东华理工大学概率论与数理统计练习册答案

1、-1 -第一章概率论的基本概念、选择题1.答案：（B）2.答案：（B）解：AUB表示A与B至少有一个发生，Q-AB表示A与B不能同时发生，因此（AUB）（ Q-AB）表示A与B恰有一个发生.nnnn _nP(Z A)=1-P(E A)=1-P陌A)=1F P(A)=1-(1-P(A)i1ii AiAM9.答案：（C）注： 古典概型中事件A发生的概率为 P （AN（A）.10.答案：（A）解：用A来表示事件“此 r 个人中至少有某两个人生日相同”，考虑A的对立事件 A “此 r 个人的生日各不相同”利用上一题的结论可知11.答案：（C）12.答案：（B）解：“事件A与B同时发生时，事件C也随之发

2、生”，说明 ABUC,故 P(AB)苴 P(C);而 P(AuB) = P(A)+P(B) P(AB)苴 1,3.答案：（C）4.答案：（C）5.答案：（C）6.答案7.答案8.答案(D)(C)(D)注:C成立的条件:A与B互不相容.注:C成立的条件:A与B互不相容，即AB =4注:由C得出A+BG .注：选项B由丁P(A)=C365T!_r365365故P(A)=1-篇-2 -故 P(A) P(B) 一 1 壬 P( AB)壬 P(C).13.答案：（D）解：由 P（A|B）P（A B）=1可知-3 -P(AB) P(AB) P(AB) 1 -P(A B)P(B) P(B) 一 P(B) 1

3、 -P(B)P(AB)(1 -P(B) P(B)(1 -P(A) -P(B) P(AB).=- =1P(B)(1 -P(B)=P(AB)(1 -P(B) P(B)(1 -P(A) -P(B) - P(AB) = P(B)(1 - P(B)=P(AB) -P(AB)P(B) P(B) -P(A)P(B) -(P(B)2P(B)P(AB) = P(B)-(P(B)2-P(AB) = P(A)P(B)故A与B独立.14.答案：(A)解：由丁事件A,B是互不相容的，故 P(AB)=0,因此15.答案：(D)解：用A表示事件“密码最终能被译出”，由丁只要至少有一人能译出密码，则密码最终能被译出，因此事件

4、A包含的情况有“恰有一人译出密码”，“恰有两人译出密码”，“恰有三人译出密码”，“四人都译出密码”，情况比较 复杂，所以我们可以考虑A的对立事件 A “密码最终没能被译出”，事件 A 只包含一种情况，即“四人都没有译出密码”，故-111112P(A) =(1-匚)(1 -二)(1=)(1 二)-P(A) = .54363316.答案：(B)解：所求的概率为P(ABC) =1 -P(A_. B - C)=1 - P(A) - P(B) - P(C) P(AB) P(BC) P(AC) - P(ABC)11100416 16注：ABC AB= 0 P(ABC)三 P(AB) =0= P(ABC)=

5、0.17.答案：(A)P(A|B)=冬工二 0.P(B) P(B)-4 -解：用A表示事件“取到白球”，用Bi表示事件“取到第i箱” i =1.2.3,则由全概率公式知P(A) =P(BJP(A|Bi) P(B2)P(A|B2)P(B3)P(A| B3)18.答案：（C）解：用A表示事件“取到白球”，用B表示事件“取到第i类箱子” i= 1.2.3,则由全概率公式知P(A) =P(B1)P(A|BJ P(B2)P(A|B2)P(B3)P(A| B3)21 3 2 . 12一 65 6 3 65 一 1519.答案：(C)解：即求条件概率P(B21 A).由Bayes公式知P(B2)P(A|B2

6、)_P(B1)P(A|BI)P(B2)P(A|B2)P(B3)P(A|B3)、填空题1. (正，正，正),(正，正，反),(正，反,反),(反,反,反),(反,正，正)，(反，反，正)，(反，正，反)，(正，反，正) 2. ABC; ABCUABCUABCUABC或ABUBCUAC3. 0.3 , 0.5解：若A与B互斥，则P (A+B =P (A) +P (B) ,丁是P (B) =P (A+B -P (A) =0.7-0.4=0.3 ;若A与B独立，WJ P (AB =P (A) P (B) ,丁是由P (A+B =P (A) +P (B) -P (AB =P (A) +P (B) -P

7、(A) P (B)，得P(B) =P(A B)(A)=A 0.5.1 -P(A) 1- 0.44.0.7解：由题设P (AB) =P(A) P(B|A) =0.4,丁是11 . _二131535 36 3853120P(B2|A)=3 26 3775-5 -P (AUB =P (A) +P (B) -P (AB =0.5+0.6-0.4=0.7.5.0.3解：因为P (AUB =P (A) +P (B) -P (AB) ,乂P(AB)+P(AB) = P(A),所以P(AB) =P(A B) -P(B) =0.6-0.3 = 0.3.6.0.6解：由题设P (A) =0.7, P( AB )

