立体几何试题解析

1、立体几何试题解析1如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，, 点是的中点，且交于点 .（I） 求证： 平面；（II）求二面角的大小； （III）求证：平面平面.解法一：（综合几何法）解法二：（空间向量法）3如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，为中点.（）求证：平面； （）求二面角的大小；（）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.解法一：（综合几何法）PABCDE解法二：（空间向量法）PABCDE4如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点.(1)求直线B1C与DE所成角的余弦值；(2)求证：平面EB1D平面B1CD；(3)求二

2、面角EB1CD的余弦值.解法一：（综合几何法）解法二：（空间向量法）6如图，四棱锥中，底面，底面为梯形，.，点在棱上，且（）求证：平面平面；（）求证：平面；（）求二面角的大小解法一：（综合几何法）解法二：（空间向量法）7如图，在直三棱柱中，点是的中点.（I）求与所成的角的大小；（II）求证：平面；（III）求二面角的大小.解法一：（综合几何法）解法二：（空间向量法）8如图，在三棱锥中，平面平面. （）求证：； （）求二面角的大小；（）求异面直线和所成角的大小. 解法一：（综合几何法）解法二：（空间向量法）9如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90°，AB=BB1，直线B1C

3、与平面ABC成30°角. （I）求证：平面B1AC平面ABB1A1； （II）求直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值； （III）求二面角BB1CA的大小.解法一：（综合几何法）解法二：（空间向量法）10如图，三棱锥PABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB (I) 求证：AB平面PCB； (II) 求异面直线AP与BC所成角的大小； （III）求二面角C-PA-B的大小解法一：（综合几何法）解法二：（空间向量法）11直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB=120°，AC=CB=A1A=1，D1是A1B1上一动点(可以与A1

4、或B1重合），过D1和C1C的平面与AB交于D.（）证明BC平面AB1C1；（）若D1为A1B1的中点，求三棱锥B1-C1AD1的体积；（）求二面角D1-AC1-C的取值范围.解法一：（综合几何法）ABCDA1B1C1D1解法二：（空间向量法）ABCDA1B1C1D112四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD,AB / CD, AD =CD=1，,，.（I）求证: 平面；（）求二面角的大小；（）求点到平面的距离.解法一：（综合几何法）APDCB解法二：（空间向量法）APDCB13已知如图(1)，正三角形ABC的边长为2a,CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边上的点，且满足，现将ABC沿

5、CD翻折成直二面角A-DC-B,如图（2）. () 试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；() 求二面角B-AC-D的大小； () 若异面直线AB与DE所成角的余弦值为，求k的值.图（1） 图（2）1（）证明：连结 交 于 ，连结 . 是正方形， 是 的中点. 是 的中点， 是 的中位线. . 又 平面 ， 3分 又 平面 ， 平面 .4分（）解：取 中点 ，则 .作 于 ，连结 . 5分 底面 ， 底面 . 为 在平面 内的射影. , . 为二面角 的平面角. 7分设 ，在 中， ， . 二面角 的大小为 . 9分（III）证明：由条件有 平面 ， 10分又 是 的中点，

6、平面 11分 由已知 平面 又 平面 平面 平面 方法二：解：（II）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系 ， 5分 由 故设 ，则 底面 ， 是平面 的法向量， 设平面 的法向量为 , , 7分则 即 令 ,则 . , 二面角 的大小为 9分（III） ， ， 12分又 且 . 又 平面 平面 平面 . 14分2（）证明：连结 ，设 与 的交点为 ，连结 . 是 的中点， 是 的中点， . 3分 . 4分（）解： 设点 到 的距离为 在三棱锥 中， ， 且 . 易求得 即点 到 的距离是 . 9分（）解：在平面 内作 于点 ， 过点 作 于点 ，连结 易证明 ， 从而 是 在平面 内的射

7、影，根据三垂线定理得 是二面角 的平面角 易求得 ， 在 中， 二面角 的大小是 . 14分解法二： 在直三棱柱 中， ， ， 两两垂直 .如图，以 为原点，直线 分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，则 （）证明：设 与 的交点为 ，则 （）解：设点 到 的距离为 在三棱锥 中， ，且 易求得 即点 到 的距离是 . 9分（）解：在平面 内作 于点 ， 过点 作 于点 ，连结 易证明 ， 从而 是 在平面 内的射影，根据三垂线定理得 是二面角 的平面角. 易知 二面角 的大小是 3解法一：（）证明：底面 为正方形， ，又 ， 平面 ， . 2分同理 ， 4分 平面 5分（）解：设 为

