[整理]07第七章力法

1、第七章力法? ?本章的问题：A. 什么是超静定结构？如何判断超静定结构的次数？B. 用力法解超静定结构的思路是什么？C. 什么是力法的基本体系、基本结构和基本未知量？D. 基本体系与原结构有何异同？E. 超静定结构的特点是什么？为什么超静定结构的内力状态与EI有关？F. 如何建立力法典型方程？其物理意义是什么？其主系数、副系数？自由项如何求解？G. 如何灵活运用图乘法来求解各系数？H. 如何化简力法方程的计算？I. 什么叫对称性结构？为什么利用对称性可以使计算得到简化？J. 试比较在荷载作用下用力法计算刚架、排架、桁架和组合结构的异同？通过前六章的学习，已经掌握了如何从几何组成分析结构的几何性

2、质，分清了静定结构和超静定结构。且利用平衡条件分析了静定结构受力，还掌握了静定结构位移计算的原理和方法。上述内容虽有其本身的工程意义，但更多的是为解决大量工程中的超静定结构计算奠定基础。超静定结构从受力上看，需求反力或内力的未知量总数多于能建立的独立平衡方程数。因此仅仅利用平衡方程不能全部解决反力或内力的计算，必须建立补充方程。在材料力学推导应力公式时，已经介绍了综合“平衡、变形和材料力学行为分析”解决超静定问题的一般 方法。下面主要介绍以力和位移作为基本未知量解超静定结构的力法和位移法，同时还将介绍与求解相关的方法、技巧和超静定结构的特性。§ 7-1求解超静定结构的一般方法静定结构

3、是没有多余约束，因此仅利用平衡条件就可以求出全部反力和内力。超静定结构由于存在多余约束，待求未知量总数多于可建立的独立平衡方程数，Fp2 :一 Fpi ai FRyl p <1F piFP2 - F Pi ai - n FRy 1 C j!SpiFp2F P1 FP2 - FRyFRyF P1 Fp2nFRynF Ry（a）因此仅满足平衡条件的解答如图（b）（ c）7-1所示，可以有无穷多种（因为n可取任意值）图7-1超静定结构仅满足平衡条件的解答不唯一示意从材料力学可知，截面应力有无限个，仅从它应该平衡外荷载来说是超静定的。为了解决应力计算，采取从实验观察入手，根据宏观现象作出关于变形

4、的假设(例如平截面假设)，在此基础上求得变形，然后利用应力应变关系得到应力变化规律，最终利用平衡条件导出应力计算公式。也即综合如下三方面：变形分析一一使变形协调；本构关系分析一一使符合材料性能;平衡分析一一使满足平衡要求”就可以解决“超静定计算”问题。这一分析思路对变形体力学是普遍适用的，自然超静定结构的求解也必须遵循。仅用平衡条件，超静定问题解答不是唯一的。但是，同时满足变形协调、本构关系(也即应力应变关系)和平衡条件的解答只有一个，也即超静定计算的结果也是唯一的 。遵循“变形、本构、平衡”分析思想可有不同的出发点：一种做法是：以力作为基本未知量，在自动满足平衡条件的基础上进行分析，这时主要

5、应解决变形协调问题，这种分析方法称为力法(force method )。另一种做法是：以位移作为基本未知量，在自动满足变形协调条件的基础上来分析，当然这时主要需解决平衡问题，这种分析方法称为位移法(displacement method )。如果一个问题中 既有力的未知量，也有位移的未知量，力的部分考虑协调，位移的部分 考虑平衡，这样的解决方案称为混合法(mixture method )。在本章中将主要介绍力法，下一章介绍位移法。§ 7-2力法1、力法思路节力法的解题基本思想就是设法将未知的超静定问题转换成已知的静定问题来解决。这里核心是 转换(transform )。为更容易理解，

6、先用一具体例子来说明以力作基本未知量的“转换”思想。图7-2a是一超静定刚架，从组成分析可知，它有两个多余约束。适当解除多余约束(例如解除B点的支座)可使超静定结构变成静定结构，这个静定结构以后称为基本结构(fun dame ntalstructure),由于拆除约束的任意性，例如还可在AC和CD杆的任何位置加两个简单铰，解F-r-r V基本结构基本体系,基本2Fp7-2力法求解思路(a)结构、荷载,每Fbx风FbX2Tp .(b) FBx引起的变形(C) FBy引起的变形(d)荷载引起的变形除限制截面相对转动的约束来得到，显然一个超静定结构的基本结构可有无限多种可能。但是，不同的基本结构的求

