中考数学反比例函数及综合问题

1、专题08反比例函数及综合问题【方法指导】1反比例函数知识梳理:1 反比例函数的k> 0图象经过第一、三象限(X、y同号)每个象限内，函数y的值随x的 增大而减小.图象和性质kv 0图象经过第二、四象限(x、y异号)每个象限内，函数y的-值随x的增大而增大.2.反比例函数的图象特征(1) 由两条曲线组成，叫做双曲线；(2) 图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与 x轴和y轴相交；(3) 图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴 分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线.3.系数k的几何意义k(1) 意义：从反比例函数 y = -(kz 0)图象上任

2、意一点向x轴和y轴作垂线，X垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2| k|.(2) 常见的面积类型：> 擁淤怵Cm bI1i7 住丘f "1齐眄T " 1也J 1 * 11114.与一次函数的综合(1 )确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为(a, b)，则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为(一a, b).【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解(2) 确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个 函数解析式中求解(3) 在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采

3、用假设法，分k> 0和kv 0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可. 也可逐一选项判断、排除.(4) 比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围【题型剖析】【类型1】反比例函数k的几何意义【例1】(2019?宿豫区模拟)如图， A是反比例函数y- (x> 0)的图象上的任意一点，AB / x轴，交反比例函数y -二的图象于点B，以AB为边画？ABCD，其中C、D在x轴上，则？ABCD的面积等于()【分析】连结OA、OB,AB交y轴于E,由于AB丄y轴，根据反比例函数系数 k的几何意义得到Saoea-身芸4=2, Sobe5

4、一=2S oab= 9.5-2则四边形ABCD为平行四边形，然后根据平行四边形的性质得到S平行四边形ABCD【解析】连结 OA、OB , AB交y轴于E,如图,/ AB / x 轴， AB 丄 y 轴，二 Soea口 ¥>(4 = 2, Sobe=5 -5 = 2.5, - SaOAB= 2.5+ 2 = 4.5,四边形ABCD为平行四边形, S 平行四边形 ABCD= 2SaOAB= 9. 故选：D.【点睛】本题考查了反比例函数y(kz 0)系数k的几何意义：从反比例函数 y (0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|.【变式1 1】（201

5、9?梁溪区一模）如图，矩形 OABC的顶点A、C都在坐标轴上，点 B在第二象限，矩形OABC的面积为6 把矩形OABC沿DE翻折，使点B与点O重合.若反比例函数 y 的图象恰好 经过点E和DE的中点F.则OA的长为（）A . 2B. 一，C. 2 -D.-【分析】连接BO与ED交于点Q,过点Q作QG丄x轴于G,可通过三角形全等证得 BO与ED的交点就是ED的中点F，由相似三角形的性质可得SaOGFSaOCB,从而求出SaOAE,进而可以得到AB = 4AE ,即BE= 3AE.由轴对称的性质可得 OE= be ,从而得到OE= 3AE，也就有AO = 2數AE，根据 OAE的 面积可以求出OA

6、的值.【解析】连接BO与ED交于点Q,过点Q作QN丄x轴，垂足为N，如图所示，矩形OABC沿DE翻折，点B与点0重合， BQ = 0Q, BE= E0 .四边形oabc是矩形， AB / C0,Z BC0 = Z 0AB = 90°./ EBQ = Z D0Q .在厶BEQ和厶0DQ中，（"HQ = 40QABQE = £QQD BEQ 0DQ （ ASA）. - EQ = DQ .点Q是ED的中点./ QN0 = Z BC0 = 90°, QN / BC.2=（）11SaONQ二SaOCB.4/ S 矩形 OABC= 6, S ocb= S oab=

7、3匸. Sa ONQ点F是ED的中点,点F与点Q重合.SaONF-4点E、F在反比例函数y- -上, Sa OAE= Sa ONI.T Sa OAB= 3谕, AB = 4AE . BE = 3AE .由轴对称的性质可得：OE= BE . OE = 3AE . OA匚 _一2瓷AE . Sa oa AO?A X2 AE X AE 丁AE . OA = 2曲AE一 站故选：D.【变式1 2】（2019?惠山区一模）如图，矩形 ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数 厂 （2 0, x> 0 ）上，若矩形 ABCD的面积为8，则k的值为（）A . 4B . 2禅：C. 2杆D. 8【分析】设

