正交变换和正交矩阵

1、7.3正交变换和正交矩阵授课题目：7.37.3 正交变换和正交矩阵教学目标：理解和掌握正交变换与正交矩阵的概念，性质及其关系授课时数：3 3 学时教学重点：正交变换的性质教学难点：正交变换的判定，正交矩阵特征值的性质教学过程：一、标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。Q1,Ln是标准正交基，有i,j又Qnni,jUki k,Ukj knn则k1k1UkiUljk, lk 1 i 1nUkiUkjk1n1ijQ UkiUkj(i, j 1,2,L ,n)k i0ij从而UTU I定义 7.3.17.3.1 设U是实数域上的 n n 阶矩阵，如果UTUUUTI, ,则称U为正交矩阵.定理 7.3.17

2、.3.1 设在 n n 维欧氏空间中由标准正交基过渡矩阵是U,那么1,2,L ,n是标准正交基的充分必要条件是U为正交矩阵.证明：必要性已证.现证充分性.设U为正交矩阵，则UTUUUTI成立，从而设1,2,n是n n 维（氏空间(1,2,n)(1,2,n)U U(U=(U= ( ( U Uij )U1iU2ini(1,L ,n)UkikMk1Uni两个标准正交基，n对基1,2,L ,n的的1,2,L ,n是标准正交基例 1 1 : :证明每一个 n n 阶可逆矩阵 A A 都可以唯一表成 A=UTA=UT 的形式，这里 U U 是一个 正交矩阵，T T 是一个上三角实矩阵且主对角线上元素。证明

3、：存在性，由于 A A 为 n n 阶非奇异实矩阵，故 A=A=（1,2,n）的列向量1,2,n线性无关，从而为Rn的一个基，实行单位化10 12t2 1t22 2令nt1n 1t2n 2tnn n其中tii0, i1,1,n，都有(1,2,，n)(1,2,n)1其中1,2,n为可的标准正交基，而t11t12t1nT10 t22t2n00tnn从而 T T 也是对角线上全为实数的上三角形矩阵，由于1,n是标准正交基，故有U（1,2, ,n）是一个正交矩阵，于是知 A=UTA=UT唯一性：设另有A U1T1其中Ui为正交矩阵，Ti为对角线上全是正实数的上三角 形矩阵，则UTU1T1或U1O1TT

4、1即上式既是上三角形矩阵又为正交矩阵，可证TT故T，U U1思考题设1,2,3是欧氏空间 V V 的一个标 准正交基，试求正交 变换 b , ,使 b 适合(1)1221_1_233332122证明：c c 是 V V 的一个正交变换，且C C 是单位变换例 2:2:设l，2， ，n和1,2, ,n)是 n n 维欧氏空间 V V 的两个标准正交基。(1)证明，存在V的一个正交变换，使( M 1,2,n(2)(2)如果 V V 的一个正交变换，使(Q(Qi那么(2), (n)所生成的子空间与2,n由所生成的子空间重合。:(1:(1 ) ) 一定存在一个变换(i)1,n)及1,n)为标准正交基，

5、故 为正交变换(2(2 )证L( (2),(n)L(2,n)分两步证明L( (2),n先证设i 2ai(i)乂由V知n)则naii2可由1,i)n线性表出，令nbi,且bi i1又是正交变换,故bl所以),d1由于dinbii2L(,i1,2,nnai2i),1)naii2i0另一放面，若2),1)1)2,3,n)L(2,3,n)则nCi i,因为是正交变换,i2,(n)是 V V 的一个标准正交基,d2(2) , dn(n),di1故1)NCi iI 2不妨令,(i)dn(n) L( (2), (n)因而L(2,3,n) L( (2), (3), (n)L( (2),(n) L(2,n)有U