8、=0.3，利用公式 AFA A P(AB)=P(A)-P(AB)=0.7-0.3=0.4，故P(AB) =1 -P(AB) =1 -0.4 = 0.6.7.7/12解：因为P (AB =0,所以P (AB。=0,丁是P(ABC) = P(A B C)=1-P(A B C) =1 _P(A) P(B) P(C) -P(AB) -P(BC) (AC) P(ABC). =1-3/4 2/6 =7/128.1/4解：因为 P(A B C)=P(A) P(B) P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC) P(ABC)由题设22P(A) =P(B) =P(C),P(AC) =P(A)P(C) =P2(A

9、),P(AB) =P(A)P(B) =P2(A),P(BC)=P(B)P(C)=P2(A),P(ABC)=。，因此有 土=卯(卯)，解得P(A) =3/4或P (A)=1/4，乂题设P (A) 1/2,故P (A) =1/4.9.1/6解：本题届抽签情况，每次抽到次品的概率相等，均为1/6,另外，用全概率公 式也可求解.10.1260解：这是一个古典概型问题，将七个字母任一种可能排列作为基本事件，则全 部事件数为7!,而有利的基本事件数为1X2X1X2X1X1X1=4 ,故所求的概率 为4=.7! 126011.3/7解：设事件A=(抽取的产品为工厂A生产的 ,B=抽取的产品为工厂B生产的,C

10、=抽取的是次品 , WJ P (A) =0.6 , P (B) =0.4 , P( C|A) =0.01 , P (C|B) =0.02 ,故有贝叶斯公式知-6 -12.6/11解：设A=甲射击 ,B=乙射击 ,C=目标被击中,则P (A) =P (B) =1/2 , P (C|A) =0.6 , P (C|B) =0.5,故 P(A|C)=旺 6 =PM = 0成P(C) P(A)P(C | A) P(B)P(C | B) 0.5 0.6 0.5 0.5 111.一1二、设A,B,C是二事件，且P(A)=P(B) =P(C) =I,P(AB)=P(BC)=0 , P(AC)=口.48求A,

11、B, C至少有一个发生的概率。解：P (A, B, C至少有一个发生)=P ( A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C) P(AP(BC -P(AC+ P(ABC= 0=_|111四、P(A)=1, P(B|A)=，P(A|B)=*,求P(AuB)。432I由乘法公式，得P(AB) =P(A)P(B|A)=12由加法公式，得P(A B) =P(A) P(B) - P(AB) = 4* -土=3五、已知男人中有5色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女 人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是 多少？解：A=男人, A=女人, B=色盲，显然AU A=

12、S, AIA2K由已知条件知P(A) =P(A2) P(B|A1) =5%, P(B| A2) =0.25%由贝叶斯公式，有P(A|C)=P(AC)P(C)P(A)P(C | A)0.6 0.013P(A)P(C | A) P(B)P(C | B) 一 0.6 0.01 0.4 0.02 一 7-7 -解：由P(A|B)UP(AB)P(B)P(A)P(B| A)=PB1 13 一；=讣Pg-8 -P(Ai)P(B|A)P(A)P(B|Ai) P(A2)P(B|A2)152 100=2015125- 212 100 2 10000六、设有甲、乙二袋，甲袋中装有n只白球m只红球，乙袋中装有N只白

13、球M只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到(即从乙袋中取到)白球的概率是多少？(此为第三版19题(1)记A , A分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋” 再记B表“再从乙袋中取得白球”。B=AB+AB且A , A2互斥P ( B)=P ( A1) P( B| A1)+ P ( A)P (B| A2)n N 1 m Nn m N M 1 n m N M 1第二章随机变量及其分布一、选择题1.答案:(B)注：对丁连续型随机变量X来说，它取任一指定实数值a的概率均为0,但事件(X=a未必是不可能事件.2.答案：(B)ke_，解：由丁X服从参数为 舄的泊松分布，故 PX =

14、 k=-,k=0,1,2.乂k!,1 .2 -PX =1 =PX =2,故一 =丸=2 ,因此1!2!PX 2=1-PX壬2=1 -PX =0 -PX =1 -PX =2.C0 -2 c-2 o2 -2 2 e 2 e 2 e 5=1一- -=1一P(AiB)P(B)-9 -0!1!2!e23.答案：（D）解：由丁X服从1,5上的均匀分布，故随机变量X的概率密度为f (x)=gX15.因此，若点 a,b 在1,5,则 Pa 主 X b =ba0,x 1,5r、r、 2,、，、 3P3 X 6 =P3 X 5 = , P0 X 4= P1 X 0，对 H 没有要求.5.答案：(A)解：由丁 XB