8、A点的坐标为（m, n）则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为一，根据中心在反比例函2.fr数y 上，求出中心的横坐标为 一，进而可得出BC的长度，根据矩形 ABCD的面积即可求得.【解析】如图，延长 DA交y轴于点E,四边形ABCD是矩形，n设A点的坐标为（m, n）则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为一£矩形ABCD的中心都在反比例函数 y 上，2*X , n2Ie n矩形ABCD中心的坐标为（一，）n 22k 心 BC = 2 （） 一 2m,/ S 矩形 ABCD= 8 ,'（ 一 2m）? n= 8.n4k 2mn= 8,点 A （ m, n）在厂-上, mn=

9、k, 4k 2k= 8解得：k= 4故选：A.【类型2】反比例函数点的坐标特征【例2】（2019?锡山区一模）如图，在反比例函数 y .的图象上有一动点 A,连接AO并延长交图象的另支于点B，在第二象限内有一点 C,满足AC = BC,当点A运动时，点C始终在函数y 的图象上运动，若tan/ CAB = 2,贝U k的值为（）12C. 18D. 24【分析】连接 0C,作CM丄X轴于M , AN丄X轴于N,如图，禾U用反比例函数的性质得OA= OB，根据等腰三角形的性质得 0C丄AB,禾U用正切的定义得到2, 再证明 RtA OCM s Rg OAN，利用相似的性质得 一-=4，然后根据k的几

10、何意义求k的值.【解析】连接 OC,作CM丄x轴于M , AN丄x轴于N,如图, A、B两点为反比例函数与正比例函数的两交点，点A、点B关于原点对称， OA = OB ,/ CA = CB, OC 丄 AB,在 RtA AOC 中，tan/ CAO2, / COM +/ AON = 90°,/ AON + / OAN = 90/ COM =/ OAN , RtA OCM s RtA OAN ,S.&£DM 32 =()2= 4 ,OA而 SaOANK1-23-2JL3 Sa CMO= 6,- |k|= 6,而 kv 0, k=- 12.故选：B.【点睛】本题考查了反

11、比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y（k为常数，k工0）的图象是双曲线，图象上的点（x, y）的横纵坐标的积是定值k,即xy= k.也考查了反比例函数的性质和相似三角形的判定与性质.【变式2 1】（2019?宜兴市一模）已知反比例函数戶色的图象上有两点A（xi,yi）,B（x2,y2）,且xlv X2,那么下列结论中，正确的是（）A . yi v y2B. yi> y2C. yi = y2D . yi与y2之间的大小关系不能确定【分析】根据反比例函数 y 中k的符号判断该函数所在的象限及其单调性，然后分类讨论xi与x2所在的象限，从而根据该函数在该象限内的单调性来判断yi与y2的大小

12、关系.【解析】 k= 6,反比例函数y 的图象经过第一三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小； 当 xi v x2v 0 时，yi>y2; 当 0 v xi v x2 时，yi > y2； 当 xi v 0v x2 时，yiv y2;综合，yi与y2的大小关系不能确定.故选：D.【变式2 2】（20i9?昆山市一模）如图，将边长为i0的等边三角形 OAB位于平面直角坐标系第一象限中，OA落在x轴正半轴上，C是AB边上的动点（不与端点 A、B重合），作CD丄OB于点D，若点C、D 者E在双曲线y： （ k>0, x>0） 上，贝U k的值为（）B . i8【分析】根据

13、等边三角形的性质表示出C . 25 -D , C点坐标，进而利用反比例函数图象上点的坐标特征得出答【解析】过点D作DE丄x轴于点E,过C作CF丄x轴于点F，如图所示.可得：/ ODE = 30/ BCD = 30°,设 OE= a,贝U OD = 2a, DE= BD = OB - OD = 10 - 2a, BC = 2BD = 20 - 4a, AC = AB - BC= 4a 10, AF-?AC= 2a- 5, CF-晨 AF- . 7 (2a- 5) , OF = OA- AF = 15- 2a,点 D (a,忒ja),点 C15 - 2a,烤芻(2a - 5).点 C、D

