321直线的方向向量与平面的法向量

1、攸县一中 洪开科 研究 从今天开始从今天开始, ,我们将进一步来体会向量这一工我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用具在立体几何中的应用. .为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先我为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先我们要用向量来表示直线和平面的们要用向量来表示直线和平面的“方向方向”。那么。那么如何用向量来刻画直线和平面的如何用向量来刻画直线和平面的“方向方向”呢？呢？1直线直线的方向向量的方向向量a ABl直线直线l上的上的向量向量 以及与以及与 共线的向量共线的向量 叫做直线叫做直线l的的方向向量方向向量。AB a AB APta p p空间中任意一条直线空间中任意一条

2、直线l的位置的位置可由可由l上的一个定点上的一个定点A以及以及l的方的方向向量向向量 确定确定.a 那么对直线那么对直线l上上的任意一点的任意一点P，一定存在唯一的实数一定存在唯一的实数t，使得，使得由于垂直于同一平面的直线是互相平行的由于垂直于同一平面的直线是互相平行的, , 所以，可以所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向方向”。平面平面的法向量的法向量 平面平面的法向量的法向量：如果直线如果直线l，则，则l的方向向量的方向向量叫做平面叫做平面的法向量，记作的法向量，记作 。u u Au l几点注意：几点注意：1.1.法向量一定是非

3、零向量法向量一定是非零向量; ;2.2.一个平面的所有法向量都互相平行一个平面的所有法向量都互相平行; ;3.3.向量向量 是是平面的法向量，向量平面的法向量，向量 是是 与与平面平行或在平面内，则有平面平行或在平面内，则有0a u u a 给定一点给定一点A和一个向量和一个向量 , 那么那么过点过点A以以 为法向量的平面为法向量的平面是确定是确定的的.u u abab/ab baba /3 3向量在立体几何中的应用向量在立体几何中的应用abbab0 babaa aua/aa或或0 uauaa uuaua /aa u v /vuvu / u v 0 vuvu练习：练习：4.设设 分别是直线分别

4、是直线l1,l2的方向向量的方向向量,根据下根据下 列条件列条件,判断判断l1,l2的位置关系的位置关系.ba,(1)(2,3, 1),( 6, 9,3)(2)(5,0,2),(0,4,0)abab l1l2l1l25.设设 分别是平面分别是平面,的法向量的法向量,根据根据 下列条件下列条件,判断判断,的位置关系的位置关系.vu,1(1)(1, 1,2),(3,2,)2(2)(0,3,0),(0, 5,0)uvuv.练习：练习：练习：练习：6.设设 是是直线直线l的的方向向量方向向量, 是平面是平面 的法向的法向量量,根据下列条件根据下列条件,判断判断l与与的位置关系的位置关系.a(1)( 3

5、,4,2),(2,2, 1)(2)(0, 8,12),(0,2, 3)auau ul或或l .l.例例1在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：中，求证： 是平面是平面ACD1的法向量的法向量. 1DB 证明：设正方体棱长为证明：设正方体棱长为1，如图建立如图建立空间直角空间直角坐标系坐标系D-xyz则则A(1,0,0)， C(0,1,0)，D1(0,0 ,1) 1( 1,1,0),( 1,0,1)ACAD 110,DBACDBAC 11DBAD 同同理理 所以所以 平面平面ACD1 所以所以 是平面是平面ACD1的法向量的法向量. 1 DB1 DB1(1,1,1)DB 又又AB1A

6、1BC1C1DDxyz由两个三元一次方由两个三元一次方程组成的方程组的程组成的方程组的解是不惟一的，为解是不惟一的，为方便起见，方便起见，取取x=1x=1较较合理。其实平面的合理。其实平面的法向量不是惟一的。法向量不是惟一的。2 2 14 5 3( , , ),( , , )ABAC解解：uxyz （ ， ， ）uABuAC则则，220,4530 xyzxyz 即即212yxz 设设， 解解 得得(1, 2,2),u|3u 又又12 2 (-33 3ABC平平面面的的单单位位法法向向量量为为， ，） 例例2已知空间中的三点已知空间中的三点A(1,-2,0)，B(3,0,1)，C(5,3,3)，

7、求平面求平面ABC的法向量与单位法向量的法向量与单位法向量.设设平面平面ABC的法向量的法向量为为问问题题：如如何何求求平平面面的的法法向向量量？(1)( , , )ux y z 设设出出平平面面的的法法向向量量为为111222(2)(,),(,)aa b cba b c求求出出平平面面内内的的两两个个不不共共线线的的向向量量的的坐坐标标111222(3)00a xb yc zuauba xb yc z 根根据据法法向向量量的的定定义义建建立立方方程程组组 (4)设设其其中中一一个个未未知知数数的的值值，解解方方程程组组，即即得得一一个个法法向向量量。平面的法向量平面的法向量不惟一，合理不惟一

8、，合理取值即可。取值即可。例例3 在空间直角坐标系内，设平面在空间直角坐标系内，设平面经过点经过点P(x0,y0,z0)，平面，平面的法向量为的法向量为 =(A,B,C)，M(x,y,z)为平面为平面内任意一点，求内任意一点，求x,y,z满足的满足的关系式。关系式。u000(,)PMxx yy z z ，解解：0u PM 依依题题 000( ,) (,)0A B Cxxyy zz 即即000()()()0A xxB yyC zz 化化简简得得：例例4 4证明两个平面平行的判定定理：证明两个平面平行的判定定理： 一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这

9、两个平面平行。则这两个平面平行。 已知直线已知直线a、b和平面和平面、，a,b ，ab=M，a，b，求证：求证：，证：证： 设直线设直线a、b方向向量分别为方向向量分别为 ， 平面平面、的法向量分别为的法向量分别为ba ,vu ,因为因为a，b,au bu 所所 以以因为因为a,b ，ab=M，,u 所所 以以所以所以 ,v 又又/,uv所所 以以1.已知已知 分分别是直线别是直线l1,l2的方向向量的方向向量,两条件中两条件中l1、l2的位置关系是的位置关系是( ).ba,(1)(2, 1, 2),(6, 3, 6)(2)(1,2, 2),( 2,3,2)abab BA平行平行平行平行 B平行垂直平行垂直 C垂直平行垂直平行 D垂直垂直垂直垂直2设平面设平面的法向量为的法向量为(1,2,-2)， 平面平面的法向量为的法向量为(-2,-4,k)，若若，则，则k= ；若；若，则，则k= .3设设l的方向向量为的方向向量为(2,m,1)， 平面平面的法向量为的法向量为(6,2,3)，若若l，则，则m= ；若；若l，则，则m= .4如图，如图，正方体正方体ABCDA1B1C1D1中中， E为为DD1的的中点，中点