角形ABC中，AB=AC, AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40。，求底角ZB的度数. M¾由腰上的中线引起的分类讨论9. 等腰三角形ABe的底边BC长为5 c加，一腰上的中线BD把其分为周长 差为3纽7的两部分.求腰长.1点的位置不确定引起的分类讨论10. 如图，在 /rABC 中，ZACB = 90。，AB = 2BC,在直线 BC 或 AC 上 取一点P,使得APAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）B （第 10 题）A. 7个 B. 6个 C. 5个 D.

6、4个11. 如图，在Aabc 中，bc>ab>ac, ZACB=40。，如果 d, E 是直线 AB上的两点，且AD = AC, BE=BC,求ZDCE的度数专训三：三角形中的五种常见证明类型名师点金：学习了全等三角形及等腰三角形的性质和判定后，与此相关的几 何证明题的类型非常丰富，常见的类型有：证明数量关系，位置关系，线段的倍 分关系、和差关系、不等关系等.证明数量关系题型1证明线段相等1. 如图，在ZXABC中，AB = AC, D是BC的中点，E, F分别是AB, AC 上的点，且AE=AE求证：DE=DE D C（第1题）题型2证明角相等2. 如图，在AABC 中，AB=A

7、C, ZBAC=90。，D 为 AC 的中点，AE±BD 于F交BC于E.求证：ZADB = ZCDEFJ E C（Jft 2 题）1*2证明位置关系题型1证明平行关系3. 已知AABC为等边三角形，点P在AB ±,以CP为边长作等边三角形PCE,连接AE.求证：AE BC（第3题）题型2证明垂直关系4. 如图，在ZXABC 中，AB = AC,点 D, E, F 分别在边 BC, AB, AC ±,且BD二=CF, BE=CD, G是EF的中点求证：DG丄EF.B L（第4题）:证明线段的倍分关系5. 如图，在厶ABC中，AB = AC, AD, BE是ZiAB

8、C的高，AD, BE相交 于点H,且AE=BE.求证：AH = 2BD（第5题）羡整屯证明线段的和差关系6. 如图，在AABC 中，ZABC = 2ZC, AD 平分ZBAC.求证：AB + BD =AC.证明线段的不等关系7. 如图，AD是AABC中ZBAC的平分线，P是AD ±的任意一点，且AB>AC.求证：AB-AOPB-PC.C（M 7 题）12专训四：四种常见热门考点名师点金：本章内容在中考试题中一直占有重要的地位，属必考内容，考查 形式多以选择、填空形式出现，其考查内容主要有轴对称和轴对称图形的识别、 最短距离问题.与翻折有关的计算和证明题等i轴对称图形与轴对称1.

9、 （2015-重庆）下列图形是轴对称图形的是（）ABC（第2题）2. （2015-乌鲁木齐）如图，AABC的面积等于6,边AC = 3,现将AABC 沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD ±的C处，点P在直线AD上，则 线段BP的长不可能是（）A. 3 B. 4 C. 5 D 63. （2015绥化）点A（3, 2）关于X轴的对称点A勺勺坐标为4. （2014宇夏）如图，在平面直角坐标系中，ABC三个顶点的坐标分别为A(-2, 1), B(-4, 5), C(-5, 2),画出 ABC 关于 y 轴对称的厶AlBlCh64 3 21- Le Le L:57厂M糧<*A2线段垂

10、直平分线与角平分线5如图，在AABC中，AB = AC, ZA = 36o, AB的垂直平分线DE交AC 于点D,交AB于点E,则下列结论错误的是（）. BD 平分ZABCB ZBCD的周长等于AB + BC(第6题)C. AD = BD = BCD点D是线段AC的中点6. 如图，已知在AABC中，AB = AC, ZBAC和ZACB的平分线相交于 点D, ZADC=I30。，那么ZCAB的大小是（）A 80o B 50o C 40。 D. 20o7. 如图，已知C是ZMAN的平分线上一点，CE丄AB于点E,点B, D分 别在AM, AN±,且AE =错误!(AD+AB).问：Zl和

