中值定理的证明题

1、第五讲中值定理的证明技巧一、考试要求1、 理解闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，有界性定理，介值定理），并会应用这些性质。2、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理(泰勒定理），了解并会用柯西中值定理。掌握这三个定理的简单应用（经济）。3、 了解定积分中值定理。二、内容提要1、 介值定理（根的存在性定理）（1）介值定理 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值 m 之间的任何值 .（2）零点定理设 f(x)在a、b连续，且 f(a)f(b)0，则至少存在一点 ,c (a、b)，使得 f(c)=02、 罗尔定理若函数满足：（1）在上连续（2）在内可导（3） f (a)f (b

2、)则一定存在(a, b) 使得 f ' ( ) 03、 拉格朗日中值定理若函数满足：（ 1）在上连续（ 2）在内可导则一定存在(a,b) ，使得 f (b)f (a)f ' ( )(ba)4、 柯西中值定理若函数f ( x), g( x) 满足 :（ 1）在上连续（ 2）在内可导（ 3） g '( x) 0f (b)f (a)f ' ()则至少有一点(a,b) 使得 g (b)g(a)g ' ( )5、 泰勒公式如果函数在含有的某个开区间( a,b) 内具有直到阶导数 则当在 (a,b) 内时 可以表示为的一个n次多项式与一个余项Rn ( x) 之和，即

3、f (x)f (x0 )f (x0)(x x0 )1 f (x0)(x x0 )21 f (n) (x0)( x x0 )n Rn (x)f (n 1) () (x x )n 12!n!R (x)n(n 1)!0介于与之间 )其中(在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点：1展开的基点；2展开的阶数；3余项的形式其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式而基点和阶数，要根据具体的问题来确定6、 积分中值定理若 f(x)在a、b上连续，则至少存在一点ca、b，使得ba f(x)dx=f(c)(b-a)三、典型题型与例题题型一、与连续函数

4、相关的问题（证明存在使 f ( )0 或方程 f(x)=0 有根）方法：大多用介值定理f(x)满足：在 a,b 上连续； f(a)f(b)<0.思路： 1）直接法2）间接法或辅助函数法例 1、设 f ( x)在a,b上连续， a x1x2xn b, ci 0(i 1,2, ,n) ，证明存在 a, b，使得c1 f (x1 ) c2 f ( x2 )cn f ( xn )f ( )c2cnc1例 2、设 b a0, f ( x) 在a,b 上连续、单调递增，且 f ( x)0 ，证明存在(a,b)使得2( )2()2 2f( )af bbf a例 3、设 f ( x) 在 a,b上连续且

5、f ( x)0 ，证明存在(a, b) 使得b1bf ( x) dxf ( x)dx2f (x)dx 。aa例 4、设 f ( x), g ( x) 在a,b 上连续，证明存在( a,b) 使得bg( ) f (x)dx f ( ) g ( x) dxa例 5、 设 f(x)在0,1 上连续，且 f(x)<1.证明： 2x1在内有且仅xf (t )dt(0,1)0有一个实根。例 6、设实数 a1, a2 ,a2( 1)n 1an0 ，证明方程, an 满足关系式 a12n31a1 cos x a2 cos3xan cos(2n 1) x0 ，在 (0,) 内至少有一实根。2例 7、（ 0

6、234，6 分）设函数 f(x),g(x)在 a,b上连续，且 g(x)>0,利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点 a,b 使得bbf ( x)g (x)dxf ( )g (x)dxaa题型二、验证满足某中值定理3 x2,x1例 8、验证函数 f ( x)2，在0，2上满足拉格朗日中值定理，并求1 ,x1x满足定理的题型三、 证明存在, 使f ( n)( )0 (n=1,2, )方法：思路：例 9、设 f ( x) 在 a,b上可导且 f (a) f (b)0 ，证明至少存在一个( a,b) 使得 f ()0例 10、设 f ( x) 在 0,3上连续，在（0,3）内可导，且 f (

7、0)f (1) f ( 2) 3, f ( 3) 1 ，证明存在一个(0,3) 使得 f ( ) 0例 11、设 f ( x) 在0,2 上连续，在（ 0，2）内具有二阶导数且f ( x )1( 0,2) 使得 f ( ) 0lim0,2 1f ( x )dx f (2) ，证明存在1cos xx22题型四、 证明存在, 使 G( , f ( ), f ( ) 0方法：思路：(1) 用罗尔定理1) 原函数法 :步骤：例 12、设 f ( x), g( x) 在a,b上连续，在 (a,b)内可导，且 g ( x)0(x (a,b) ，求证存在(a,b) 使得 f (a)f ( )f ( )g (

8、 )g(b)g ( )例 13、（ 0134）设 f(x)在 0,1上连续， (0,1)内可导，且1f (1)k k xe1 x f (x)dx, k10证明：在 (0,1)内至少存在一点 , 使 f ( ) (11 ) f ( ).例 14、 设 f(x)在a,b 上连续，在(a,b)内可导，且 f(a)f(b)>0,f(a)abf () 0, g(x)在 a,b上连续，试证对(a,b),使得 f ( ) g ( ) f ( ).2例 15、设 f(x)在0，1上连续，在（0，1）内一阶可导，且11xf ( x)dx0 .f ( x)dx0,00试证：(0,1), 使得f ( ) (1