15、(2, p),故PX M1=1_PX 4 =1 _ PX =0=1_c0p0(1_p)2=1_(1_p)2=2p_p2,551.5.而 PX 芝 1=一 故 2p_p = np =或p =-(舍)；9933由丁 YB(3,p),故010132319PY -1 =1 -PY : 1 =1-PY =0 =1 -C；()0(1 -一)3=1 -(一)3333276.答案：(B)解：这里 g(x)=-2x+3 , g(x)处处可导且包有g(x) = -20,其反函数为x=h(y) = -匕3，直接套用教材64页的公式(5.2),得出Y的密度函数为 2-10 -, y -3f丫=fX-11)一 =一 f

16、X(22X1 一 y-32 八一亍.7.答案：(D)注：此题考查连续型随机变量的概率密度函数的性质8.答案：(C).见教材51页.1解：因为 X N(1,1)，所以 F(x-= j.2-.：2x(t 2e2dt ,-OO1_(x)2f(X)=.2厂X -1 0 -1P(X 三 0 =P- 一 一 =：，(-1) =1 -：，(1) E -0.8431 =0.1569,11PX _0 =1 -PX : 0 =1 - PX _0 =1 -：，(-1)(1) = 0.8431;X -1 1-1.PX W =P- - - ：0) =0.5,11PX _1 =1-PX ：1 =1 -PX V =1-：，

17、(0) =0.5;9.答案：(B)解：由丁 f(x) = f(-x)，所以X的概率密度函数为偶函数，其函数图形关丁y轴对称，因此随机变量X落在x轴两侧关丁原点对称的区间内的概率是相等的，1从而马上可以得出 F(0) =P(X壬 0)=.我们可以圆出函数 f (x)的图形，借助图 2形来选出答案B.也可以直接推导如下：F(-a)=f (x)dx，令u = -x,则有a二:aF(-a) - - ._f(-u)du = j f(u)du=j f (x)dx = f (x)dx -aa00一 1af(X)dX=；-.0f (x)dx.10.答案：(A)m一 1 一解：PX = f(x)dx44=fVx

18、dxi 24= x3|11=7.4811.答案:(B), 2 1 X1 21.解：PX|芝2=1-PX 2 = 1-P-2X2=1-P亏；0,PX=1 PX壬x =1 F(x)=1(1 ex)=ex;选项C描述的是服从指数分布的随机变量的“无记忆性”；对丁指数分布而言，要求参数 0.13.答案：(A)X解：选项A改为X一 N(0,1),才是正确的；, a-,b-JPX (a,b) =F(b)-F(a) =：，()-：，()；craP| X - M 性 k。 =P k。 X -k； =Pk； X 三 k：.二k。-X-J k- .=P- - *；(k) - ：(-k) =2：、(k) 1,(k

19、0)a14.答案：(B)解：由丁随机变量X服从(1,6)上的均匀分布，所以X的概率密度函数为1Y1.6f(x)=g气16.而万程x2+Xx+1=0有实根,当且仅当A=X24占 0nX云 2 或 X2 ,因此方程 x2+Xx+1=0有实根的概率为,、，、6-2p =PX -2 PX _ -2=0.8.6-1二、填空题1. X x.2.解：由规范性知1=上十【+2+上=竺=c = K.2c 4c 8c 16c 16c163.解：由规范性知1=3a(2)k=a2/3=2ana = 1.k丑31-2/324.解：因为 PX =x = PX、xPX x = F(x) F(x 0)，所以只有在F(X) 的

20、不连续点(x=-1,1,2 )上PX=x不为0,且P (X=-1) =F (-1 ) -F (-1-0 ) =a, PX=1=F (1)-F (1-0) =2/3-2a , PX=2=F (2) -F (2-0) =2a+b-2/3,由规范 性知1=a+2/3-2a+2a+b-2/3得a+b=1,乂1/2=PX=2=2a+b-2/3，故a=1/6 , b=5/6.-13 -101.55.解：由丁X U1,5，所以X的概率密度为f(x) = 4，一X一。,其它x21 .1 ,故 p(x1： X ；： x2) = f (x)dx dx(x2-1).-二2441乂1?26. f(x)=re2心，qx

21、* ； f (y) =-=e2, q C(0) = 1=p(Xc) = p(X 3c 3)=中(。3).2222c -3=0= c = 3230.5；2 0.角牟：Fy(y) =PY y =PX ，=y；dx =；占,(0 y 4)-2 -3X -3 7 -3r 新P ：X，：7： = P -:： :： :7.解：-9.0.5故fY(y) =FY(y)(0： ：y -4).-14 -10三、一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5,在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律解：X可以取值3, 4, 5,分布律为P(X =3) =P(一球为3号，两球为1,2号

22、)=1笔21C5P(X =4) =P(一球为4号，再在1,2,3中任取两球102、一1 C33)=ZT曲_ 21 C26P(X =5) =P(一球为5号，再在1,2,3,4中任取两球)=46C3-15 -也可列为下表X： 3 , 4 , 5P：邑 e10,10,100,x1,四、设随机变量X的分布函数为FX(x)=ln x,1 xe, 1, x二e.求(1) P (X2), P 0XW 3, P (2X52)；(2)求概率密度fx(x).解：(1) P(XV2)=FX(2)= ln2 , P (0 0。解不等式，得K2时，方程有实根。P(K _2) = 2 f(x)dx = ：dx5二30dx