8、中点，连结 ，又 为 中点，可得 ，从而 底面 过 作 的垂线 ，垂足为 ,连结 由三垂线定理有 ， 为二面角 的平面角. 7分在 中，可求得 9分 二面角 的大小为 （）解：由 为 中点可知,要使得点 到平面 的距离为 ，即要点 到平面 的距离为 . 过 作 的垂线 ，垂足为 , 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，即 为点 到平面 的距离. ， 12分设 ，由 与 相似可得 ， ，即 在线段 上存在点 ，且 为 中点，使得点 到平面 的距离为 解法二：（）证明：同解法一 （）解：建立如图的空间直角坐标 ， 则 .设 为平面 的一个法向量，则 ， 又 令 则 得 8分又 是平面 的一个法向量，设

9、二面角 的大小为 ，则 二面角 的大小为 （）解：设 为平面 的一个法向量，则 ， 又 ， 令 则 得 12分又 点 到平面 的距离 ， ，解得 ，即 .在线段 上存在点 ，使得点 到平面 的距离为 ，且 为 中点4解法1：（1）取A1D，则A1D/B1C知，B1C与DE所成角即为A1D与DE所成角，连结A1E.由正方体ABCD-A1B1C1D1，可设其棱长为a， （2）取B1C的中点F，B1D的中点G，连结BF，EG，GF. GF ，BE CD，BE GF，四边形BFGE是平行四边形，BF/GE. （3）连结EF. 解法2：如图建立空间直角坐标系A-xyz.则A（0，0，0），B（2a，0，

10、0）,C(0，2a，0)A1（0，0，2a），B（2a，2，2a），C1（0，2a，2a）（1）取AB的中点H，连结CH. （3）设平面AB1E的一个法向量为 由于平面AEF的一个法向量为 故设 与m所成角为 . 由于平面AB1E与平面AEF所成的二面角为锐二面角， 的平面角的余弦值为 .5解法一:（） 连结BD在 中， . ，点 为AC的中点， 即BD为PD在平面ABC内的射影， 2分 分别为 的中点, , 4分（） 连结 交 于点 ， ， ， 为直线 与平面 所成的角， .6分. ， ，又 ， . ， ，在Rt 中， ， 8分（）过点 作 于点F，连结 ， 即BM为EM在平面PBC内的射影

11、， 为二面角 的平面角11分 中， , 13分解法二：建立空间直角坐标系B?xyz,如图，则 ， ， ， ， .（） ， ， .4分（）由已知可得， 为平面 的法向量， , ，直线 与面 所成角的正弦值为 .直线 与面 所成的角为 .（）设平面PEF的一个法向量为a ， ， a ，a ，令 ， a 由已知可得，向量 为平面PBF的一个法向量， a ， a .二面角 的正切值为 .14分6证明：（）PA底面ABCD， 又ABBC， ， 平面 又 平面 ，平面 平面 （）PA底面ABCD，AC为PC在平面ABCD内的射影又PCAD，ACAD在梯形 中，由ABBC，AB=BC，得 ， 又ACAD，故

12、 为等腰直角三角形 连接 ，交 于点 ，则 在 中， ， 又PD 平面EAC，EM 平面EAC，PD平面EAC（）在等腰直角 中，取 中点 ，连结 ，则 平面 平面 ，且平面 平面 = ， 在平面 内，过 作 直线 于 ，连结 ，由于 是 在平面 内的射影，故 就是二面角A-CE-P的平面角 12分在 中，设 ，则 ， ， ， ，由 ， 可知： ， 代入解得： 在 中， ， 即二面角A-CE-P的大小为 解法二：（）以 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴，如图建立空间直角坐标系设 ，则 ， ， ， . 设 ，则 ， ， ，解得： 连结 ，交 于点 ， 则 . 7分 在 中， ， 又PD 平面E

13、AC，EM 平面EAC，PD平面EAC（）设 为平面 的一个法向量，则 ， 解得： ， 设 为平面 的一个法向量，则 ，又 ， ， 解得： ， 13分二面角A-CE-P的大小为 14分7法一：（I）在直三棱柱 中, / . 是 与 所成的角. 2分 在 中， ， . 与 所成角为 . （II）取 中点 ，连结 ， 是 的中点，则 . 平面 ， 平面 . 则 是 在平面 内的射影. , . . 同理可证 . 8分又 ， 平面 .（III）取 中点 ，连结 ， , , 则 为二面角 的平面角. 12分在 中， ，则 = . 14分即二面角 的大小为 . 法二：（I）同法一.（II）建立空间直角坐标