9、1 ) f ( ) .证令 F ( x)xf (t)dt ，则 F(0)=F(1)=0. 又011xF (x)1110c, F (c)0.xf (x)dxxdF( x)0F ( x) dxF ( x) dx0000于是1( 0, c),2( c,1) ，使F(1)F( 2 )0 ，即 f ( 1 )f (2 )0.设( x)1 e xf ( x), 则(1)(2)0(1, 2)(0,1) ，使得x1 ) f ( ) .( )0 ，即 f ( )(12) 常微分方程法 : 适用 :步骤：例 16、设f ( x) 在a,b 上连续，在( a,b) 使得 f ()f ()(a,b)内可导，且f (a

10、)f (b)，证明存在例 17、设 f(x)在0,1 上连续，在 (0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1,证明：对任意实数 ,必存在（0，1) , 使得f ( ) f ( ) 1(2) 直接用拉格朗日或柯西中值定理例 18、设 f ( x) 在 a,b 上连续，在 (a, b) 内可导，求证存在(a,b) ，使得bf (b)af ( a)bf ( )f ( )a例 19、设 f ( x) 在 a,b 上连续，在 (a, b) 内可导，求证存在(a,b) ，使得1b na nn 1 nf ( ) f ( ), n 1b a f ( a)f ( b)例 20、设 f ( x) 在 a,b

11、上连续，在 (a, b) 内可导 ( 0 ab) ，求证存在(a,b) ，使得 f (b) f (a)ln bf ( )a例 21、设 f ( x) 在 a,b 上连续，在(a, b) 内可导 ( 0 ab) ，求证存在(a,b) ，使得f (b)f (a)( a2abb2 ) f( )ba32题型五、含有 f( ) (或更高阶导数 )的介值问题方法：例 22、 设 f(x)在0,1 上二阶可导，且 f(0)=f(1)=0, 试证至少存在一个(0,1) , 使2 f ( )f( )1例 23、（ 012，8 分）设 f ( x) 在 a, a( a0) 上具有二阶连续导数，f(0)=0(1)

12、写出 f(x)的带拉氏余项的一阶麦克劳林公式。(2) 证明在 a, a 上至少存在一个使得a 3 f ( )a3 f ( x)dxa例 24、 设 f(x)在 1, 1上具有三阶连续导数， 且 f(-1)=0, f(1)=1, f(0)=0, 证明 : 在(-1,1)内存在一点，使得 f ( ) 3.例 25、设 f(x)在 a, a上具有三阶连续导数，且满足f(x)x 2xt)dt ，tf (x0f (0)=0,证明 : 在 -a, a内存在一点，使得 a4 f()12af ( x) dx.a证 由 f ( x)x2xx2x( x u) f (u)dutf ( x t )dt00= x2xx

13、f (u)dux0uf (u)du ，0f(0) 0， f( x)2xx(0)0.知f (t)dt , f0根据泰勒公式，有f ( x)f (0)f (0)x1f(0) x21f() x31f () x32!3!6其中介于 0 与 x 之间， x11,.于是ma4f ( x) dxa1 f( ) xdxMa4,a312aa 612其中 M 、m 为 f( x) （由题设可推知 f(x) 在-a,a上连续）在-a, a上的最大值、最小值 .进一步有m12af ( x) dxMa4a12故存在a, a ， 使得f( )a4f ( )af ( x) dx.4af (x) dx ，即 a12aa题型六

14、、 双介值问题 F ( , ,)0方法：例 26、设 f (x)在a,b上连续，在 (a,b)内可导， 0a b ，求证存在 ,(a,b) 使得 f ( )f ( ) (a b)2例 27、（ 051，12 分）已知函数f (x) 在0,1 上连续，在 (0,1)内可导，且f (0) 0, f (1)1证明：（ 1）存在(0,1) ，使得 f ( ) 1（2）存在两个不同的点 ,(0,1) 使得 f ( ) f ( ) 1题型七、综合题例 28、（ 011，7 分）设函数 f ( x) 在（ -1,1）内具有二阶连续导数，且（1） 对于 (-1,1)内的任意 x0 ,存在唯一的( x)f (

15、x )f (0)xf ( x ) x ) 成立f ( x)0 ，试证(0,1) 使得（2） lim (x)12x 0例 29、试证明若 f (x) 在a,b 上存在二阶导数，且 f (a)f (b) 0 ，则存在( a,b) 使得 f ( )4f (b) f (a)(b a) 2例 30、设 e<a<b, 求证：在 (a,b)内存在唯一的点，使得a eb e 1 eabln aln b01ae aln a证 F ( x)b e bln b , F (a)xe xln x为证唯一性，再证F( x) 0F ( x)exb ln abe aa ln b2ln xx令 f ( x)f (x

16、) 0( x e)xF (b)0F ( )0ae bf (a)f (b)g( x)xe xg ( x)0g(b)g(a)F( x)0,F (x)唯一性 .题型八、有关介值证明的几类特殊处理问题1）反证法例 30、设 f(x)在-2,2 上连续，在 (-2,2)内二阶连续可导 ,且 f(x) 1, f (0) 1, . 求证存在( 2,2), 使 f( )0证 反证若对x( 2,2), f( x) 不变号1） f( x)0 ,f(2)=f(0)+ f(0)21f( 1 )22, 1(0,2)1 ( f (2)2f (0)f (0) f( 1 )1,与左端小于等于1矛盾.212) f( x)0,f(-2)=f(0)- f(0)2f( 2 )22, 2( 2,0)1 f ( 2)2f (0) f ( 0) f(2 ) ,同理矛盾2f (x) 变号，从而结论成立 . 2）隐含问题例 31、（ 2000 年）设 f(x)在0,1 上连