2021年九年级数学中考二轮专项复习：二次函数与几何综合(含答案)

1、2021中考数学 二轮专项复习：二次函数与几何综合(含答案)1 51. 如图,直线yi=-x+b和抛物线y2=-5x2+ax+b都经过点B( 0, 1)和点C,过点C作CM丄x2 45轴于点M,且CM=-.2(1) 求出抛物线的解析式；(2) 动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度，沿OM向点M 运动,过点P作PE丄x轴分别交抛物线和直线于点 E, F.当点P运动多少秒时，四边形EFMC为 菱形？(3) 在(2)的条件下，在直线AC上是否存在一点Q,使得以点E、F、Q为顶点的三角形与 AMC相似,假设存在,请直接写出点Q的坐标;假设不存在,请说明理由.1解：(1) 把 B(0, 1)代入

2、y1 = -x+b,得 b=1,2 y1 = 1x+1,2把 y=-代入 y1 =1 x+1 得 x=3,2 2b 15,解得17,a 一24b 155 2把 B(0, 1),C (3,)代入 y2=- x2+ax+b 得，452 43a b二 y2=-5x2+口x+1.2 四边形EFMC为菱形,5贝U EF=FM=CM=,2517i设 P(t, 0),那么 EP二一t2+t+1, FP= 1+1, MP=3-t,442那么 EF=EP-FP=- 5t2+ 17 t+1- t-1=- 5t2+ 15 t,44244FM=Jpf2 PM2.,-t2 5t 10,V 4t=-4t2 5t 10=2

3、,解得t=1或t=2,解得t=1或t=3,要使,同时成立，那么t=1,当点P运动1秒时，四边形EFMC为菱形；3存在，点Q的坐标为2, 2或6,4.【解法提示】由2可知t=1,二点F的横坐标为1,1 3将x=1代入y1= x+1中，得y1=,2 217将 x=1 代入 y2=- x2+x+1 中，得 y2=4.443点 E (1,4) ,F (1, 3 )21将y=0代入y1=2x+1中,得x=2 点A的坐标为2° 如解图，过点E作EQ1丄CF,四边形EFMC为菱形, / ECF= / ACM, FE=EC,/ EFC= / ECF= / ACM,又/ EQiF=Z AMC=90&#

4、176; EQiF sAMC, EF=EC, EQi 丄CF, Qi为CF的中点，3 5- F (1, 3) ,C (3, 5 ),22点Qi的坐标为(2,2);第1题解图 如解图，过点E作EQ2/X轴，交直线BC于点Q2, EQ2/X 轴,/ EQ2F=Z CAM, / Q2EF=Z FFA=90°Z Q2EF=Z AMC=90° EQ2Fmac,又 E (1,4)设 Q2 (x, 4),1将 y=4 代入 yi= -x+1,得 x=6,点Q2的坐标为(6,4);综上所述，点Q的坐标为2,2或6, 411 22. 如图，一次函数y= x+ 1的图象与x轴交于点A,与y轴交

5、于点B,二次函数y=x2 + bx221+ C的图象与一次函数y=尹1的图象交于B C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1, 0)1求二次函数的解析式；2 假设抛物线上存在点P,使Sbdc = SPBC,求出P点坐标不与点重合；3在x轴上存在点N,平面内存在点M，使得B、N、C、M为顶点构成矩形，请直接写出 M点坐标.1解：1将 x= 0代入 y=，x+ 1 中，得：y= 1, B(0, 1),1 2将 B(0, 1), D(1, 0)的坐标代入 y= $x2 + bx+ c得:1 3二次函数的解析式为y= - x2x+ 1 ；2 2(2)如解图，过点D作DF / y轴交AC于点F，过点