14、系 ，如图， 则 ， ， ， ， （ . 6分则 ， . . 8分 ，且 . 平面 . 9分（III） , 平面 . 是平面 的法向量. 由（II）可知 是平面 的法向量. . 即二面角 的大小为 8解法一：（）证明： 平面 平面 ，平面 平面 ，且 ， . 平面 ， .又 . （）解：作 于点 ， 于点 ，连结 . 平面 平面 ， ，根据三垂线定理得 ， 是二面角 的平面角. 6分设 ， . ， ， ，即二面角 的大小是 .（）解：在底面 内分别过 作 的平行线，交于点 ，连结 .则 是异面直线 和 所成的角或其补角. ， ， ， .易知底面 为矩形，从而 ， 在 中， ， 异面直线 和 所

15、成角的大小为 . 解法二：作 于点 ， 平面 平面 ， 平面 .过点 作 的平行线，交 于点 .如图，以 为原点，直线 分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系 . . 2分 . . ， . . 4分（）证明： . 又 . （）解：作 于点 ，连结 . 平面 ， 根据三垂线定理得 ， 是二面角 的平面角. 在 中， ， 从而 ， ， 即二面角 的大小是 .（）解： ， ， 异面直线 和 所成角的大小为 . 9解法一： （I）证明：由直三棱柱性质，B1B平面ABC，B1BAC，又BAAC，B1BBA=B，AC平面 ABB1A1，又AC 平面B1AC，平面B1AC平面ABB1A1.4分（II）解

16、：过A1做A1MB1A1，垂足为M，连结CM，平面B1AC平面ABB1A，且平面B1AC平面ABB1A1=B1A，A1M平面B1AC.A1CM为直线A1C与平面B1AC所成的角，直线B1C与平面ABC成30°角，B1CB=30°.设AB=BB1=a，可得B1C=2a，BC= ， 直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值为 9分（III）解：过A做ANBC，垂足为N，过N做NOB1C，垂足为O，连结AO，由ANBC，可得AN平面BCC1B1，由三垂线定理，可知AOB1C，AON为二面角B-B1C-A的平面角， 二面角B-B1C-A的大小为 14分解法二： （I）证明：同解法一.

17、 4分 （II）解：建立如图的空间直角坐标系A-xyz，直线B1C与平面ABC成30°角，B1CB=30°.设AB=B1B=1， 直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值为 9分（III）解：设 为平面BCC1B1的一个法向量， 二面角B-B1C-A的大小为 14分10解法一：(I) PC 平面ABC， 平面ABC，PC AB2分CD 平面PAB， 平面PAB，CD AB4分又 ，AB 平面PCB 5分(II) 过点A作AF/BC，且AF=BC，连结PF，CF则 为异面直线PA与BC所成的角 由（）可得ABBC，CF AF 由三垂线定理，得PF AF则AF=CF= ，PF=

18、，在 中， tanPAF= = ，异面直线PA与BC所成的角为 （III）取AP的中点E，连结CE、DEPC=AC=2，CE PA，CE= CD 平面PAB，由三垂线定理的逆定理，得 DE PA 为二面角C-PA-B的平面角 由(I) AB 平面PCB，又AB=BC，可求得BC= 在 中，PB= ， 在 中， sinCED= 二面角C-PA-B的大小为arcsin 解法二：（I）同解法一(II) 由(I) AB 平面PCB，PC=AC=2，又AB=BC，可求得BC= 以B为原点，如图建立坐标系则（， ，），（0，0，0），C（ ，0），P（ ，2） ， 则 +0+0=2 = = 异面直线AP与

19、BC所成的角为 （III）设平面PAB的法向量为m= (x，y，z) ， ，则 即 解得 令 = -1, 得 m= ( ，0，-1) 设平面PAC的法向量为n=( ) ， ， 则 即 解得 令 =1, 得 n= (1，1，0)12分 = 二面角C-PA-B的大小为arccos 14分11方法1：（）证明：依条件有CBC1B1，又C1B1 平面A B1C1，CB 平面A B1C1， 所以CB平面A B1C1.3分（）解：因为D为AB的中点，依条件可知C1DA1B1. 所以 = = ×C1D1×( ×A1A×D1B1)= × ×( 

20、15;1× )= .7分（）解：因为D1是A1B1上一动点， 所以当D1与A1重合时，二面角D1-AC1-C的大小为； 当D1与B1重合时，如图，分别延长A1C1和AC1，过B1作B1EA1C1延长于E，依条件可知平面A1B1C1平面ACC1A1，所以B1E平面ACC1A1. 过点E作EFA1C1，垂直为F. 连结FB1， 所以FB1A1C1.所以B1FE是所求二面角的平面角. 容易求出B1E= ，FE= . 所以tanB1FE= = .所以B1FE= arctan . （或arccos ）所以二面角D1-AC1-C的取值范围是arctan ，（或arccos ，）.13分方法2：（