14、 都在双曲线 y(k>0, x>0) 上 , a?潍;a=( 15- 2a)渕疝f (2a- 5),解得：a= 3或a= 5.当a= 5时，DO = OB , AC= AB ,点C、D与点B重合，不符合题意, a = 5舍去.点 D (3 , 3必),- k= 3X 3 : 一9或.【类型3】：反比例函数和一次函数相结合问题【例3】(2019?海门市二模)如图，正比例函数 y=- 2x与反比例函数 厂 的图象相交于 A ( m , 4) , B两点.(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；(2)当-2x_时，请直接写出x的取值范围.y=- 2x求出m的值，将 A (- 2, 4)代

15、入反比例解析式求 k的值，根据A、B关于0点对称即可确定出 B坐标;x的范围即可.(2)根据图象和交点坐标找出正比例函数图象位于反比例函数图象下方时【解析】(1 )将A ( m, 4)代入正比例函数 y =- 2x得：4=- 2m,解得m=- 2,二 A (- 2, 4),反比例函数y- 一的图象经过 A (- 2, 4),k=- 2 X 4=- 8,则反比例解析式为 y= -二TA、B关于O点对称.B (2, - 4)；(2)由图象得：当-2x 时，x的取值范围为-2< xv0或x>2.【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定

16、函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.【变式3 1】(2019?如皋市一模)定义：把函数y(m>0)的图象叫做正值双曲线. 把函数y (mv 0)的图象叫做负值双曲线.(1) 请写出正值双曲线的两条性质；m(2) 如图，直线I经过点A (- 1 , 0),与负值双曲线 尸简(mv 0)交于点B (- 2,- 1) . P是射线AB上的一点，过点 P作x轴的平行线分别交该负值双曲线于M , N两点(点M在点N的左边).求直线I的解析式和m的值；是否存在点P,使得Saamn = 4Saapm?若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】

17、（1）根据反比例函数的性质解答即可；（2）运用待定系数法求出直线 I的解析式；若存在，设点P的坐标为（p，p + 1）,则点M （, p+ 1）,点N （, p + 1）,再根据三角形p+1的面积公式可得厶AMN的面积，然后分3种情况讨论：若点 P在线段AB上；若点P与点B重合；若 点P在线段AB的延长线上.【解析】（1）当xv 0时，y随x的增大而增大；当x> 0时，y随x的增大而减小；无论x取何值, y> 0;图象与坐标轴没有交点；图象分布在第一、二象限，等等；(2)设直线I的解析式为y= kx+ b.直线 I 过点 A (- 1, 0)和点 B (- 2, - 1),解叫匚直

18、线I的解析式为y= x + 1.双曲线 y= (mv 0)交于点 B (- 2,- 1), m= 2x(- 1) =- 2,即：m的值为-2 ； 2 2 若存在，设点 P的坐标为（p , p+ 1）,则点M （, p+ 1）,点N （, p+ 1）.SaAMNI|X |p+ 1|= 2 ,若点P在线段AB上,则 Sa apm=亍(p-)X -( p + 1) = 1 (- p2- P + 2).T SaAMN= 4SaAPM,2 = 4瓷扌(-P2- P+ 2),即 P2+ P- 1 = 0.解得p1, p2 斗単（舍去），若点P与点B重合， APM不存在;若点P在线段AB的延长线上，则 Sa

19、APM-p)x -( p + 1) F 亍(P2+ P-2).卫+1壬/ SaAMN= 4SaAPM ,:.2 = 4 辰讦(P2 + P-2),即 P2 + P-3 = 0.解得闪-一4 , p4（舍去）.-i,/s故存在点p （,）和（1-V1H),使得 SaAMN = 4Saapm.【点睛】本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式；会计算三角形的面积.ABC放在第二象【变式3 2】（2019?滨海县一模）如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板限，斜靠在两坐标轴上，/ ACB = 90°,点C的坐标为（-2, 0）,点A的坐标为（0, 4

20、）, 一次函数y=kx+ b的图象经过点 B、C,反比例函数y 的图象经过点 B .（1）求反比例函数的表达式;（2）直接写出当xv 0时，kx+ b-，0的解集.【分析】(1)过点B作BF丄x轴于点F .根据AAS证明 BCF CAO,从而求得点B的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数的关系式；(2)在第二象限内，找出一次函数值 y= kx+ b落在反比例函数y图象下方的部分对应的x的取值范围即可.【解析】(1)如图，过点B作BF丄x轴于点F./ BCA = 90°,/ BCF + Z ACO= 90 ° ,又/ CAO + Z ACO = 90°,/ BCF