6、P作PG/ y轴交AC于点G,将x= 1代入直线BC的解析式得:33尸3，即F(1,号),设点 P(x, 1x2- |x+ 1),那么 G(x, -x+ 1),21 彳1 23 彳1 2 ox 1-x-x 1_-x 2x2222.GP =PBC的面积= DBC的面积,DF = GP, 即x2 2x2当2x _ -时，解得 x_2+ - 7 或 x_2 7 ,2 2 点P 的坐标为(2 + - 7 , 7 £ 7 )或(2 - 7 , 7 £ 7 ),123当 孑乂 2x _ 3时，解得x_3或x_ 1(舍去),点P的坐标为(3, 1),综上所述，点P的坐标为3, 1或2 +

7、 7 ,亍丄或2 .7 ,乙丫;3 93点 M 的坐标为3,4, 1,4,2 ,- 2或2 , 2.BN的解析式为y= 2x+ 1,【解法提示】如解图 所示：当/CBN= 90时,将直线BC的解析式与抛物线的解析式联立得:1x21 2x2lx 1解得；0，或：点C的坐标为4,3,将y=0代入直线BN的解析式得:2x+ 1 = 0,1解得x= 2,1点N的坐标为2, 0,设点M的坐标为x, y,四边形BNMC为矩形,-4 2_2解得x =9点M的坐标为2, 2；第2题解图如解图所示：当/ CNM = 90时,第2题解图设CN的解析式为y= 2x+ n,将点C的坐标代入得：一 8+ n = 3,

8、解得11,CN的解析式为y= 2x+ 11, 将y= 0代入得2x+ 11 = 0,11解得x= U,211点N的坐标为* , 0,设点M的坐标为x, y,四边形BMNC为矩形，0 11 0 §4 x 1 03 y2 2 , 2 2 ,解得x= 3 , y= 2,点M的坐标为3 , 2;2如解图所示：当/ BNC = 90时，过点C作CF丄x轴，垂足为F,第2题解图设 ON = a,贝U NF= 4 a,v/BNO+Z OBN = 90 ° ZBNO+ Z CNF = 90 °zOBN=/CNF, 又/BON=/ CFN ,： BONA NFC,ONCF琴，即3二

9、41a，解得:a= 1 或 a= 3,当a= 1时，点N的坐标为(1, 0),设点M的坐标为(x, y),四边形BNCM为矩形，解得 x= 3, y= 4,点M的坐标为(3, 4);当a = 3时，点N的坐标为(3, 0 )，设点M的坐标为(x, y), 四边形BNCM为矩形， j41_3 0 y2 2 ， 2 2 ，解得 x= 1, y= 4,点M的坐标为(1, 4),综上所述，点M的坐标为(3,4), (1, 4), (|，-2)或(9 , 2).3. 如图,在平面直角坐标系中，点O为坐标原点,抛物线y=ax2- bx+5与x轴交于A、B两点(点A 在点B的左侧),与y轴交点为C,直线y=

10、-x-2经过点A,交抛物线于点D,交y轴于点E,连接CD,并且/ ADC=45°第3题图(1) 求抛物线的解析式；(2) 过点A的直线AF与抛物线的另一个交点为F, sin / BAP-5 ,求点F的坐标；5(3) 在(2)的条件下，点P是直线AF下方抛物线上一点,过点P作PQ丄AF,垂足为Q,假设PE=EQ ,求点P的坐标.解：(1)当 x=0 时,y=ax2+bx-5=-5,那么 C (0, -5),当 y=0 时,-x-2=0,那么 A (-2,0),当 x=0 时,y=-x-2=0,那么 E (0, -2), OA=OE, OAE为等腰直角三角形，/ OAE=45°

11、,v/ ADC=45°, CD/x 轴, CDE为等腰直角三角形， CD=CE=3,二 D (3, -5),把 A (-2, 0)24a 2b 5D (3,-5)代入 y=ax2+bx-5,得 9a 3b 5,解得5 b123 ,2抛物线的解析式为尸界討5；(2)设直线AF交y轴于G,如解图,在 RtA AOG 中,sin/ OAG= OG 1AG 5 V5G第3题解图设 OG=t, AG= . 5 t, 0A= ( 5t)2 t2 =2t, 2t=2,解得 t=1,- G (0,1),易得直线1AG的解析式为尸尹1y联立y1x21 2x2,解得x3 仁y 0x 52点F的坐标为(6

