--几何条件代数化与代数运算几何化

1、几何条件代数化与代数运算几何化突破解析几何难点之两方法解析几何解题方向：找关系。（1）找k1,k2关系，设直线方程；（2）找x1,x2关系，找解 题方向；（3）找所设两变量关系（如找 k与m关系，找x1 *2与*遇2关系等），进行消元。方法：代数运算几何化。几何条件代数化：把题目中的几何条件转化为代数关系（一般是坐标关系）。所谓“代数运算几何化”是指：执行代数运算时，要结合几何条件。毕竟，解析几何研 究的是几何问题。常见文字表述是“点在曲线上”，通过代数运算可找到“两变量之间的关系”，达到“消元目标”。这是种“消元意识”。大多数同学解析几何题解不出，缺的就是这 种“运算能力和消元意识”。其它重

2、要意识：几何条件代数化；一般问题特殊化；最值问题多样化；去除思维模式化。 下面以春期周考数学理科解析几何题来说明。1、（第一次周考）22 x V21.设椭圆0: 27 1（a b 0）的右焦点为F,过点F的直线l与椭圆C相交于A, a buuur uuuB两点，直线l的倾斜角为60°, AF 2FB .（1）求椭圆C的离心率;（2）如果|AB|= 15 ,求椭圆0的方程.4分析：1、几何条件代数化:uur uuuAF 2FB本质特征：F , A, B且AF2 FB ；代数关系：V1 2y2或 c x1 2（ x2 c）.15|AB|= 一 代数关系：弦长公式。4解题方向：联立直线和椭

3、圆方程解题。）解：设 A（x1, y1）, B（x2, y2）,由题意知 y1V 0, y2 >0.(i)直线l的方程为y J3(x c),其中c Ja2 b2 .b2)y2 2 ,3b2cy 3b4 0y . 3( x c), x2v2得(3a2 12. 21a b3b2(c 2a)、，3b2(c 2a)上 u <.uuu斛得 y1 22, y2 22 因为 AF 2FB ,所以 y1 2y2.3a b3a b日口 -3b2(c 2a)“、3b2(c 2a),曰十、多即 212 ?2A-2-得离心率3a2 b23a2 b2（n）因为 AB| Ji 1|y2 y1 ,所以3* 15

4、 .由，2得b巴3 3a2 b24 a 33515-所以5a ,得a=3, b V5 ,椭圆 442、（第二次周考）2221.设 A（xi, yi）, Bdm）是椭圆多 , 1（aa b22C的方程为1.12分95r八一 右心日 1rx1 y1b 0)上的两点，已知向量m(，工工)b a30且椭圆的离心率 e ，短轴长为2, 2O为坐标原点。(1)若直线AB过椭圆的焦点F (0, c) (c为半焦距)，求直线AB的斜率k的值。(2)试问： AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由。ir ru . r 分析：1、几何条件代数化：平面向重条件 m n o 本质特征：m与n垂

5、直；代数关系：华华0.b2a2AOB的面积2、一般问题特殊化3、代数运算几何化代数关系：弦长公式和点到直线的距离公式。直线AB分斜率存在与不存在讨论。ir r利用m n 0找k,b关系，2b k4,把二元转化为一元。解题方向：联立直线和椭圆方程解题。八ca2 b2、3 丘口21. (1) Q 2b 2, b 1,e - ,解得 a= 2,a a 22所求椭圆的方程为工X214y kx . 3,知 c 察,设直线 AB的方程为y kx 73,与椭圆方程联立，得 Ji x2 1,消元，得（k2 4）x2 273kx 1 0Q AayJBdyz）则2 . 3k1x1 x22,x1x2 -k 4 k

6、4ir r由已知m n 0得XiX2k2V1V22-a六X1X2上)k 4(kxi- 3)(kx243k 2.3k(2 T)4 k 4_ k2、3)(i 7)XiX20,解得k(2)当直线 AB斜率不存在时，即XiX2, yi3kXy2,则联立,(Xi X2)ir r 得 m n0整理，得2X2 " 0,又点A (xi, yi)在椭圆上，故xj 42 yi4解得|Xi |,1 yi Ii .AOB 的面积 S -|Xi |yi2|yi|当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y=kX+b，联立,y2y4kXb,整理，得i,22_2(k 4)x 2kbX b 40,ir rm n即 XiX

