机械振动——简谐运动的基本概念

1、简谐运动在一切振动中，最简单和最基本的振动称为简谐运动，其运动量按正弦函 数或余弦函数的规律随时间变化。任何复杂的运动都可以看成是若干简谐运动 的合成。本节以弹簧振子为例讨论简谐运动的特征及其运动规律。结论：物体作简谐运动的条件：物体的惯性一一阻止系统停留在平衡位置 作用在物体上的弹性力一一驱使系统回复到平衡位置二、弹簧振子的动力学特征：1.线性回复力分析弹簧振子的受力情况。取平衡位置。点为坐标原点，水平向右为X轴的正方向。由胡克定律可知，物体m（可视为质点）在坐标为x（即相对于。点的 位移）的位置时所受弹簧的作用力 为f=-kx式中的比例系数k为弹簧的劲度 系数（Stiffness）,它反映

2、弹簧的固 有性质，负号表示力的方向与位移 的方向相反，它是始终指向平衡位置的。离平衡位置越远，力越大； 在平衡位 置力为零， 物体由于惯性继续运动。 这种始终指向平衡位置的力称为回复力。2.动力学方程及其解根据牛顿第二定律，f=ma可得物体的加速度为fka = = - xmm、简谐运动的基本概念：|1.弹簧振子：轻质弹簧（质量不计）一端固定，另一端系一质量为m的物体，置于光 幽滑的水平面上。物体所受的阻力忽略不计。设在 。点弹簧没有形变，此处物体所受的合力为零，称。点为平衡位置。系统一经触发，就绕平衡位置作来回往复的周期性运动。这样的运动系统叫做弹簧振子（harmonic Oscillator

3、2.弹簧振子运动的定性分析：考虑物体的惯性和作用在物体上的弹性力:B。弹性力向左，加速度向左，加速，O - C:弹性力向右，加速度向右，减速，Cr O弹性力向右，加速度向右，加速，O B:弹性力向左，加速度向左，减速，物体在B、C之间来回往复运动。点，加速度为零，速度最大;C点，加速度最大，速度为零; 。点，加速度为零，速度最大;B点，加速度最大，速度为零。kAA/VWvLAAA/VW）,它是一个理想化的模型。1对于给定的弹簧振子，2k-=m则上式可以改写为ad2x2即 =- Xdt2或 + o2x = 0dt2这就是简谐运动的微分方程。三、简谐运动的运动学特征：1.简谐振动的表达式（运动学方

4、程）简谐运动的微分方程的解具有正弦、余弦函数或指数形式。我们采用余弦 函数形式，即x = Acos（，t，）这就是简谐运动的运动学方程，式中A和力是积分常数。说明：1） 简谐运动不仅是周期性的， 而且是有界的，只有正弦函数、 余弦函数或 它们的组合才具有这种性质，这里我们采用余弦函数。2）考虑三角函数与复数的关系e= cosH+i sin ,则= Ae。用 复数表示简谐运动，其优点是运算比较简单。2.简谐振动物体的速度和加速度将简谐运动的运动学方程分别对 时间求一阶和二阶导数， 可得简谐运 动的速度和加速度为v = = -Asin（切t+ 平）dtd2x oa =少= Acos（，t ） dt

5、2说明：物体在简谐运动时，其位移、速度、加速度都是周期性变化的。简谐运动不仅是周期性的，而且是有界的一一只有正弦函数、余弦函数或它们的组合才具有这种性质一一采用余弦函数。二、简谐运动的特点：1.从受力角度来看动力学特征合外力f=-kx与物体相对于平衡位置的位移成正比，方向与位移的方向相 反，并且总是指向平衡位置的。此合外力又称为线形回复力或准弹性力。2.从加速度角度来看一一运动学特征加速度a = v2x与物体相对于平衡位置的位移成正比，方向与位移的方 向相反，并且总是指向平衡位置的。3.从位移角度来看：位移x = A cos（切t十平）是时间的周期性函数。说明：机械振动简谐振动的基本概念m和k

6、均为正值常量，令机械振动简谐振动的基本概念21)要证明一个物体是否作简谐运动,只要证明上面三个式子中的一个即可,1由其中的一个可以推出另外两个；2)要证明一个物体是否作简谐运动最简单的方法就是受力方析，得到物体所受 的合外力满足回复力的关系。例题：一个轻质弹簧竖直悬挂，下端挂一质量为m的物体。今将物体向下拉一段距离后再放开，证明物体将作简谐运动。证明：取物体平衡位置为坐标原点，竖直向下为x轴的正方向，如图所示。物体在平衡位置时所受的合力为零，即mg-kl=0(1)其中mg为物体的重力，l为物体平衡时弹簧的伸长量。在任一位置x处，物体所受的合力为F=mg-k(x+l)(2)比较、可得F=-kx(

7、3)可见物体所受的合外力与位移成正比，而方向相反，所以该物体将作简谐运动。机械振动简谐振动的基本概念3简谐运动的振幅、周期和相位Amplitude , Period and Frequency , Phase of Simple harmonic Vibration现在我们讨论简谐振动运动学方程x=Acos（ wt+（）中的A、3、3t+ $ 4的物理意义。它们分别是描述谐振动的特征量：振幅、频率和周期、相位和初相。振幅、周期和相位等都是描述简谐运动的物理量。一、振幅A（Amplitude）一反映振动幅度的大小引入：在简谐运动的表达式中，因为余弦或正弦函数的绝对值不能大于1,所以物体的振动范围