21、= Z CAO.在厶BCF与厶CAO中，fBCF =虫曲IBFC =， BCF CAO (AAS), CF = AO= 4, BF = CO = 2, - OF = OC + CF = 2 + 4 = 6,点 B的坐标为(-6, 2),将点B的坐标代入y-，可得：m=- 6 x 2=- 12,12故可得反比例函数解析式为y;(2)结合点B的坐标及图象，可得当 xv 0时，kx+ b0的解集为：-6v xv 0.【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,全等三角形的判定与性质， 待定系数法求函数(3)把 y = 40 代入 y = 9x+ 15 得 x;把 y = 40 代入得 x= 7

22、.5,【类型4】：反比例函数的应用问题【例4】(2019?河池三模)制作一种产品，需先将材料加热达到60C后，再进行操作设该材料温度为y(C)，从加热开始计算的时间为x (分钟).据了解，设该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系(如图).已知该材料在操作加工前的温度为15 C，加热5分钟后温度达到60 C.y与x的函数关系式;(1) 分别求出将材料加热和停止加热进行操作时,(2) 根据工艺要求，当材料的温度低于15 C时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间?40C)的时间有多长?【分析】(1)分成0W x< 5和x&

23、gt; 5两种情况，利用待定系数法即可求解;(2)在当x>5时的函数解析式中，求得 y= 15时对应的自变量 x的取值即可;(3)在两个函数解析式中求得 y= 40时对应的自变量的值，求差即可.【解析】(1 )当0< xw 5时，设函数的解析式是 y= kx+ b，则，解得:则函数的解析式是：y= 9x+ 15;岂溺希"竽；3QQ孔 0(2)把 y = 15 代入，得-=,x= 20;经检验：x= 20是原方程的解.则当材料的温度低于 15C时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了20分钟;所以材料温度维持在 40C以上(包括40 C )的时间为7.5分钟.【点

24、睛】本题考查了二次函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式.【变式4 1】(2019?大洼区一模)小明家饮水机中原有水的温度为20C，通电开机后，饮水机自动开始加热此过程中水温y (C)与开机时间 x (分)满足一次函数关系，当加热到100C时自动停止加热，随后水温开始下降此过程中水温y(C)与开机时间 x (分)成反比例关系，当水温降至20C时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序(如图所示)，根据图中提供的信息，解答下列问题：(1 )当0<xw8时，求水温y (C)与开机时间 x (分)的函

25、数关系式；(2) 求图中t的值；(3) 若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多【分析】(1 )利用待定系数法代入函数解析式求出即可；(2) 首先求出反比例函数解析式进而得出t的值；(3) 利用已知由x=5代入求出饮水机内的温度即可.【解析】(1 )当0wx< 8时，设水温y (C)与开机时间 x (分)的函数关系为：y= kx+ b,解得：,故此函数解析式为：y= 10x+ 20；(2)在水温下降过程中，设水温 y (C)与开机时间x (分)的函数关系式为： y ,依据题意，得：100二即 m= 800,故y ,当 y= 20 时，20解得：

26、t= 40;(3) ： 45 - 40= 5W 8,当 x= 5 时，y= 10X 5+ 20= 70,答：小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为70 C.【点睛】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键.【变式4 2】(2018?东台市一模)某农户共摘收草莓1920千克，为寻求合适的销售价格，进行了 6天试销，试销中发现这批草莓每天的销售量y (千克)与售价x (元/千克)之间成反比例关系，已知第 1天以20元/千克的价格销售了 45千克现假定在这批草莓的销售中，每天的销售量y (千克)与销售价格x (元/千克)之间都满足这一关系.(1 )求y

27、与x的函数关系式；(2) 在试销期间，第6天的销售价格比第 2天低了 9元/千克，但销售量却是第二天的2倍，求第二天 的销售价格；(3) 试销6天共销售草莓420千克，该农户决定将草莓的售价定为15元/千克，并且每天都按这个价 格销售，问余下的草莓预计还需多少天可以全部售完？【分析】(1)直接利用第1天以20元/千克的价格销售了 45千克，得出函数解析式即可；(2) 利用第6天的销售价格比第 2天低了 9元/千克，但销售量却是第二天的 2倍，得出等式求出答案；(3) 把x = 15代入函数解析式得出 y的值，进而求出答案.【解析】(1) y与x的函数关系式：y ;(2 )设第二天的销售价格是x