23、 =35七、设随机变量X在(0, 1)上服从均匀分布(1)求Y=s的分布密度X的分布密度为：f(x)=0*为其他Y=g (X) =eX是单调增函数 乂X=h ( Y)= lnY ,反函数存在 且a = ming (0), g =min(1, e)=1P =maxg (0), g =maX1, e)= e,1fh(y) |h(y)| = 1 1 ：y ：eyy为其他Y的分布密度为:My)=七八、设X的概率密度为#.2x 0 xTTf(x)= 2、0 x为其他求Y=sin X的概率密度。FY( y)=P (YVy)= P (sin XV y)当y0时：FY(当0V y 1时：sin y XV兀)y

24、)=0FY( y) = P (sin Xv y)=P (0 XV arc siny或 兀一arcarcsin y c、，兀nfdx .0Tty)=12x .二dx当1y时：FY(- Y的概率密度小(y )为:-18 -y0时，小(y )= FY( y) =(0) = 0F0y1时，n ( y )= FY( y)=广nydx+ 等dxU /4Hrcsiny兀2)兀J3_y1y时，n ( y )= FY( y) = = 0第三章多维随机变量及其分布一、选择题1.答案：(A)解：要使F(x) =aF(x) -bF2(x)是某个随机变量的分布函数，该函数必须满足分布函数的性质，在这里利用 F(*)=1

25、这一性质可以得到aF13)-bF2(8)=a-b=1 ,只有选型A满足条件.2.答案：(A)解：由RX1X2=0=1可知RX1X2#0 = 1 PXX2=0 = 0,故PX1- -1,X2- -1 PX1- -1,X2=1 PX1=1,X2- -1 PX1=1，X2=1 =0=PX1=-1,X2=-1 = PX1=-1,X2=1 = PX1=1,X2=-1 = PX1=1,X2=1 =0乂由联合分布律与边缘分布律之间的关系可知：1,、,、,、,、PX1= 1 =PX = 1,X2= -1 PX1= 1,X2=0 PX1= 1,X2=141=PX1= -1,X2=0=43=P X1=1,X2=

26、0=4-19 -1_PX1=1 =PX1=1,X2=T PX1=1,X2=0 PX1=1,X2=14-20 -1=PX2=0 =PX1- -1,X2=0 PX1=0, X2=0 PX1=1,X2=02，、1，、 ，、= 52=0=厂咿1=林2=0-咿1滁2=0=。故PX1=X2 =PX1= _1,X2= -1 PX1=1,X2=1 PX1=0,X2=0 = 0.3.答案：（D）解：联合分布可以唯一确定边缘分布，但边缘分布不能唯一确定联合分布，但如果已知随机变量X与Y是相互独立的，则由X与Y的边缘分布可以唯一确 定X与Y的联合分布.4.答案：（A）解：由问题的实际意义可知，随机事件X =i与Y

27、= j相互独立，故1 11PX =i,Y = j = PX =iPY= j= i, j=1,2，6；C6C63666X =Y = X =k,Y =k= PX =Y = P Xk1k=1一_一 1PX =Y =1 -PX =Y =1 -6 6X W =X YuX =Y,而事件XY 乂可以分解为15个两两不相容的事件之和，即X :Y =X =k,Y =k 1 一. X =k,Y =k 2一. X =k,Y =6, k =1,2,3,4,5-1515 17故 PX :Y=:PX 三 Y = PX :Y 一 PX =Y=一 一 =一.3636 6 125.答案：（B）解：当（X,Y）顷（当，上*12,

28、。；*）时,X-NMg2） , YN（%,M），且X和Y相互独立的充要条件是P = 0 ;单由关丁S和关丁T的边缘分布，一般来说是不能确定随机变量S和T的联合分布的.、11= k,Y = k =;366-21 -6.答案：（C）解：（方法1）首先证明一个结论，若TN（P,。2），则S=-T N（-气。2）.证明过程如下（这里采用分布函数法来求s = T的概率密度函数，也可以直接套用教材64页的定理结论（5.2）式）：由丁Fs（s） =PS三 0=PT三 0=PT _一0 =1一PT： -=1一PT _一=1一FT（s）,M-J2（s.一J）21212故 fs（s） =fT（s）x（1）= fT

29、（s） =e2。=_?e2。，这表明T 也 .2 二。.2 二。服从正态分布，且S - -T N（-,。2）.所以这里-YN（-%信）.再利用结论：若X1与次2相互独立，且Xi N（料,Qj2）,i =1,2，则X1+X2 N（鸟+%2+顽.便可得出.,22,22X +Y N（料 +财1 +s） ； X -Y N（% -*1 +%）；X -2丫=（X-丫）-丫N（七-2%,。，4。；）；2X-丫= X （X -Y） N（2七一242。；）.（方法2）我们还可以证明：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且若Xi N（号*：）,i =1,2，n ,则nnnY = L kiXi