7、2(kXi b)(kX2 b)将Xi0 得 XiX2、力42kb0,2kbX2,XiX2k2 4k2 4代入整理，得2b2 k2 4, AOB 的面积|b| AB | 21b |而!X2)2 4XiX2|b 卜,4k2 4b2 i6k2 4| b | . 8b2 4b22b2三角形的面积为定值2、(第三次周考)20.已知O为坐标原点，F为椭圆C :纥i在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为 近的直线l与C交与A、B两点，点P满足OA OB OP 0.(i)证明：点P在C上;设点P关于点O的对称点为Q ,证明:A、P、B、Q四点在同一圆上.分析：1、几何条件代数 化：oa OB OP 0uuir本质

8、特征：OPuuu uuu(OA OB);代数关系:X3(Xi X2)i,.A、P、B、Q四点在同一圆上 本质特征：找圆心，PQ与AB垂直平分线交于圆心，圆心到四点距离相等；代数关系：找斜率与直线上一点。 解题方向：联立直线和椭圆方程解题。20.(1)F(0,1),l 的方程为 y夜x21代入X231并化简得4x2 2&x 1 0.设 A(xi, yi), B(x2, y2), P(x3, ya)，则 x、,2；6：，x2,y1y22(不 x2)2 1,由题总得x3（x x2）,2T,y3(yi y2)1,所以点P的坐标为（,1）.2经验证点P的坐标（也，1）满足方程x2221，故点P在

9、椭圆C上21-）,AB的垂直平分线2l2的方程为|NP| AM |x1.由、得I、%的交点为、2 1N().8 82'2、2 /28)(1 23 111 J附88,1 (5)2加2 x1|3、. 23.2422 21 1 2|MN|( 48 )2 (2 8)23,3|NA|AM |2 | MN |23.11 ,，故 | NP| |NA|,又 | NP | | NQ|, |NA| |NB|,所 8|NA| |NP| |NB |NQ|,由P（ 2, 1）和题设知，Q （仔,1）, PQ的垂直平分线11的方程为,22yx .设AB的中点为M ,则M(匚24由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心

10、，NA为半径的圆上。4、（第四次周考）2220.设椭圆E： 匕 1(a,b 0)过M(2, J2), N ( J6 , 1)两点，O为坐标原点. a b（1）求椭圆E的方程;(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点 A, B,且OA OB ?若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由.uuu , uuiu 一分析：1、几何条件代数化：平面向量条件OA OB 本质特征：OA与OB垂直；代数关系：x1x2 y1y2 0 .2、圆的切线圆心到切线的距离等于半径，找k,m关系。|AB|的取值范围 代数关系：弦长公式和范围问题多样化。3、一般问题特

11、殊化分斜率存在与不存在讨论。 无斜率任何条件时，直线设成y kx m .4、代数运算几何化利用X1X2 yy 0找k,m关系，m2 8(1 k2)把二元转化为一3元。解题方向：联立直线和椭圆方程解题。4 a6 ab220.解：(1)将M , N的坐标代入椭圆 E的方程得22解得a2 8,b2 4. 所以椭圆E的方程为二L 1.84(2)证明：假设满足题意的圆存在，其方程为x2 y2 R2 ,其中0 R 2.设该圆的任意一条切线 AB和椭圆E交于A (x1，y1)，B (x2, y2)两点，当直线AB的斜率存在时，令直线 AB的方程为y kx m ,将其代入椭圆E的方程并整理得(2k2 1)x2

12、 4kmx 2m2 8 0.由韦达定理得2m22k24km2k2 1因为 OA OB,所以 x1x2 y1y20.将代入并整理得(1 k2 )x1x2 km(x1 x2) m20282联立得m2-(1 k2)因为直线AB和圆相切，因此 R-228 “ 一所以 存在圆x2y2-满足题意.32y2. 一一 228 2当切线AB的斜率不存在时，易得 Xi X2 -,由椭圆方程得yi 3显然oA oB ,22 8综上所述，存在圆 x2 y2 -满足题意.3解法一：当切线AB的斜率存在时，由得|AB| ,(Xi X2)2 (yi y2)2.1 k2 .(x1 x2)2.1 k2 ,(x1 x2)2 4x

13、1x2di k2J(4 km 22k2 i)2 m2 82k2 ik2 i2k2 ik 2 i，则 1 t i,因此 | AB |2 32t(i -t) 2k i 23643 2T(t /i2._32246所以一 |AB| i2,即 | AB | 2j3.33当切线AB的斜率不存在时，易得| AB |4.64,6所以一匚| AB | 2,3.综上所述，存在圆心在原点的圆 x2 y28 “-4 6满足题意，且| AB | 2V3.335、(第五次周考)2220.已知椭圆与与 i(a b 0)的离心率为 a b方 ,且椭圆上任意一点到右焦点F的距离2的最大值为 2 i .(i)求椭圆的方程；(2)