12、,4);(3)作EM丄PQ于M,如解图, PQ 丄 AF,设PQ的解析式为y=-2x+m,第3题解图 EM/AF, EM的解析式为y=-2,联立yy11x2x 1 ,解得2x my2m51m25452 214贝U Q( m m-)5555设点P的坐标为(a, b) EQ=EP, QM=PM,122114M 点的坐标为-(a+-m-5),2(b+5m 5),1 221141把 M (a+ m- ),(b+ - m )代入 y= x-22 552552122114得4(a+5m-5)-2=2(b+5m 5),11-b= a-5,即 P (a, a- 5),2 21 1 o 31 o 31把 P (

13、a, - a-5)代入 y=-x2-x-5得-a2-a-5=-a-5,解得 a1=0, a2=4,2 2 22 22二P点坐标为(0,-5)或(4,-3).类型二等腰三角形的存在性问题1 24. 如图，抛物线y= 2x2 + bx+ c与x轴交于A( 1, 0)、B两点，与y轴交于点C(0, 2),抛物线的对称轴交x轴于点D.(1)求抛物线的解析式;(2)求sinZ ABC的值;(3)在抛物线的对称轴上是否存在点 卩，使厶PCD是以CD为腰的等腰三角形，如果存在,直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.解：(1)将点A( 1, 0), C(0, 2)代入抛物线y= 2x2 + bx+ c中

14、，得1 32 b+ c= 0b=22 ，解得 2,c= 21 3抛物线的解析式为y= 2>x2 +來+ 2；1 3(2)令 y= 2x2 + Qx+ 2= 0,解得 X1= 1, x2 = 4,点B的坐标为(4, 0),在 RtA BOC 中，BC=、OC2 OB2 = 22 42 = 2 .5, sinZ ABC= OC = 2 =-BC 255 '3 5353存在，点p坐标为(2, ?或(2,-?或(-,4).1 33【解法提示】由抛物线y= -x2+ x+2得对称轴为直线x=-,2 22点D的坐标为(,0).22|'.22r CD= ,OC OD = 22-5 2

15、2 .点P在对称轴x=上，且 PCD是以CD为腰的等腰三角形，25当点D为顶点时，有DP = CD =-,2-此时点P的坐标为(,-)或(,-);2 222当点C为顶点时，如解图，连接 CP,贝U CP = CD，过点C作CG丄DP于点G,贝U DG = PG,v DG = 2, PG= 2, PD= 4,-点P的坐标为(,4).第4题解图3-3-综上所述，存在点P使厶PCD是以CD为腰的等腰三角形，点P的坐标为(2，-)或(2，-) 或(3, 4).5. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ax2 bx c a 0与直线y 3 x3交于A和3 35 3E 4,- 两点，与x轴交于点B (3

16、,0),与y轴交于点C (0,、3 ),对称轴与x轴交于点D,3顶点为点H.(1) 求抛物线的解析式;(2) 点P为抛物线上的一动点，且位于直线 AE下方，过点P作PM /y轴交直线AE于点M， 求线段PM的最大值；(3)如图，连接CD，将(1)中抛物线沿射线CD平移得到新抛物线y', y'经过点D，y'的顶点为点F，在直线HF上，是否存在点Q， 的坐标；假设不存在，请说明理由.使厶DHQ为等腰三角形？假设存在，请求出点 QD图第5题图解：(1)将点 B(3,0)、C(0,的坐标代入y ax2 bx c中，得9a3b3c 0，解得16a4b；332.3V，、3抛物线的解