30、N（ 峪七,寸 ki2二i2）i 4i di故X +Y N（料+%,M +M） ; X -Y N（+ %,。； +房）；X -2Y N（气-22,24。；）; 2X -Y N（2七-烦很；。；）.7.答案：（A）解：由丁 X N （ 3,1,） YN（2,1）,所以 Z1=3 =（X t3） N （0,1） 1Z2=2=（Y-2） : N（0,1）,故Z3=-2Z2=-2（Y-2） ： N（0,（ -2）2区1） = N（0,4）,1而Z =Z1+Z3,所以 Z N（0,5）.8.答案：（D）解：由联合概率密度函数的规范性知-22 -nJEJE:4741I i f (x, y)dxdy = C

31、 dx sin(x y)dy =C cosx-cos(x)dx二0004= Csinx sin(x j)。：4= .2 1= C = .2 19.答案：(A)解：PX Y_1= f(x,y)dxdyx y 1 12,1215342165= dx (xxy)dy= (x xx)dx = o 1顼3 o6327210.答案：(B)解：由联合概率密度函数的规范性知- -、,、A zA1= f(x,y)dxdy = A dx e* dy = e d(-2x) e d(-3y) = - A = 6.二00600612.答案：(C)解：用D表示以(0,0),(0,2),(2,1)为顶点所形成的三角形区域，

32、用G表示矩形域0壬 x 2,0 2).i d1一n1 ,一n1因此(X1X2Xn) N()nidniX1X2 N(-,二2。2) =N(0,2。2).令Z=2X+3，由教材64页定理结论中的(5.2 )式可知，Z的概率密度函0 x220216DG2一22s2) =N(P,);nn-23 -z_(2 .1 3)2112一=e2(2成，故2X18ZN3V+ a222(2。)二、填空题1.F (b,c ) -F(a,c);F(a,b);F(+* ,a)-F(+ * ,0);F(+ * ,b)-F(a,b).2.二 =1/6.4.0 .5.解：P(X=YO =P (X=-1, Y=-1 ) + P (

33、X=1, Y=1) = P (X=-1) P (Y=-1) + P (X=1) P (Y=1)=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2;P (X+Y=0 = P (X=-1, Y=1 ) + P (X=1, Y=-1 ) = P (X=-1) (Y=1) + P (X=1) P (Y=-1)=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2;P (XY=1 =P(X=-1, Y=-1 ) + P (X=1, Y=1) = P (X=-1) P (Y=-1) + P (X=1) P (Y=1)=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2.k(6 x - y), 0 x

34、 2, 2 y 4三、设随机变量(X,Y)概率密度为f(x, y)=、0,其它(1)确定常数k。(2)求P X1, Y3(3)求P (X1.5(4)求P (X+件4分析：利用P( X, Y) G=Jjf(x, y)dxdy =日f(x, y)dxdy再化为累次积分,0 x2其中Do=x, y)卜2 y 4解：(1) . 1 = Jf (x, y)dxdy =k(6-x -y)dydx , k=0 28(2)P(X 1, Y 3) =dxj3【(6 x y)dy=30288(* 一，1-22数为fZ(z)-r e / 2二。3.解：SD1*=ln|赤=2,故f (x, y)=1/2,(x,y)

35、D0,(x,y) r D-24 -(3)P(X $.5) =P(X 1.5,Y180=P X1180, X2180, X3180, X1801e-2fY（y） =】2，,y且知X, Y相互独立,丁是（X, Y的联合密度为f(x,y) = fx(x)fY(y) = 2e之 0：X”，y 0(2)由丁 a 有实跟根，从而判别式 A=4X2-4Y润即：Y 壬 X2记D =( x, y) | 0 x 1,0 y 1804=(1 pX1804= (0.1587)4=0.00063第四章 随机变量的数字特征一、选择题1.答案：(D)解：由于D(X) =E(X2)E(X)2,所以E(X2)= D(X)+E(

36、X)2=3+1 = 4 ,故_2_2_ -一2-E3(X )20 = E3(X )E(20)=王(X ) 20=3 4 20= 322.答案：(D)解：E(XY)= i二i二xyf(x,y)dxdy = xyey)dxdy= xe顼dx2=1.“0003.答案：(D)解：Cov(X,Y) =E(XY) E(X)E(Y),故 Cov(X,Y)=0u E(XY) = EX EY ;D(X +Y) =DX +DY +2Cov(X,Y)，故 Cov(X,Y)=0u D(X +Y) = DX +DY ;D(X -Y) =DX +DY -2Cov(X,Y),故 Cov(X,Y)=0u D(X -Y) =