6、 (1，2，n)是一个正交矩阵，于是知 A=UTA=UT唯一性：设另有A U1T1其中Ui为正交矩阵，Ti为对角线上全是正实数的上三角 形矩阵，则UT U1T1或U1O1TT1即上式既是上三角形矩阵又为正交矩阵，可证TT1I故T T1,U U1例 2 2：设1,2, ,”和1,2, ,n)是 n n 维欧氏空间 V V 的两个标准正交基。交基，故 为正交变换(3)(3)证明，存在 V V 的一个正交变换，使i)i,i1,2,n(4)(4)如果 V V 的一个正交变换，使(i)i那么(2), (n)所生成的子空间与2,n由所生成的子空间重合。证：(1)(1) 一定存在一个变换使(J Ji,又1,

7、n)及1,n)为标准正(5)(5)证L( (2),(n) L(2,n)分两步证明先证L( (2),(n) L(2,n)L( (2),nai(i)设i 2乂由V知,(n)则nai i)2(可由n线性表出,nbi,且bii1又是正交变换,i1,2,n故b1ai2i),1)naii2所以nbii2L(2,3,n)另一放面，若L(2,3,n)则nci i,因为是正交变换,i2二、正交阵的判断。三、正交矩阵的性质两个正交矩阵的乘积仍然为正交矩阵;(AB)(AB)TABBTATAATI),(2),(n)是 V V的一个标准正交基，不妨令di(1)d2(2),11,dn(n),di,(由于(1)1故d1,(

8、N1)CiI 2i0故d2(2)dn(n) L( (2),（n：因而L(2,3,n)L(2), (3),(n)故（)i) 正交矩阵可逆，且逆矩阵仍然为正交矩阵;UUTI故U1UT定理 7.3.2:7.3.2:U U 是 n n 阶正交矩阵U的行（列） 向量组成n n 维欧式空间Rn的一个标准正交基。UT2，n)T1UUT=2(T1T11TTT、2 12 - n)=12T2T212nT n1nT2n在欧氏空间Rn中有Ti j= i,j=1,2,3,i,j=1,2,3,n n故有UUT= 故 =10当i jti, j 1,2,当i jJn因而1,2n是R的标准正交基充分性设2，n是Rn的一个标准正

9、交基，以上过程可逆有UUT=I=I , ,从而U是正交矩阵。必要性设 U U 是正交矩阵则有证:U=1=1U=U=1 ,TnTnT n正交矩阵的行列式为1 ;AATI故AAT定义 7.3.27.3.2 : : 是欧氏空间V的一个线性变换，如果则称 是V的一个正交变换。正交变换的判断定理 7.3.37.3.3是V的一个线性变换，于是以下四个命题等价:是V的正交变换；若1,2,n是V的标准正交基则(1), (2),正交基；是关于任意一个标准正交基的矩阵是正交矩阵。证明：用是正交变换故U是正交基。四、正交变换1 1V ,有 =;也是V的标准2= ), ,)+2+2+ 2=+2+2+ =j0(1),(

10、n)是V的标准正交基。n是V的标准正交基,关于基的矩阵(1),(1),(2),n)= =(1,2,n)U(2),(n), ,均为标准正交基的循回证法来证明,设是关于标准正交基n的矩阵U的正交矩阵,(1),(2)，(n)也是标准正交基。V则有Xi 1X2 2Xn nX, ji 12Xi i 1即 | | |()推论1 :正交变换保持向量的夹角不变。注意：逆命题不一定成立。当 V V 取定了标准基之后， 正交变换与正交矩阵是一一对应的。 并且保持乘法运算, 究正交变换可归结为研究正交矩阵。推论 2:2:两正交变换的积仍是正交变换，正交变换的逆变换也是正交变换。证：设，均为正交变换则| ( ) | ( ( ) | ()()1( )1()3 3 正交变换的分类若正交变换关于某一标准正交基的矩阵为UU 1时称 为第一类正交变换，并称为旋转；U 1时称为第二类正交变换，并称为反射。()X1 1X2 2即(1)，(2)，(n)= =1,2,nUUTUI = j 1Xi j(i)，(j)=arccos=arccos- -=arccos=arccos(),()_()| ( )|一例：1,2,n和1,2n是 n n 维欧氏空间V的两个标准正交基,则存在V的一个正交变换。使(i)ii 1,2, ,n证：定