28、元/千克，则解得x= 18，经检验x= 18是原方程的解答：第二天的销售价格为 18元/千克；(3) 草莓的销售价定为15元/千克时，每天的销售量:由题意25 (天),所以余下的草莓预计还要销售 25天.【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用以及分式方程的应用，正确得出反比例函数解析式是解题关键.【类型5】：反比例函数的几何综合问题【例5】(2019?靖江市校级一模)如图，已知 C, D是反比例函数y (mv0)图象的两点，直线 CD分别交 x轴、y 轴于 A, B 两点，连接 OC、OD, tan/ BOC= ：:, OC-(1) 求点C的坐标；(2) 若/ BOC = / AOD，求直线

29、CD的解析式.【分析】(1)过点C作CE丄y轴于点E,通过解直角三角形可求出CE , OE的长，结合点 C在第二象限即可得出点C的坐标；(2)由点C的坐标，禾U用反比例函数图象上点的坐标特征可求出反比例函数解析式，由/ BOC = / AOD可求出点D的坐标，再根据点 C，D的坐标，利用待定系数法可求出直线CD的解析式.【解析】(1)过点C作CE丄y轴于点E，如图所示.在 RtA OCE 中，tan/ BOC，OC审 OE = 3CE，CE = 1， OE= 3，点C的坐标为(-1, 3).(2)点C (- 1, 3)是反比例函数y 图象上的点，丄 m=- 1 x 3 =- 3,反比例函数的解

30、析式为 y -丄 / BOC = / AOD ,设点D的坐标为(3a, - a) (a > 0).又点D为反比例函数扌图象上的点， 3ax (- a)=- 3,解得：ai= 1, a2=- 1 (舍去)，点 D的坐标为(3,- 1).设直线CD的解析式为y= kx+ b (0),+1力兰将 C (- 1, 3), D (3,- 1)代入 y= kx+ b,得：解得：皑,当/ BOC = Z AOD时，直线 CD的解析式为y=- x + 2.【点睛】本题考查了解直角三角形、 反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式， 解题的关键是：(1)通过解直角三角形，求出点C的坐标；

31、(2)禾U用反比例函数图象上点的坐标特征，求出点D的坐标.【变式5 1】(2019?广陵区校级二模)对于平面直角坐标系内的点P (m, n)和点Q (km + n, k2m+ kn),其中k为常数，我们把点 Q叫做点P的k倍随点.例如：点A (1, 3)的2倍随点B的坐标为(2 X 1 + 3, 22x 1 + 2 x 3),即点B的坐标为(5, 10).(1) C (- 2, 0)的3倍随点D的坐标为;若点E ( 0, n)的k倍随点F的坐标为(-2,- 8),则k =, n =;(2) 已知点O为平面直角坐标系的坐标原点，点G在x轴上，若点H是点G的k倍随点， GHO是 等腰直角三角形，求

32、 k的值；(3)若反比例函数 y-图象上的点 M的横坐标为-1,且点M的k倍随点也在反比例函数r 的图 象上，求k的值.【分析】(1)根据伴随点的定义，可求出点D的坐标及k, n的值；(2) 设点G的坐标为(a, 0) (a>0),则点H的坐标为(ka, k2a),分/ OGH = 90°及/ OHG = 90° 两种情况，利用等腰直角三角形的性质求出 k值；同理，可求出当点 G在x轴负半轴时k的值，此问得 解；(3) 利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点 M的坐标，结合伴随点的定义可求出点 M的k倍 随点N的坐标，由该点在反比例函数图象上，利用反比例函数图象上点

33、的坐标特征可得出关于k的方 程，解之取其非零值即可得出结论.【解析】(1 )点C (- 2, 0)的3倍随点D的坐标为(-2X 3+ 0, - 2X 32+ 3X 0),即点D的坐标为(-6,- 18)；点E (0, n)的k倍随点F的坐标为(-2,- 8),，解得:故答案为：(-6,- 18)； 4；- 2.(2)设点G的坐标为(a, 0) (a>0),则点H的坐标为(ka, k2a). GHO是等腰直角三角形，分两种情况考虑：2当/OGH = 90。时，k2a = ka,解得：k= 1 ；ffl. =当/OHG = 90 ° 时， 无解.同理，当点G在x轴负半轴时，可求出