11、Z2有何关系?<<A3-等腰三角形的判定与性质(第8题)8. 如图，在ZXABC 中，AB = AC, AD 平分ZBAC, DE丄AB, DF±AC, E, F分别为垂足，则下列四个结论：(I) ZDEF=ZDFE； (2)AE=AF; (3)DA 平分ZEDF： (4)AD 垂直平分 EF. 其中正确的有()A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个9. (中考淄博)如图，ADBC, BD平分ZABC.求证：AB=AD.t等边三角形的性质与判定10. 如图，在等边三角形ABC中，D, E, F分别为AB, BC, CA上一点(不 是中点)，且AD = BE=CF,

12、 AE与CD, BF分别交于点G, H, BF与CD交于点N,则AGHN是Dl/HiB E（第10题）（）.等边三角形B. 腰和底边不相等的等腰三角形C. 直角三角形（第11题）11. 如图，AD 是ZABC 的中线，ZADC = 60o, BC = 6,把ZABC 沿直线AD折叠，点C落在C处，连接BC则BC的长为答案（第1题）1. 证明：如图，连接AD.TAB = AC, BD=CD,AD±BC.V EF/7 BC, AD 丄 EF.TAE=AF,AAD垂直平分EF.DE=DF.2. (1)证明：如图，过点P作PFAC交BC于FT点P和点Q同时出发, 且速度相同，BP=CQ.PF

13、" AQ, ZPFB= ZACB, ZDPF=ZDQC.乂T AB =AC, ZB=ZACB, ZB=ZPFB,°BP=FP, AFP=CQ.在APFD 和 QCD 中，ZDPF=ZDQc, ZPDF=ZQDC, FP = CQ, PFDQCD(AAS), PD = QD.(2) 解：线段ED的长度保持不变.理Ill如下：如图，过点P作PF AC交 BC 于 F.由(1)知 PB = PF.TPE丄BF, BE=EF.由知 PFD空AQCD, AFD= CD, .ED=EF+FD = BE+CD=*BC,线段ED的长度保持不变.3. 证明：如图，延长BD至E,使BE=AB,

14、连接CE, AE.VZABE=60o, BE=AB, ABE为等边三角形.AZAEB=60o, AB = AE. 又 VZACD = 60°, ZACD= ZAEB.TAB = AC, AB = AE,AC = AE. ZACE= ZAEC. ZDCE= ZDEC. DC = DE.AB = BE=BD + DE = BD+DC,即 BD + DC = AB.4. 解：在 DC ±截取 DE = BD,连接 AE, VAD丄BC, BD = DE, AAD 是线段 BE 的垂直平分线， AB = AE, .ZB=ZAEB.AB + BD = DC, DE = BD, AB+

15、DE=CD.而 CD = DE+EC, AB = EC, AE=EC. ZEAC = ZC,可设ZEAC=ZC = x, V ZAEB 为ZAEC 的外角，AZAEB = ZEAC÷ ZC = 2x, .ZB = 2x, ZBAE= 180°-2x2x= 180。一4x.TZBAC= 120°, ZBAE+ZEAC= 120°,即 180°4x+x=120°,解得 x = 20°,则ZC = 20o.(第5题)5. 证明：如图，延长CE到点F,使EF=CE,连接FB,则CF=2CE.TCE (BE=AE,是ZABC 的中线，

16、AE=BE.在ABEF 和AAEC 中，5 ZBEF=ZAEC, Ief=ec,BEFAEC(SAS).ZEBF=ZA, BF=AC乂 T AB = AC, ZABC= ZACB. ZCBD=ZA+ ZACB = ZEBF+ ZABC=ZCBEVCB是厶ADC的中线，AB = BD.乂TAB = AC, AC = BF,.BF=BD.(CB=CB,在ACBF 与 ACBD 中，$ ZCBF=ZCBD, . CBFCBD(SAS). ACF、BF=BD,=CD,.CD = 2CE.专训二1. D 2.C 332。4.C 5.23 或 256.207. 解：设 AB = AC, BD±A