37、DX + DY ;Cov(X,Y)=0u PXY=0,但不能说明X与Y独立.4.答案：(C)解：由丁X,Y独立，所以2X与3Y也独立，故D( 2X3Y=) D ( X )D = Y3 )D. XD Y5.答案：(C)解：当X,Y独立时，D(X -3Y) =D(X)+D(3Y) = D(X)+9D(Y);E X -E(X )Y -E(Y) =EXY -XE(Y) -YE(X) E(X)E(Y) = E(XY) - E(X )E(Y), 而当X,Y独立时，E(XY) = E(X)E(Y),故 E X EX Y EY = 0 ;PY =aX b =1= |汶|=1.6.答案：(C)解：Cov(X,Y

38、) =E(XY)-E(X)E(Y),当X,Y独立时，可以得到 Cov(X,Y) = 0-28 -而Cov(X,Y)=OuPXY=0,即X,Y不相关，但不能得出X,Y独立；D(X +Y) =DX +DY +2Cov(X,Y)，故 Cov(X,Y)=0u D(X +Y) = DX +DY ;D(X Y) =DX 十 DY 2Cov(X,Y),故 Cov(X,Y)=0u D(X Y) = DX + DY.7.答案：(D)解：E(X EX)(YEY)=On Cov(X,Y)=On为丫=0 ,即X,Y不相关.8.答案：(A)解：D(X +Y)=DX +DY + 2CovX Y XDX +DYn Cov

39、X Y 3 =0 PXY=, 即X,Y不相关.9.答案：(C)解：E(XY)=EX EY成立的前提条件是X,Y相互独立；当X,Y相互独立时，有 D(X -Y) = DX +DY，即 D(X-Y)=DX +DY成立 的充分条件是X,Y相互独立；而D(X-丫)=DX DY -2Cov(X,Y) = DX DY = Cov(X,Y) = 0=汶=0即X,Y不相关，所以 D(X -Y)=DX +DY 成立的充要条件是X,Y不相关；Cov(X,aX +b) =Cov(X,aX)+Cov(X,b) =aCov(X,X) =aD(X);D(X 1) =D(X) D(1) 2Cov(X,1) =D(X).10

40、.答案：(D)1解：由 D(X +Y) =DX +DY +2Cov(X,Y)n Cov(X ,Y) = * D(X +Y) DX DY;D(2X -3Y) =D(2X) D(3Y) -2Cov(2X,3Y) = 4D(X) 9D(Y) -12Cov(X,Y).11.答案：(B)解：由D(X) =E(X2) E(X)2n E(X2) = DX +E(X)2;D(2X +3) = D(2X) + D(3) +2Cov(2X,3) =4D(X);-29 -E(3Y b) =E(3Y) E(b) =3E(Y) b ;-30 -E(X)是一个确定的常数，所以 D(E(X)=0.12.答案：(D)解：E(

41、X -c)2 = E(X2-2cX c2) = E(X2) -2cE(X) c2= E(X2)-E(X)2E(X)2-2cE(X) c2)= E(X2) -E(X)2E(X) -c2= D(X) E(X) -c2_ D(X)=c213.答案：(B).11 :1 n(n 1) (n 1)用牛： E(X)=2 k_ = _Z k=-=- ,kan nkin 22EX) k21=1： k2Qn(n1居 n n z n 6故 D(X) =E(X2) 一E(X)2如如1)(2n1)-( (n2-1).621214.答案：(C)=E(2X 1)=E(2X) E(1)=2E(X) 1 =21.15.答案：(

42、B)/,2c、2.解：由丁当 X : Ua, b时，D(X)=尹，故这里。(乂)= (，=；,16.答案：(A)解：由 丁Xi N(0,1),i =1,2，所以E(X)=E(X2)=0 , D(X)= D(X2)=1乂因为Y=X+X2,所以E(Y) = E(X)+ E(X2)=0,D(Y) =D(X)D(X2) 2Cov(X,X2) =2 2E(XX2) - E(X)E(X2) =2 2E(XX2),而X1与X2的独立性未知，所以E(X1X2)的值无法计算，故 D(Y)的值未知.17.答案：(C)(n 1)(2n 1)6解:xx1E(X) = xf(x)dx= xe10dx = - xde10

43、一二o10ox.:二x=-xe无|。 ： -10 ed(0=10-31 -解：由丁(X,Y)服从区域 D =( x,y)|0 x,y Ma)上的均匀分布，所以(X,Y)的概-32 -1(、.D率密度为f(x,y) = a2，(，y),则0, (x,y)Da xa y_,1E |X -Y|= |x-y|f(x, y)dxdy= dx (x-y)dy dy (y-x)dxD1a x2 dx (x-y)dya0018.答案：(D)则有 EX*=0 , DX*=1 , 但不一定有X* =X=EXN ( 0., v DX19.答案：(A)解：由题意知 PX 八=2xdx = ，故Y服从参数为3和1/4的