17、析式为y令y=0,即守x2解得 X1=-1,X2=3,点A -1,0,设直线AE的解析式为ykx将点A、E的坐标代入得4k05 3，解得33再，3直线AE的解析式为y设点P的坐标为m ,- 32m32.3m33 ,那么点M的坐标为m，三m3，且-1 v m v 4.3PM=仝m3223m332m33m4.3325.312 ，1 v m v 4.3.当口二，时，PM有最大值，其最大值为25.312 ；4&31存在，由1 易得 H 1，D 1,0，3将1中抛物线沿射线CD平移得到新抛物线y', y'经过点D, y'的顶点为点F,一 7 3易得直线HF的解析式为怂丁，

18、设点Q的坐标为n,7 3T，DQ2=2tn 1 3n7 .3324n216n52HQ2=24 . 334n28nDH2=4.3316亍,当DQ=HQ时,dq2=hq2.那么4n216n52 =4n38n 4,解得n点 Q当 DQ=DH 时，DQ2=DH2,那么4n216n52 163解得n =3或1,点H与点Q不重合, n=1 舍去，Q 3 半；3当 HQ=DH 时，HQ2=DH2,那么4n28n4,3解得n=1或1于,Q 1 U ,3竽或Q 12.3V，4 3V；综上所述，存在点5Q,使得 DHQ为等腰三角形，点Q的坐标为-,3或(1, 2 42或i33类型三 直角三角形的存在性问题6. 如

19、图，抛物线 尸ax2 + bx+ c(aM 0)对称轴为直线 x= 1,且经过 A(1, 0), C(0, 3)两点，与x轴的另一个交点为B.(1) 假设直线y= mx+ n经过B, C两点，求抛物线和直线 BC的解析式；(2) 在抛物线的对称轴x= 1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小， 求点M的坐标；(3) 设点P为抛物线的对称轴x= 1上的一个动点，求使 BPC为直角三角形的点P的坐标.b112aaa bc 0，解得b2 ,c 3c3解：(1)由题意得抛物线的解析式为y= x2 2x+ 3.对称轴为直线x= 1，抛物线经过A(1，0)， B 3，0.设直线BC的解析式y

20、= mx+ n，把 B( 3，0)，C(0, 3)分别代入 y= mx+ n 得3m n n 3直线BC的解析式为y= x+ 3;(2) 如解图，连接MA,第6题解图 MA = MB, MA + MC = MB + MC.使MA + MC最小的点M应为直线BC与对称轴x= 1的交点.设直线BC与对称轴x= 1 的交点为M，把x= 1代入直线y= x+ 3,得y= 2.- M( 1, 2);(3) 设 P( 1, t), t B( 3, 0), C(0, 3), BC2= 18,2 2 2 2PB = ( 1 + 3) +1 = 4+1 ,PC2 = ( 1)2+ (t 3)2 = t2 6t+

21、 10. 假设 B 为直角顶点，贝U BC2+ PB2= PC2，即 18+ 4 +12= t2 6t + 10,解得 t = 2; 假设 C 为直角顶点，贝U BC2+ PC2= PB2，即 18+12 6t + 10= 4+ t2,解得 t=4; 假设P为直角顶点，贝U PB2+ PC2= BC2,2 23+03 0即：4 +1 +1 6t + 10= 18,解得 t1= 2, t2=2 .3W17综上所述，满足条件的点P共有四个，分别为：P1( 1, 2), P2( 1, 4), P3( 1 , 2 ),3 .17 P4( 1,厂).7. 如图,抛物线y= 4x2 + bx+ c经过A(

22、3, 0),C( 1,0)两点,与y轴交于B点.1ril>?M工备用图第7题图(1) 求抛物线的解析式；(2) D为第一象限抛物线上的一点，连接CD交AB于点E,当CE= 2ED时，求点D的坐标；(3) 点P以每秒3个单位长度的速度从点0出发,沿0-B-A匀速运动,同时点Q以每秒1 个单位长度的速度从点C出发,沿CA匀速运动,运动时间为t秒,当一个点到达终点时,另一 个点也随之停止运动,是否存在t,使以A、P、Q为顶点的三角形为直角三角形,假设存在,直接写 出t的值;假设不存在,说明理由.4 2解：(1) 抛物线 y=x2 bx c经过 A(3,0)、C(-1,0)两点,3423 3b

