2mt-导数解数列问题1

1、慎用导数解数列问题导数，作为高中数学的新增内容之一，为解题教学和教研注入了新的活力， 更是解决函数单调性问题的有力工具.由于数列可看作是特殊的函数，所以许多学生自然而然就想到用导数来解决有关数列单调性问题 但由于未 能深入理解导中选知识的背景、吃透其含义，未能准确把握数列单调性与函数单调性的联系和区 另I，没有对其进行有 机地“整合，从而导致诸多错误下面摘取学生的几例典型错误，加以分析，旨在引 起同行的注意2例1数列an的通项an n (10 n)(n N )，求数列an的最大项.2'2错解设 f (n) n (10 n)(n N )，那么 f (n)20n 3n20 ' 20

2、令 f(n) O 得 0 n - ； f(n) 0 得 n-或 n o.得f (n)在区间(0,)上是增函数，在区间(,20)是减函数.3，3又n N，故当n 7时，f( n)max 147.所以，数列an的最大项为a7147分析；结果是正确的，但其解题过程是错误的，原因是导数是定义在连续函数上的，而对于n Nf(n)是离散函数，不存在导数，因而不能对其求导2'2正解作辅助函数f (x) x (10 x) ( x 0)，那么f (x)20x 3x .令f (x)0得0 x ； f閤0得x2020得f (x)在区间(0,)上是增函数，在区间(20)是减函数.因此，当x时函数f(x)取得3

3、3f(n) n 2(10 n)(nN ) . f(7)147f(6)144，于是f(n)max 147所以，数列an的最大项为a7147.当然，此题仍可利用数列本身的性质给以解决假设an是数列an中最大项,那么鸚1即n2(10嘟聽閱)解得也麻23 7397那么6 ，即 2 26，解得n由n N知n 7时，a7 147，即数列an的最大项为a7 147 .2例2数列an是递增数列，且对任意的正整数n， an n bn恒成立，求实数b的取值范围错解因an是递增数列，所以an n bn在1,)上是单调递增函数，故辅助函数f( x) x2 bx在1,)上是单调递增函数，有f (x) 1,2x b 0

4、在)上恒成即b 2x在1,)上恒成立，故b 2.分析：以上解答由 an是递增数列，断定函数2列通项公式中的n是正整数，而不是取 1,)内的 an n bn在1,)上单调递增是错误的.由于数任意实数，如图，该图象表示的数列an显然是递增数列，但此时对称轴b 1，即b2，并不满足b 2.正解由于 an是递增数列，由数列的单调性知anan 1，即an 1 an 0对任意n N恒成(2n 1 )，又因为(2n 1応2立，将 an nbn代入化简可得b2于是得b3，即实数b的取值范围是 (3,)例3数列an的通项为ann an(0 a 1)且 anan 1对所有正整数n均成立，求a的取错解 依题意an是

5、递减数列，确定 a的取值范围x作辅助函数f( x) x a ( 0 a 1， x1)，那么an an 1 ( n N)恒成立f(n) f (n 1)( n N )恒成立函数f (x)在区间)上为减函f (x) 0在1,)恒成立.】1,xax(1 x In a)，由 f (x)0 在因为f '(x)' 1)恒成立，即1 xln a 0( x恒成立，1.1-1得In a(x 1)恒成立，于是In a ()mi n 1，即0 a .xxe正解对于0a1， nN，anan1nan (n1)an1 an 1 n 1 1因为()min，所以a的取值范围为(0,-).n1 22恒成立，并推不

6、出f (x)在区间1,)上为减函，f(n) f(n 1)( n N)恒成立是函数f (x)在区间 1,)上为减函的必要而不充分条件，二者之间并非等价 !X 1 1 ' 事实上，令 f (x) a (1 xlna) 0 得 x loga， 当 x ( ,loga )时， f (x)0，e e1 'f (x)为增函数；当x (log a,)时，f (x)0, f (x)为减函数；e11 11所以x loga x是函数f(x)的极大点，而当 a (,)时，x loga (12)，ee 2e11即函数f(x)在区间(1,loga )( (1,2)上为增函数，在loga ,)为减函数(f (x)在区间ee1,)上并非为减函)，但f(1) a，f(2) 2a2，仍有f(1) ff (3)f (n)( n N )成立.通过以上几例我们可以发现，数列