44、二项分布，20411 3 9即 Y：b(3,一),因此 D(Y) = npq =3 x =.44 4 1620.答案：(D)解：E( X Y=L J_x y(f , x ) y ,d北y当X与Y独立时，才有E(XY) = j三fxyfx(x)fy(y)dxdy.二、填空题,-1 Ac1.解：由题设,=D(X) =2，故 p X=1 =2 e/ = 2e .2.解：假设P ( X=-1 ) =a , P ( X=0) =b , P ( X=1 ) =c,则a+b+c=1,-a+0+c=E(X) =0.1,a+c=E(X2) =0.9,故a=0.4,b=0.1,c=0.5,即X的 概率分布是P (

45、X=-1) =0.4 , P (X=0) =0.1 , P (X=1)=0.5.00c a 2c 32 x , 2 a a 二一 dx =二一=一 a202 a26 3解：令X W-33 -1-2)221区3.f(x) ：e2，EX =二，DX =C2；f(y)： e2,EY=0,DY=1.、.2二二-24.解：由题设E(X2) =D(X)+E(X)2=4+虾=5=卜=1 ,故 X的概率密度函1忍数为f(x) =0=、0, x 8088-36 -验证：X和Y不相关，但X和Y不是相互独立的P X=1 Y=1= 1 PX=1=皂88P X=1 Y=1丰PX=1 P Y=1X, Y不是独立的乂E (

46、 X )= 1X 3+0X+1X -=0888E ( Y )= 1X里+0X -+1X -=0888COVX, Y )= E( X E ( X ) Y- E ( Y )= E ( XY ) - EX EY =(-1)( - 1)1+( - 1)1 x 1+1X ( - 1) X 1+1X 1X1=0 X, Y是不相关的七、设随机变量(XI, X2)具有概率密度。、1，、八-f (x,y) =；(x+y), 0 x 2,8E (XI) ,E(X) , COV( XI, X ,p X1X2D(X/X2)2217E(X2) = dx x &(x y)dy=杰00862217E(X2) =0d

47、x0y8(Xy)dy TgCOV(XX2) =E(X1)(X2-普)2277、1 ,、，1=n dxi(T)(TP；(x y)dy -0066 836D(X1)=E(X；)E(X1)2=J：dxJ：x28(x+y)dy-.仁)=芸D(X2) =E(X22) -E(X2)2= 2dx2y2【(x y)dy - -=业2200863610188111888求解P Y=1=8证：.0-37 -1:_COV(XX2)一浇一11YY ,: :DXiDX2111136D ( Xi+XO= D ( Xi)+ D ( X2)+2COVXi, X)11 H 2(一【)=3636 36，9第五章 大数定理及中心极

48、限定理、选择题1. (A) 2. (C) 3. (C)解：设X:炮弹命中的数量，则X - B(400,0.2),由中心极限定理由似- N ( 0,1)因此0. 84.(C)注：EX =H,DX=。4不意味 X服从正态分布，不要只看符号形式5.(B)解：因为Xj(i =1,2，)服从参数为2的指数分布，故有11EXi=-，DXi,(i =1,2,)24nn二.Xj-n2二.Xj-n令Yn= - =,由独立同分布的中心极限定理有G1524x1,冬x =： e2dt = * xX -400 0., 4 0 00. 2-P 60 KX 100 =P60 -80 “ X -80.8 一 810080-8

49、)2，2.5 -1n2 Xi-nlim Pni 30.95，问n至少为多少？P| X解：由中心极限定理知，当n很大时nXi- n恍=nX=卬N (0,1)V n o-2寸n b2叶： ：12:：J一1_0.951.在随机的抽取16只丁1920小时的概率解：设第i(X )=1002(l=1,2,16P( Xi1920)i 4只寿命为X ,16).依本章定理 16z Xi-1600=P-Vi6 X100=勺；(0.8)目互独立的，求i(K i = X3M-X)28.9.E(3 =数学期望E(X);nidD()：D(4)l?=X ,3、(XiX)2.-46 -解E(X) =： E(Xi)=nE(X)

50、=E(X)10.卜；解E(X) =1 E(Xi) =n =h nin口1解u2=EC (Xf Xi)2=2C(n1)。2,所以 C= -12. 14.754 , 15.146;解这是方差已知，均值的区间估计，所以有:由题得：X =1(14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1) =14.95 6a =0.05 Z0.025=1.96 n =6代入即得：14.95-0.061.96,14.95-0.061.9666所以为：14.754,15.14613. 0.15 , 0.31;解由7： Q12_ 22(S)S一2，a2_ 22_21二211.12(n -1)置信区间为：X -、

51、.nZ：2,X.nZ，2-47 -所以。的置信区间为：i(n；1)s2,!(nf1)S2 ,.2(11)2_.(11)将 n=12 , S =0.2 代入得0.15 , 0.31.三、设X, X1, , Xn是来自参数为入的泊松分布总体的一个样本，试求 入的极 大似然估计量及矩估计量。解：(1)矩估计X 兀(入)，E ( X )=入，故？ =X为矩估计量。n.n(2)极大似然估计L(入)=口P(Xj；入)=-eJ,jXx2! xn!lnL(入)= Xiln入-lnXj!-n入i注i注ndlnL= in=0,解得？ = X为极大似然估计量。d入入Xi，-.(其中p(Xi;入)=PX =Xi =e