23、c 033 ，b c 03b 8解得 3,c 4抛物线的解析式为y=4x28x 4;3 3/ EAC= / EFD, / ECA= / EDF, ACEs FDE,.ED_ de_ _de_ 1''AC_ CE_ 2DE _ 2, AC_ 4,.FD _ 2,设 D(x,y),那么 F(x-2, y),令 x= 0,得 y= 4,-B(0,4),过点F作FM丄x轴于点M, AMF sAOB,.AM _ fmOa_ Ob,3( x- 2)y 3x + 3x + 43 44解得 x1_ 1, X2_ 2,16yl_ 3 , y2_ 4,.Di(1,16),D2(2,4);711(3

24、) 存在.t1 _6, t2_ 1, t3_4, t4_ .【解法提示】当P在OB上时，OP_3t, CQ_t,AQ_ 4-t,要使 APQ是直角三角形，那么需/ AQP_ 90；此时点Q与点O重合,CQ_ 1,那么t_ 1;/ APQ_ 90° 此时 PQOsA APO,OQ_ Oi,即(3_ (1-t) 3,V13 1 VT3 1解得t1 _6, t2_6(负根舍去).当点 P 在 AB 上,在 RtAAOB 中，OA_ 3, OB_4,易得 AB_ 5, 那么此时 AP_ 9-3t, AQ_ 4-t, 当/ PQA_90°时，那么PQ丄AO, 当/ QPA= 90&#

25、176;时,那么厶APQsA AOB,AP_ AQAO= Ab,9-3t11,解得t_ j.综上所述,t的值为i或!二1或7或乎.8. 如图，抛物线y ax2 bx c与x轴交于点A (-3,0), B (1,0),与y轴交于点C (0,3),顶点为D.(1) 求抛物线的表达式及点 D的坐标；(2) 如图，在x轴上找一点E，使得 CDE的周长最小，求点E的坐标；(3) 如图，F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点 P,使得 AFP为等腰直角三角形？假设存在，求出点第8题图解：(1)VA，B，C三点在抛物线上,09a 3bca10ab c，解得b2,3 cc3抛物线的表达式y_ x2-2x+

26、 3,2 2y_ x2 2x+ 3= x 14 ,点D的坐标为(-1,4);(2)如解图，作点C关于x轴的对称点M，那么M(0, 3),连接DM , DM与x轴的交点为E,连接CE,此时 CDE的周长最小，设直线 DM 的解析式为 y= kx+ b(k),将 D( 1, 4), M(0, 3)代入 y= kx+ b,4 k4，解得kb直线DM的解析式为y= 7x 3, 令 y= 0,那么 y= 7x 3= 0, 解得x= 3,3点E的坐标为(一7, 0).(3)存在.由(1)知，OA= OC= 3,/AOC= 90 ° zCAB = 45°,如解图，第8题解图 当ZAFP=

27、 90 时，即ZAF1P1 = 90°,点P1既在x轴上，又在抛物线上，那么点 P1与点B重合，点P1的坐标为(1, 0); 当ZFAP= 90时，即ZF2AP2= 90°,那么/P2AO= 45°,设AP2与y轴的交点为点 N,0A= 0N = 3,贝U N(0, - 3),直线AP2的解析式为y= x-3,联立抛物线与直线AP2的解析式，得方程组x 3x2 2x 3"口 x 3亠 x 2解得或，y 0 y 5A( - 3, 0),P2(2,- 5);当ZAPF= 90时，即ZAP3F3= 90°点P3既在x轴上，又在抛物线上，那么点 P3与

28、点B重合, 点P3的坐标为(1, 0).综上所述，抛物线上存在点 P,使得 AFP为等腰直角三角形，其坐标为 P(1, 0)或(2,- 5).类型四 特殊四边形的存在性问题9. 如图，抛物线y= ax2 + bx+ c(a0)与y轴交于点C(0, 4),与x轴交于点A和点B,其中点 A的坐标为(-2, 0)，抛物线的对称轴x= 1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E.(1) 求抛物线的解析式；(2) 假设点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F，使四边形ABFC的面积为17?假设存在，求出点F的坐标；假设不存在，请说明理由；(3) 平行于DE的一条直线I与直线BC相交于点P,与抛物