8、为+A与-A之间。定义：作简谐运动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。说明：（1）A恒为正值，单位为米（m）;（2）振幅的大小与振动系统的能量有关，由系统的初始条件确定。二、周期T（Period）与频率（Frequency）一反映振动的快慢1.周期Period定义：物体作一次完全振动所需的时间，用T表示，单位为秒（s）。x = Acos（ t户）=Acosp （t丁），时户考虑到余弦函数的周期性，有T=2兀2二因而有T =Q2.频率Frequency定义：单位时间内昉体所作的完全振动的次数，用v表示，单位为赫兹（Hz）。1、.= =T 2二3.圆频率Angular Frequency定义：物

9、体在2兀秒时间内所作的完全振动的次数，用3 表示，单位为弧度/秒（rad. s-1或s-1）。-2二-2：.-T说明：1）简谐运动的基本特性是它的周期性；2）周期、频率或圆频率均有振动系统本身的性质所决定，故称之为固有周期、 固有频率或固有圆频率。k 1km3）对于弹簧振子，X I , =,T =2%：一。 m2 m k4）简谐运动的表达式可以表示为x = Ac o s （t ） = Aco斗t，） = Ac o/*：t ）三、相位（Phase）一反映振动的状态1.相位质点在某一时刻的运动状态可以用该时刻的位置和速度来描述。对于作简谐运动的物体来说，位置和速度分别为x=Acos（ cot+和v

10、=- 3 Asin（陌+。），当振幅A和圆频率 3 给定时，物体在t时刻的位置和速度完全由cct+平来确定。即cot+甲 是确定简机械振动简谐振动的基本概念4谐运动状态的物理量，称之为相位。相位（wt+ 4）是决定谐振子运动状态的重要物理量3 t+ &和A,3 一起决定t时刻物体运动状态，即位移X,速度V,和加速度a.在一次全振动中，谐振子有不同的运动状态，分别与02兀内的一个相位值对应。例如：txVcot+中0A00T/40-O A12T/2-A0冗TA02n2.初相位在t=0时，相位为 切称为初相位，简称初相，它是决定初始时刻物体运 动状态的物理量。对于一个简谐运动来说，开始计时的

11、时刻不同，初始状态就 不同，与之对应的初相位就不同，即初相位与时间零点的选择有关。结论：对于一个简谐运动，若A、3、力已知，就可以写出完整的运动方程，即掌握了该运动的全部信息。因此，我们把A、3、4叫做描述简谐运动的三 个特征量。3.相位差：定义：两个振动在同一时刻的相位之差或同一振动在不同时刻的相位之差。对于同频率简谐运动、同时刻的相位差x= A1cos（ -t 1）x2= A2cos（t2）相位差 勇=（切t+平2）-（切t+中i）=中2-甲1即两个同频率的简谐运动在任意时刻的相位差是恒定的。且始终等于它们的初 始相位差。说明：1）勇0质点2的振动超前质点1的振动甲0质点2的振动落后质点1

12、的振动2）=坦W,k =0,1,2,.,同相（步调相同）群=（2k十1）n,k =0,1,2, .反相（步调相反）小结：对于一个简谐运动，若振幅、周期和初相位已知，就可以写出完整的运 动方程，即掌握了该运动的全部信息，因此我们把振幅、周期和初相位叫做描 述简谐运动的三个特征量。四、积分常数A和力的确定：简谐运动运动学方程为x=Acos（切t+平）其中圆频率是由系统本身的性质确定的，积分常数A和力是求解简谐运动的微分方程是引入的，其值有初始条件（即在t=0时物体的位移与速度）来确定。将t=0代入位移和速度的公式，即得物体在初始时刻的位移X0和初速度V0：x0= Acos v0= -A、sin 由

13、此可解得机械振动简谐振动的基本概念5V0tg =x。说明：1）一般来说4的取值在一兀和兀（或0和2兀）之间；2）在应用上面的式子求力时，一般来说有两个值，还要有初始条件来判断应 该取哪个值；3）常用方法：由A =求A,然后由% =Acos两者的共同v0- - A，sin 部分求饥例1 :一弹簧振子系统，弹簧的劲度系数为k=0.72N/m，物体的质量为m=20g。今将物体从平衡位置沿桌面向右拉长到0.04m处释放。求振动方程。解：要确定弹簧振子系统的振动方程，只要确定A、3 和力即可。由题可知，k=0.72N/m , m=20g=0.02kg , x=0.04m , v= 0,代入公式可得_ k0.72切 一j = *- 6rad ，s；m0.0222%X0 .2（0又因为x0为正，初速度因而简谐运动的方程为：2020.04，一2= 0.04mv0= 0,可得中=0 x = 0.04cos(6t) (m)例2 .已知某质点作简谐运动，试根据图中数据写出振动表达式。解：设振动表达式为x = Ac o