34、k= 1.综上所述：k的值为1.(3)当 x =- 1 时，y-一一 -k,点M的坐标为（-1，- k）,点M的k倍随点N的坐标为（-2k,- 2k2）.点N在反比例函数y 的图象上,- 2kx （- 2k2）= k,解得：ki = 0 （舍去），k2T扎 k3= k的值为或三,2 2解方程组、等腰直角三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用伴随点的定义，求出点 D的坐标及k, n的值；（2）利用等腰直角 三角形的性质，找出关于 k的方程（或方程组）；（3）利用伴随点的定义及反比例函数图象上点的坐标 特征，找出关于k的方程.【变式5-2】（2019?海陵区二模）如

35、图所示，反比例函数3'3亠竹在第象限内分支上有一动点A，连接AO并延长与另一分支交于点 B，以AB为边作一个等边厶ABC，使得点C落在第四象限内.（1 ）当BC平行x轴时，试求出点C的坐标；（2）在点A运动过程中，直接写出 ABC面积的最小值 18;（3） 在点C的运动路径上是否存在点 D ,使得以A、B、C、D四个点构成的四边形为菱形？如果存在, 请求出一个点D的坐标；如果不存在，请说明理由.L1/V> Jt【分析】（1）过点A作AE丄x轴于点E,由等边三角形及平行线的性质可得出/ AOE= 60 ° ,通过解直 角三角形及反比例函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标

36、，利用中点对称可求出点 B的坐标，再利用轴对称可求出点 C的坐标；（2 ）利用等边三角形的性质及三角形的面积公式可得出Sa ABCAB2，设点A的坐标为（X,）,则点B的坐标为（-X, -竽），利用两点间的距离公式及完全平方公式可求出AB2的最小值，进而可得出 ABC面积的最小值；（3）过点A作AF丄x轴于点F，过点C作CM丄x轴于点 M,连接CO,易证 COMOAF，利用 相似三角形的性质可得出 CM?OM = 9 ，进而可得出点 C在函数y（x>0）的图象上.当BC / x轴时，由（1 ）结合菱形的性质（对角线互相垂直平分）可求出点D的坐标，禾U用反比例函数图象上点的坐标特征验证后即

37、可得出结论；当AC丄x轴时，由等边三角形的性质及反比例函数图象上点的坐标特征可求出点 A的坐标，利用中心对称可求出点B的坐标，利用轴对称可得出点C的坐标，利用菱形的性质（对角线互相垂直平分）可求出点D的坐标，禾U用反比例函数图象上点的坐标特征验证后即可得出结论.（写出一个点的坐标即可）【解析】（1）过点A作AE丄x轴于点E,如图1所示. BC / x轴， ABC为等边三角形，/ AOE = Z ABC= 60°, AE OE .又点A在反比例函数的图象上, AE?OE = 3, OE-点,AE = 3,点A的坐标为（康，3）.点A, B关于原点0对称，点B的坐标为（if?, - 3）

38、.点B, C关于直线X . ?对称,点C的坐标为（3壮,-3）.（2） ABC为等边三角形， $ ABC AB? AB2：AB2.设点A的坐标为（x,聖空），则点B的坐标为（-x, 攀）Jix AB2=( - X-x) 2+(二-二)2=( 2X) 2+()2=( 2X) 2十 2?2x?. AB2(2x>2?2x?24,SaABC-18.故答案为：18.(3)过点A作AF丄x轴于点F，过点C作CM丄x轴于点M，连接CO,如图2所示./ COM +Z AOF = 90°,/ OAF + Z AOF = 90°, / COM =/ OAF .又/ CMO = / OFA

39、= 90°, COM OAF , CM-応OF , OM- jAF .又 OF?AF = 3, CM?OM = 9廉,点C在函数y（x> 0）的图象上.S 当BC/ x轴时，如图3所示.由（1）得：点A的坐标为（苗，3），点B的坐标为（一再，-3），点C的坐标为（3.3 , - 3）.四边形ABDC为菱形，点D的坐标为（一舉+ 3 凋'，-3 - 3- 3）,即（廳- 9）.T *謂翼（-9 ）=- 9看冃,存在点D （再，-9）,使得以A、B、C、D四个点构成的四边形为菱形； 当AC丄x轴时，如图4所示. ABC为等边三角形， / BAC = 60°.同（1