14、已知点C(m,0)是线段OF上异于OF的一个定点(O为坐标原点)，是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A,B两点，使得 AC BC，请说明理由。分析：i、几何条件代数化：AC| BC 本质特征：点C在线段AB的垂直平分线上；代数关系：找线段 AB的中点与中垂线的斜率.2、代数运算几何化利用点C(m,0)在x轴上，令y 0,下面就是个范围问题！点 C在线段OF上异于O,F或不在，由m的范围。范围问题多样化。解题方向：联立直线和椭圆方程解题。6、(第六次周考)20、如图，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点,BC过椭圆中心O,且AC BC(1)求椭圆的方程；(2

15、)如果椭圆上两点是否存在实数 使PQ分析：1、几何条件代数化: 的中点与中垂线的斜率.0, BCP、Q使AB ?AC请说明理由。PCQ的平分线垂直AO ,则BBC 0 本质特征：AC BC；代数关系：找线段 ABy k(x 1) 1x2 3y2 4 0点C (1, 1)在椭圆上，x=1是方程(*)的一个根，则其另一根为3k2 6k 1 a2一，设 P1 3k2/3k(xP,yP), Q(xQ,yQ),xP =6k 121 3k22n e 3k2 6k 1同理xq=2-1 3k2BC 2 AC , OC |AC 本质特征：VACO是等腰直角三角形；代数关系：由此知 点C的坐标，从而求方程；PCQ

16、的平分线垂直 AO本质特征：倾斜角互为相反数；代数关系：设一直线斜率为k ,另一个为 k；1、一，PQ AB 本质特征：PQ PAB ；代数关系：斜率相等。即证 kpQ kAB ,关键在3于求出P,Q点的坐标 解题方向：联立直线和椭圆方程解题。20解(1)以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系2则A (2, 0),设所求椭圆的方程为： 4=1(0<b<2),4 b2由椭圆的对称性知|OC|=|OB|,由aC bC =0得ACLBC、. |BC|=2AC|, .|OC|=|AC|,.AOC是等腰直角三角形，一. C的坐标为(1, 1), : C点在椭圆上/222-4

17、=1,；b2=!所求的椭圆方程为 3匕=154 b2344分(2)由于/ PCQ的平分线垂直 OA (即垂直于x轴)，不妨设直线 PC的斜率为k,则直 线QC的斜率为-k,直线PC的方程为：y=k(x-1)+1,直线QC的方程为y=-k(x-1)+1,得：(1+3卜2)/-64-1n+3*-6匕1=0 (*), yp VqkPQ=xPxQ3k2 6k 1 3k2 6k 1k(xp xQ) 2k k ( 1 3k21 3k2 ) 2kxPxQ而由对称性知23k2 6k 121 3k21kAB=323k2 6k 1I 21 3k210分kPQ=kAB,AB 与 PQ 共线，且 AB #0,即存在实

18、数 N 使 PQ = AB .7、(第七次周考)20.已知直线l与抛物线x2 4y相切于点P(2,1)且与x轴交于点A,O为坐标原点。定uuir uuir_.uuir点B(2,0),动点Q满足AB BQ 返AQ 0.Q的轨迹C有两个不同交点(1)求动点Q的轨迹C的方程;uuuu uuuM ,N ,就一定有OM ON分析：1、几何条件代数化:(2)是否存在圆心在原点的圆，只要该圆的切线与动点0?若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由。uuuu uuuOM ON 0 本质特征：OM与ON垂直；代数关系:x1x2 y1y20.圆的切线圆心到切线的距离等于半径，找k,m关系。282、2、代数运算

19、几何化利用xX2 V1V2 0找k,m关系，m -(1 k )把二兀转化为一兀。3解题方向：联立直线和椭圆方程解题。同第四次周考题。8、(第八次周考)x2 y2120.已知椭圆C：-2今 1(a b 0)的离心率为一，且椭圆上的点到焦点的最近距离为2,ab3若椭圆C与x轴交A, B两点，M是椭圆C上异于A, B的任意一点，直线 MA交直线l:x 9于G点，直线MB交直线l于H点。(1)求椭圆C的方程；(2)试探求以GH为直径的圆是否恒经过 x轴上的定点？若经过，求出定点的坐标；若 不经过，请说明理由。uuuu uuu分析：1、几何条件代数化：OM ON 0 本质特征：OM与ON垂直；代数关系:x1x2 y1y20.圆的切线圆心到切线的距离等于半径，找 k,m关系。282、.2、代数运算几何化利用X1X2 y