52、 ,Xi=0,1,)Xi!四、设总体X具有分布律X | 123-2 2 9 (1 - (1 - 9 )Pk9 20)其中9 (0 0, X3,X4是来自均值为 0 的指数分布总体的样本，其中 0 未 知，设有估计量11T1=1(X1 X2) 4(X3X4)63T2=(X12X23X34X4).5TJX1X2X3X4“(1)指出，T2,T3哪几个是 9 的无偏估计量；(2)在上述 9 的无偏估计中指出哪一个较为有效。解：(1)由丁X服从均值为 9 的指数分布，所以2E (X)= 9 , D (X )= 9 , i=1,2,3,4由数学期望的性质2 , 3有11E()= 土E(XJ +E(X2)

53、+：E(X3) +E(X4)=。63_1 _E(T2) =1E(X)2E(X2) 3E(X3) 4E(X4)=2。5_1 -E(T3)=E(X1) E(X2) E(X3) E(X4)=。4即T，T2是 9 的无偏估计量(2)由方差的性质2 , 3并注意到X, *, X3, X4独立，知1152D(L)=法Dg) D(X2) D(X3) D(X4) = e2369Io_1 _12D(T2-1D(X1) D(X2) D(X3) D(X4) Je2164D ( T1) D ( T2)-49 -所以T2较为有效。六、设某种活漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.0 5.7 5.86.5 7.0

54、 6.3 5.6 6.1 5.0。设干燥时间总体服从正态分布N （ , 2）,求的置信度为0.95的置信区问。（1）若由以往经验知b =0.6（小时）（2）若 b为未知。解：（1）的置信度为0.95的置信区间为（又士卓z Q ,n2计算得X =6.0,查表z0 025=1.96, b =0.6，即为（6.0华乂1.96） =（5.608,6.392）.9（2）的置信度为0.95的置信区间为（X土科ta（n-1），计算得X=6.0,.n2查表t0.025(8)=2.3060.S2=1，(x -X)2=1X2.64 =0.33.故为(6.0土四您8i483第八章假设检验一、选择题1.B 2.B 3

55、.C 4.B 5.B 6.C 7.B 8.D二、填空题1.1002. 1.176三、某批矿砂的5个样品中的锐含量，经测定为（ 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24。设测定值总体服从正态分布，问在a = 0.01下能否接受假设：这批矿 砂的含锐量的均值为3.25.解：设测定值总体XN（诉,2）,从，b2均未知步骤：（1）提出假设检验H。：=3.25; H 1： L 3.25（2）选取检验统计量为匕5.25心_1)5 H。的拒绝域为| t |t% (n -1).2.3060) = (5.558,6.442)-50 -(4)n=5, a = 0.01，由计算知X =3.252, S =1

56、/- 0, (Xi-X)2=0.01304 nTi=1-51 -3.252 -3.25 0.01304 5(5)故在a = 0.01下，接受假设H)四、要求一种元件使用寿命不得低丁1000小时，今从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为950小时，已知这种元件寿命服从标准差为b =100小时的正态分布。试在显著水平a = 0.05下确定这批元件是否合格？设总体均值为即需检验假设H): 1000, Hi： 1000; H: 1000; ( b =100已知)查表10.005(4)=4.6041,|t|=.5 2(Z(2)H)的拒绝域为 x-1000 ;一i n(3)n=25, a =

57、 0.05 ,又=950,计算知jg1000=/.5z.05=1.645.云(4)故在a = 0.05下，拒绝H),即认为这批元件不合格。五、某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005(欧姆)。今在生产的一批导 线中取样品9根，测得s=0.007(欧姆)，设总体为正态分布。问在水平a = 0.05能否认为这批导线的标准差显著地偏大？解：(2)(3)(1)提出H): b 0.005H.的拒绝域为(饵/之芝U(n1) 0.0052人n=9, a = 0.05 , S=0.007,由计算知(n -1)S28 0.0072_2 ,、.0.00528乂0.0072=15.68f(n 1)0.0052

58、a查表x2.05(8)=15.507(4)故在a = 0.05下，拒绝H),认为这批导线的标准差显著地偏大。-52 -东华理工大学20102011学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷(A1)、填空题：(本大题共7小题，每小题3分，共21分)-53 -，、1，、，、 一 ，、- 3(2)1(3) 5(4)2X+2(5)X -1132(9.9902 , 10.0098 )P 0.50.3N(1,5)02二、选择题：(本大题共7小题，每小题2分，14分)D, A, D, B,B, A,B三、一座20层的高楼的底层电梯上了10位乘客，乘客从第3层起开始离开电 梯，每一名乘客在各层离开电梯是等可能的，求没有两位乘客在同一层离开的 概