40、）可得出：点A的坐标为（3,臨j）,点B的坐标为（-3, - .点C的坐标为（3, - 3曲）.四边形ABCD为菱形，点D的坐标为（3+ 3 -（ - 3）,点3和（r活），即（9, r弓）.9 x（挖）=-9密,存在点D （9，仙,使得以A、B、C、D四个点构成的四边形为菱形.（写出一个点的坐标即可）IkE 八C图11图2A . m > 2 -B. mv- 2严【点睛】本题考查了等边三角形的性质、反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、解直角三角形、三角形的面积、完全平方公式、菱形的性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数

41、的对称性，求出点A，B的坐标；（2）利用完全平方公式及偶次方的非负性，求出AB （2019?扬州）若反比例函数 y-的图象上有两个不同的点关于y轴的对称点都在一次函数 y=- x+的最小值；（3）利用相似三角形的性质，找出点C的运动路径的函数解析式.【达标检测】一.选择题（共6小题）2Q1 Q1. （2019?徐州）若A （ xi, yi）、B （x2, y2）都在函数 尸 一的图象上，且 xiv 0v x2，则（）A . y1 V y2B. y1 = y2C. y1 >y2D. y1 =- y2【答案】A .【解答】解：函数y ，该函数图象在第一、三象限、在每个象限内y随x的增大而减小

42、，A （xi, yi）、B （X2, y2）都在函数 尸呼旦的图象上，且 X1V 0 V X2,yiv y2,故选：A.C. m >2 -或 mv - 2 -D . -m v 2 -【答案】C【解答】解：反比例函数 y的图象上有两个不同的点关于y轴的对称点在反比例函数 y 的图XX象上，,_2 2解方程组得 X2- mx+ 2= 0,= x + my二二的图象与一次函数 y=- x+ m有两个不同的交点，方程x2 - mx+ 2 = 0有两个不同的实数根，= m2 - 8> 0, m>2说或 mv - 2,故选：C.3. ( 2019?无锡)如图，已知A为反比例函数 y- (

43、 xv 0)的图象上一点，过点A作AB丄y轴，垂足为B.若A . 2B . - 2C. 4D.- 4【答案】D【解答】解：/ AB丄y轴，1- OAB |k|,-|k|= 2,/ kv 0,k= 4. 故选：D.4. (2019?姑苏区校级二模)设点 A(xl,yl)和点B(x2,y2)是反比例函数y图象上的两点，当xivx2v 0时，yi>y2,则一次函数 y=- 2x+ k的图象不经过的象限是()A .第一象限B .第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C.【解答】解：当xiv x2v 0时，y1> y2,反比例函数y图象上，y随x的增大而减小,.图象在一、三象限，如图1,

44、k> 0, 一次函数y=- 2x+ k的图象经过二、四象限，且与y轴交于正半轴,一次函数y=- 2x+ k的图象经过一、二、四象限，如图 2,故选C.5. (2019?宿迁)如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A与原点0重合，顶点B落在x轴的正半轴上，对角线tACAC、BD交于点M，点D、M恰好都在反比例函数 y(x> 0)的图象上，贝UKEjDC. 2【答案】Afc【解答】解：设D (m, )，B (t, 0),m M点为菱形对角线的交点， BD 丄 AC, AM = CM , BM = DM ,m+t k M (,),m+t kb jii貝i畫 k把M (,)代入

45、y 得?k ,2h 2 2mt = 3m ,四边形ABCD为菱形， - OD = AB = t ,m2+( ) 2=( 3m) 2,解得 k= 2淼:m2 ,m M (2m ,瑕m),在 RtA ABM 中,tan / MAB_2m故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x、y实际意义x、y应0 ,其图象在第一象限；于是得到结论.【解答】解：根据题意 乂丫=矩形面积（定值）， y是x的反比例函数，（x> 0, y> 0）.故选：B.填空题（共6小题）7. (2019?南通)如图，过点C (3, 4)的直线y= 2x+ b交x轴于点A, / ABC = 90°, AB =

46、 CB,曲线y(x> 0)过点B,将点A沿y轴正方向平移a个单位长度恰好落在该曲线上，则a的值为【解答】解：作 CD丄x轴于D, BF丄x轴于F，过B作BE丄CD于E,过点C (3, 4)的直线y= 2x+ b交x轴于点A, 4 = 2X 3+ b，解得 b=- 2,直线为 y= 2x- 2,令y= 0，则求得x= 1,- A (1, 0),/ BF丄x车由于F，过B作BE丄CD于E, BE / x 轴，/ ABE =Z BAF ,/ ABC = 90°,/ ABE +Z EBC = 90°,/ BAF + Z ABF = 90°,/ EBC = Z ABF

