专题提升5与垂径定理有关的辅助线

1、专题提升 5与垂径定理有关的辅助线1如图所示为一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，若水面AB 宽为 8 cm，输水管底部到水面的距离为2 cm，则该输水管的半径为( C)(第1题)A 3 cmB 4 cmC 5 cmD 6 cm【解】连结 OA，过点 O作 OC AB交 AB于点 D.设该输水管的半径为 r (cm) AB宽为 8 cm， AD 4 cm. 2 cm， (r 2) cm ，r2 (r2) 2 42，DCOD r 5(cm) 2如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为 8 m，桥拱半径OC为 5 m，则水面宽AB为 ( D)(第2题)A 4 mB 5 mC 6 mD 8 m【

2、解】连结 .OACD 8， OC 5， OD 3.由已知，得 ，则2 5232，CD ABAD解得 AD4. AB 8.3已知 O的直径 CD10 cm ，AB是 O的弦， AB CD，垂足为 M，且 AB 8 cm，则 AC的长为(C)A 25 cmB 45 cmC 25 cm 或 4 5 cmD 2 3 cm 或 4 3 cm【解】连结 AO. 当点 C的位置如解图所示时，易得 AC2222 45(cm) ；AM CM4 8当点C的位置如解图所示时，易得 22 42 2 5(cm) AC(第 3题解)4如图， O的直径为10 cm ，弦 AB为 8 cm， P 是弦 AB上一点若OP的长是

3、整数，则满足条件的点P 有 ( D)( 第4 题 )A2 个B3 个C4 个D5 个【解】过点O作OC AB于点C，连结OA.1OA 5， AC 2AB 4， OC 3.3 OP 5， OP的长为3或4或5.当3 时，点P只能与点C重合；当4 时，点P可以在上，也可以在上，有OPOPACBC2 个点 P；当 OP5 时，点 P与点 A或点 B重合综上所述，满足条件的点P有5个5如图，在以点O为圆心的同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点 C， D，AB 2CD，弦 AB的1r10弦心距 OP 2CD，小圆和大圆的半径分别为r ，R，则 R 5 (第5题)【解】连结 OC， OA.1AB 2CD，

4、OP 2CD， OP AB，1OP CP 2AP.22222222R OP AP5OP， r OP CP 2OP，r 10R 5OP， r 2OP， R 5 .6如图， O的半径 OP 10 cm，弦 AB过 OP的中点 Q，且 OQB45°，则弦AB的弦心距5 2为 2 cm，弦 AB的长为 5 14cm.( 第6 题 )【解】过点O作 OC AB于点 C，连结OA. O的半径 OP 10 cm，弦 AB过 OP的中点 Q，OQ 5 cm. OCQ 90°， OQB 45°， OCQ为等腰直角三角形，52OC 2cm.在 Rt AOC中，根据勾股定理，得AC22

5、514OA OCcm ，2 2 5 14 cm.AB AC7已知 O的半径为2，弦 BC23 ，A 是 O上一点， 且AB AC，直线 AO与 BC交于点 D，则 AD的长为 1 或 3【解】 O的半径为 2，弦 BC 23， A 是 O上一点，且 AB AC， AD BC，1BD 2BC3.分两种情况讨论：如解图所示，连结OB.222在 Rt OBD中， BD OD OB，即(222OD 1.3) OD2，解得AD OAOD 2 1 1.(第 7题解)如解图所示，连结OB. 同理于，得AD OA OD 2 1 3.8如图，在Rt AOB中， O 90°， OA6，OB8. 以点 O

6、为圆心， OA长为半径作圆交AB于点 ，求的长CBC【解】过点 O作 AB的垂线，垂足为E，连结 OC.2222 10，AB OA OB6 8(第8题)OA· OB 6× 8OEAB 10 4.8 ，AE222 4.82，AO OE63.6AC 2AE 7.2 ，BC ABAC 107.2 2.8.(第9题)9如图， AB为 O的直径，弦CD AB，弦 DEAB. 求证： AC BE.【解】过圆心 O作 OG CD交 O于点 G，交 CD于点 H.OG CD， CG DG.又 CD AB， OGAB.AG BG. AC BD.DE AB，且 AB是 O的直径，BD BE.

7、AC BE.k10如图，半径为 5 的 P 与 y 轴交于点 M(0 ， 4) ， N(0 ， 10) ，函数 y x( x<0) 的图象过点 P，求 k 的值(第10题)【解】过点 P 作 PA MN于点A，连结PM， PN.点 M(0 ， 4) ， N(0 ， 10) ， MN6.PA MN，1MA 2MN 3.OA| 4| 3 7.在 Rt MPA中，2222PA PMMA534，点 P( 4， 7) k将点 P( 4， 7) 的坐标代入y x，得 k 28.11已知内接于，且，的半径等于6 cm，点O到的距离为2 cm ，ABCOABACOBC求 AB的长【解】当 ABC是锐角三

8、角形时，如解图所示，连结OB， OA，延长 AO交 BC于点 D，易知 AD BC.在 Rt OBD中， 6 cm， 2 cm，OBODBD22222(cm) OB OD6 2 4在 Rt ABD中， AD OA OD6 2 8(cm) ， BD 42 cm，AB22224 6(cm) AD BD8 （42）(第11题解)当 ABC是钝角三角形时， 如解图所示， 连结 OB，OA，OA与 BC交于点 D，易知 OA BC.在 Rt OBD中，OB 6 cm， OD 2 cm，2222 4 2(cm)BD OB OD6 2在 Rt ABD中，AD OAOD 6 2 4(cm) ， BD 42 c

9、m，22（ 4224 3(cm) AB BD AD2）4综上所述， AB的长为 46 cm 或43 cm.12如图所示为一座桥，桥拱是弧形( 水面上的部分 ) ，测量时，只测得桥拱下水面宽AB为16 m，桥拱最高处C离水面 4 m.(1) 求桥拱所在圆的半径(2) 若大雨过后，桥下水面宽为12 m，问：水面上涨了多少？(第 12 题)【解】(1)如解图，设点O为，交于点 .的圆心，连结ABOA OC OCABD根据题意，可得C是AB的中点， OC AB， 11× 16 8(m) AD 2AB2设 O的半径为 x(m) ，则在 Rt OAD中，2 22，即x2 82 (x4) 2，OA

10、ADOD解得 x 10.桥拱所在圆的半径为10 m.(第12题解)(2) 设河水上涨到EF的位置，如解图，这时EF 12 m，EF AB，则 OC EF( 垂足为 M) ，1EM 2EF 6 m.连结 OE，则有 OE 10 m.OM2222OE EM10 6 8(m) 104 6(m) ，OD OC CDDM OMOD 8 6 2(m) ，即水面上涨了 2 m.13工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个尺寸 ( 单位： cm)如图所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90° . 将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有如图所示的， ，三个接触点，则该球的大小就符合要求如图是过球心OA B E及 A， B， E 三点的截面示意图，已知O的直径就是铁球的直径， AB是 O的弦， CD与 O交于点 E，AC CD，BD CD. 请你结合图中的数据，计算这种符合要求的铁球的直径(