29、线相交于点Q,假设以D、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 P的坐标.第9题图解：(1) 点A(-2, 0)与点B关于直线x= 1对称，二B(4, 0),4a 2b c 0将点A, B, C的坐标代入函数解析式，得 16a 4b c 0 ,解得b 1c 4c 4抛物线的解析式为y =x1 2+ x+ 4；2(2)不存在点F，使四边形ABFC的面积为17,理由如下：0)，C(0, 4),'BC的解析式为y= x+4,如解图，过点F作x轴垂线，交BC于G,设F点的坐标为(m,+ m+ 4)，那么 G(m, -m+ 4),'FG =(*m2+ m+ 4) ( m+ 4)=討

30、 + 2m，'S 四边形 ABFC= SaABC+ SBCF =】AByc+ 】FG (xb xc) = 1 X6X4 + *(2 2 2 2m2+ 2m) = 17,2整理得 m24m+ 5 = 0,2'b2 4ac= 16 4X 1 X 5= 4<0.方程无解，F点不存在;第9题解图当 x= 1 时，一x+ 4= 3,即 E(1, 3),93-DE = 2 3= 2*1 2 设 Q 点坐标为(m, 2m2 + m+ 4),贝U P(m, m+ 4).1 2 1 2 |PQ|= |( 2m2 + m+ 4) ( m+ 4)|= | 2m2 + 2m|.1 23由 PQ/

31、 DE, PQ= DE 得 | 2m2+ 2m|=引1 23亠 1 23 2m + 2m=2或一2m + 2m= 2,解得 m1 = 1(PQ 与 DE 重合，舍去),m2 = 3 或 m3 = 2+ 7, m4= 2 .7.点坐标为(3, 1)或(2 + .7, 2 _7)或(2 一7, 2+ _7).10. 如图，经过点A (3,3)的抛物线y ax2 bx与x轴交于点B (4,0)和原点O, P为二次函数上一动点，过P作x轴垂线，垂足为D(x', 0)(x'>0)，并与直线OA交于点C.(1) 求抛物线的表达式；(2) 当点P在线段OA上方时，过P作x轴的平行线与线

32、段OA相交于点丘，求厶PCE周长的最大值及此时P点的坐标；(3) 当PC= CO时，求P点坐标.第10题图解：(1)vA (3,3), B (4,0) 3 " 3b ,解得a10 16a 4bb4 '抛物线的表达式为y2 x4x ;两点在抛物线y ax2 bx上,(2)如解图,第10题解图点A坐标为(3, 3);/ AOB= 45°二 0D = CD = x,2 2二 PC= PD CD= x + 4x x= x + 3x, PE/ x轴, PCE是等腰直角三角形，当PC取最大值时， PCE周长最大. PE与线段OA相交， 0$=1PC由PC= x2 + 3x= (

33、x 3)2+ 9可知，抛物线的对称轴为直线 x=-，且在对称轴左侧242随x的增大而增大，当x= 1时，PC最大，PC的最大值为一1 + 3= 2， PE= 2，CE= 2 2， PCE 的周长为 CP+ PE+ CE = 4 + 2 2， PCE周长的最大值为4+ 2 2，把 x= 1 代入 y= x2 + 4x，得 y= 1 + 4= 3，点P的坐标为(1, 3);(3)设点P坐标为(x， x2+ 4x)，那么点C坐标为(x，x),如解图,iJ/kD270I)认此第10题解图当点 P 在点 C 上方时，PiCi = 一x2 + 4x x= x2 + 3x, OCi = '.、2 x,T P1C1 = OCi, x2 + 3x= 2 x,解得 xi = 32 , X2= 0(舍去).把 x= 31