47、 ,在厶EBC和厶FBA中= ABFjsec = asfa =LffC = AB EBC FBA (AAS), CE = AF , BE = BF ,K设 B ( m,),TJTjbjb4 m 1, m 3 -,/ 4 ( m - 3) = m - 1,解得 m= 4, k= 4,反比例函数的解析式为 y ,A把x= 1代入得y= 4,- a = 4 - 0= 4, a的值为4. （2019 ?镇江）已知点 A （- 2, yi ）、B （- 1, y2 ）都在反比例函数 尸一 g的图象上，贝U yiy2.（填“”或 “V”）【答案】v【解答】解：反比例函数 尸-吕的图象在二、四象限，而 A

48、（-2, y1）、B （- 1 , y2）都在第二象限，在第二象限内，y随x的增大而增大，- 2v- 1- y1v y2.故答案为：v9. （2019?无锡）某个函数具有性质：当x>0时，y随x的增大而增大，这个函数的表达式可以是y= x2（答案不唯一）（只要写出一个符合题意的答案即可）.【答案】丁一, y= x2 （答案不唯一）【解答】解：y = x2中开口向上，对称轴为 x= 0,当x> 0时y随着x的增大而增大, 故答案为：y= x2 （答案不唯一）.10. （2018?无锡）已知点A、B都在反比例函数y二-（x> 0）的图象上，其横坐标分别是m、n (m v n).过

49、点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别是C、D;过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别是 E、F ,AC与BF交于点P.当点P在线段DE上、且m （n - 2）= 3时，m的值等于 【答案】【解答】解：如图,66B (n, 一),则 P (m, ),nn点P在线段DE上，AD / CE , ADP CEP,AD，即，PCnmn2 2 m2=( n - m),而 n>m>0, m= n - m,艮卩 n= 2m,把 n = 2m 代入 m( n - 2)= 2 得 m( 2m - 2)= 3,整理得2m2 - 2m - 3 = 0，解得m1+V71-7,懈（舍去），L-k/7即m的值为

50、.2故答案为.11. （2018?南通）在平面直角坐标系xOy中，已知 A （2t, 0）, B （0,- 2t） , C （2t, 4t）三点，其中t>0,函数y的图象分别与线段 BC, AC交于点P, Q.若Sapab Sapqb = t，则t的值为【答案】4【解答】解：如图所示，TA (2t, 0), C (2t, 4t), AC 丄 x 轴，当 x=2t 时，y, Q (2t, -),T B (0, 2t), C ( 2t, 4t),易得直线BC的解析式为：y= 3x 2t,则 3x 2t ,"l(舍),1-3XI#: -P (t, t),/ SaFAB= SaBAC

51、SAPC, SaPQB = SBAC SaABQ SaPQC,T Sa FAB Sapqb= t,'( SaBAC SaAPC) ( SBAC SaABQ SaPQC)= t,SaABQ+ SaPQC Sa APCt, t= 4,故答案为：4.s50C0A（兀©CPb 4012. (2018?宿迁)如图，在平面直角坐标系中， 反比例函数 y (x>0)的图象与正比例函数 y= kx.y .xr设点A横坐标为a,则A( a，)/ A在正比例函数 y= kx图象上(k> 1)的图象分别交于点 A、B.若/ AOB = 45°,则厶AOB的面积是 2【答案】2

52、.【解答】解：如图，过 B作BD丄x轴于点D,过A作AC丄y轴于点C同理，设点B横坐标为b,则B ( b,)ab= 2当点A坐标为(a,)时，点ZB坐标为(，a)a OC = OD将厶AOC绕点O顺时针旋转 90°,得到 ODA '/ BD丄x轴 B、D、A '共线/ AOB = 45°,/ AOA '= 90°/ BOA '= 45°/ OA = OA ', OB= OB AOBA' OB' SaBOD= SaAOC= 2哀亍宁 1- SaAOB= 2故答案为：2三解答题(共7小题)13. ( 2019?常州)如图，在 ？OABC中，OA= 2-，/ AOC = 45°，点 C在y轴上，点 D是BC的中点,反比例函数y；( x> 0)的图象经过点 A、D .(1 )求k的值；