17、C;高与底边的夹角为25。时，高一定在AABC的内部，如图，V ZDBC=25°, .ZC=90° ZDBC=90° 25° = 65°, .ZABC=ZC = 65°, ZA= 180°一 2X65° = 50°.(2)当高与另一腰的夹角为25。时,如图，高在AABC的内部时，VZABD = 25o, .ZA=90。一ZABD=65°,AZC= ZABC = (18OO-Z A)÷2 = 57.5°；如图，高在ZXABC的外部时，TZABD=25。， ZBAD=90。一ZA

18、BD=90° 25。= 65°, ZBAC=I80o65°= 115°, ZABC =ZC = (180o-ll5o)÷2 = 32.5。，故三角形各个内角的度数为:65°, 65°, 50。或65。, 57.5°, 57.5°或115。， 32.5°, 32.5°.点拨：由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”，因此必须 进行分类讨论，另外，还要结合图形，分高在三角形内还是在三角形外.8. 解:此题分两种情况：(D如图，AB边的垂直平分线与AC边交于点D, ZADE=40&

19、#176;,则ZA = 50°,/ AB = AC, Z B = (180° 50o)÷2 = 65°.(2)如图，AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D, ZADE=40°, 则 ZDAE=50o, AZBAC= 130°.,. AB = AC, ZB = (180。一 130o)÷2 = 25°.故ZB的大小为65。或25°.9. 分析：由于题目中没有指明是“(AB+AD)-(BC+CD)”为3 Cmf还是 “(BC+CD) (AB + AD)”为3 Cnb因此必须分两种情况讨论.解:VBD 为 A

20、C 边上的中线,AD=CD, (1)当(AB + AD)-(BC+CD) = 3 C加时，有 AB-BC=3 c加，VBC = 5 cw, . AB = 5 + 3 = 8(c/");(2)当(BC+CD)-(AB+ AD)=3 Cm 时，有 BC-AB=3 cm, TBC=5 an, AAB = 5 3=2(Cm),但是当AB=2 Cm时,三边长分别为2 Cm, 2 Cm, 5 C加.而2÷2<5,不能构 成三角形，舍去.故腰长为8 C/H.10. B11. 解：（1）当点D、E在点A的同侧，且都在BA的延长线上时，如图,TBE=BC, A Z BEC = ( 18

21、OO-Z ABC)÷2,TAD = AC, ZADC=(180o- ZDAC)÷2= ZBAC÷2, VZDCE=ZBEC -ZADC, ZDCE=( 180o-ZABC)÷2-ZBAC÷2 = (18OO-ZABC-ZBAC)÷2 = ZACB÷2=40°÷2 = 20°.(2) 当点D、E在点A的同侧，且点D在D的位置，E在E，的位置时，如图 ，与类似地也可以求得ZD,CE,= ZACB÷2=20o.(3) 当点D、E在点A的两侧，且E点在E的位置时，如图，TBE=BC, ZBE&

22、#39;C = (180° ZCBE')÷2=ZABC÷2,TAD = AC, ZADC=(18OO-ZDAC)÷2 = ZBAC÷2,又 Y ZDCEyl80。一(ZBE¢+ ZADC), ZDCE' = 180o-(ZABC+ZBAC)÷2 = 180o-(18Oo-ZACB)÷2=90° + Z ACB÷2 = 90o+40o÷2 = 110°.(4) 当点D、E在点A的两侧，且点D在D的位置时，如图，TAiy=AC, ZAD,C=( 180°

23、- ZBAC)÷2,TBE=BC, Z BEC = ( 18OO-Z ABC)÷2, ZDxCE= 180o-(ZDzEC+ ZED'C) = 180° (ZBEC+ ZADZC)= 180o-(180o-Z ABC)÷2 ÷(180o-ZBAC)÷2= (ZBAC + Z ABC)÷2 = (180° - Z ACB )÷2= (180。一40。)十2 = 70。.综上所述，ZDCE的度数为20。或Iloo或70。.15(第4题)4.证明：如图，连接ED, FD.TAB = AC, ZB= ZC. BD=CF,ZB = ZC,BE = CD,BDECFD(SAS)./.DE=DE乂TG是EF的中点，.DG 丄 EF.5. 证明:VAD, BE 是ZkABC 的高, ZADB = ZAEB=90o, XVZBHD = ZAHE, ZEBC= ZEAH.f ZEBC= ZEAH,在ABC