21、），（）略（）解：如图建立空间直角坐标系，则有A(1，0，0)，B1(- ， ，1)，C1(0，0，1). 因为D1是A1B1上一动点，所以当D1与A1重合时，二面角D1-AC1-C的大小为；当D1与B1重合时， 显然向量n1=(0，1，0)是平面ACC1A1的一个法向量. 因为 =(1，0，-1)， =(- ， ，1)，设平面C1AB1的法向量是n2=(x，y，z)，由 ·n2=0， ·n2=0，解得平面C1AB1的一个法向量n2=(1， ，1).因为n1·n2= ，| n1|=1，| n2|= ，设二面角B1-AC1-C的大小为，所以cos= .即=arcco

22、s .所以二面角D1-AC1-C的取值范围是arccos ，（或arctan ，）.13分12解法一: 证明： PA底面ABCD, 平面ABCD, ， = ， .又 ， 平面 .4分 (2) AB / CD, .ADC=600,又AD =CD=1, 为等边三角形,且 AC=1.取 的中点 ，则 ， PA底面ABCD， 面 过 作 ，垂足为 ，连 ，由三垂线定理知 . 为二面角 的平面角.由 . . 二面角 的大小为 . (3)设点 到平面 的距离的距离为 . AB/CD, 平面 面 , 平面 .点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离. , . 解法二(1)同解法一; 4分(2)取 的中点 ，

23、则 .又PA底面ABCD, 面 , 5分 5分建立空间直角坐标系，如图.则 ， 设 为平面 的一个法向量， 为平面 的一个法向量，则 可取 ； ，可取 . 9分 .故所求二面角的大小为 . (3)又 . 由（）取平面 的一个法向量 , 点 到平面 的距离的距离为 . 13解：() AB平面DEF. 在ABC中， E、F分别是AC、BC上的点，且满足 ， ABEF. 图（2） AB 平面DEF，EF 平面DEF， AB平面DEF. 3分 ()过D点作DGAC于G，连结BG， ADCD, BDCD, ADB是二面角A-CD-B的平面角. ADB= , 即BDAD. BD平面ADC. BDAC. A

24、C平面BGD. BGAC . BGD是二面角B-AC-D的平面角. 5分在ADC中，AD=a, DC= , AC=2a, .在RtBDG中， . .即二面角B-AC-D的大小为 . 8分() ABEF, DEF(或其补角)是异面直线AB与DE所成的角. 9分 ， .又DC= , ， . . 解得 . 13分14解：（I）直三棱柱ABC-A1B1C1，B1B面ABC，B1BAB. 又ABBC，AB面BCC1B1. 连结BC1，则AC1B为AC1与平面B1BCC1所成角. 依题设知，BC1=2 ，在RtABC1中， 5分（II）如图，连结DF，在ABC1中，D、F分别为AB、BC1的中点，DFAC

25、1，又DF 平面B1DC，AC1 平面B1DC，AC1平面B1DC.10分（III）PB1=x， 当点P从E点出发到A1点，即 时，由（1）同理可证PB1面BB1C1C， 当点P从A1点运动到A点，即 时， .三棱锥P-BCC1的体积表达式 14分15证明：（I） 是AB的中点， ，又 且 四边形DCBE是平行四边形， 面PBC， 面PBC， 平面PBC。（II）连接EC，据（I）知， 且CD=AE， 四边形ADCE为平行四边形，又AD=DC， 四边形ADCE是菱形。连接AC交DE于F，连接PF，则 ， ， 平面PFC。又 平面PFC， 。（III） 平面PFC， 平面BCDE， 平面 平面BCDE，且两平面交于AC，过点P作 于H，则 平面BCDE，连接DH，则DH为PD在平面BCDE上的射影， 就是直线PD与平面BCDE所成的角。由（II）知， 就是二面角 的平面角， 。设 ，则 在 中， 在 中， 16()证明：连结A1C1、AC、AC和BD交于O，连结C1O 四边形ABCD是菱形， ACBD，BD=CD又BCC1=DCC1，C1C= C1C， C1BCC1DC C1B=C1D， DO=OB C1OBD，但ACBD，ACC1O=O， BD平面AC1，又C1C 平面AC1 C1CBD ()解：由()知A