7、解工作量会有所不同。基本结构只做了几何上的转换，它当然和原结构是不同的。为了使转换在受力上也将是一样的，除在基本结构上应该作用原有荷载外，还必须将原有约束力的作用也考虑上。但是，现在这些约束力是未知的，它应该是优先求解的量，因此称为基本未知量 (fun dame ntalunknown variation )基本未知量即为超静定结构的多余约束的个数。受有外荷载和基本未知量的基本结构称为基本体系(fun dame ntal system)。显然，基本体系在荷载和基本未知力共同作用下的位移，可以由叠加原理用静定结构的位移计算方法得到，当然这里基本未知力的大小Xi、X2是(因为是广义未知力，因此Fb

8、x记作X1，FBy记作X2)待定的。图4-2b、c、d绘出了单一因素作用下的变形情况和沿未知力 方向的位移，因此由图示位移叠加可得L1 =.勺1" -1P.，：2 = 叨 ° ，：22 ，° =2 P( a)式中.牯、厶21和X1有关，是X1引起的，.,2、厶22和X2有关，是X2引起的。对线弹性结构， 其间关系是线性的，因此=；.ijXj，也即可由单位未知力Xj =1引起的位移系数 J放大Xj倍来计算。显然，在不同未知力 X1、X2下，位移爲和厶2是不同的。这时和原超静定结构相 比，虽然基本体系也是平衡的，但支座B处的位移在不同未知力X1、X2下可能和超静定结构

9、不协调。为了消除基本体系和原超静定结构的差别，必须令式(a)位移和原结构协调。这样，有多少个未知力就可以建立多少个协调条件，也就能够求出这些未知力。因此，这些协调条件被称为 力法方程 (equation of force method )。对任意线弹性结构，根据变形协调条件一一基本体系所产生的未知力方向位移等于原超静定结构同方向位移，所列出的是线性代数方程组为：冷=1jXj，iP =為 (i =1,2/ ,n)(7-1)j式中、：ij为位移系数，它的物理意义是： 基本结构在单位力 Xj =1作用下，在Xi =1作用处 沿Xi方向所产生的位移；話为基本结构所受外因引起的 Xi方向的位移，称为 广

10、义荷载位 移(gen eralized load displaceme nt); §为原超静定结构 Xi方向的 广义已知位移。式(7-1) 称为力法典型方程。典型方程也可写作矩阵方程形式：和，式中为柔度矩阵，其元素j为位移系数（也称为 柔度系数）ii称为主系数（primary coefficient ）, ij （ - j）称为副系数（vice coefficient ）。根据位移计算公式可知，力在自己方向所产生的位移恒大于零，因此主系数一定恒正。.帛为广义荷载位移矩阵、二为已知位移矩阵、X为未知力矩阵，其元素分别由 广义荷载位移、广义已知位移和基本未知力组成。针对上题求解线性代数方

11、程组（7-1）得： i =0 2 =0即可得到基本未知量（本题为XI、X2 ） 多余约束力，在它和荷载共同作用下，基本体系就既平衡又协调了。根据解答唯一性，它们就是超静定结构真实解答。由于已经消除基本体系和原超静定结构的差别，而基本体系是已掌握的静定结构，所以原超静定结构的其他计算内容（如内力和位移计算等），就可以通过基本体系用计算静定结构的方法来解决。这就是力法将超静定结构转换成静定结构进行分析的思路。2、超静定次数的确定基本未知力的个数又称为超静定次数，显然确定超静定次数是力法计算的第一项工作。从力法思路可见超静定次数=多余约束数=变成基本结构所解除的约束数=基本体系上露的约束力数。不管怎

12、麽理解，本质上这是组成分析问题，一超静定桁架，从铰结体系的可变性分析可知是有一个多余约束的几何不变体系；从计算自由度分析 W =-1且几何不变。可知此桁架的超静定次数为1。一超静定刚架，拆除右边固定端支座变成静定结构，相当解除三个约束；将右边固定支座用约束反力代替，暴露出三个未知力。因此，超静定次数为3。结论：一个无铰闭合框为 3次超静定。3、力法的解题步骤力法求解解超静定结构的具体步骤为：1） 确定超静定次数和基本结构及其基本体系显然，随着超静定次数的确定，基本结构、基本未知力、基本体系等自然可以确定下来。需要指出的是，一个超静定结构可以用不同的基本结构分析，不同基本结构计算工作量将不同，要

13、选取工作量较少的基本结构。2） 作基本结构在单位未知力和荷载（如果有）作用下的内力图为了求基本结构在未知力、外因作用下的位移（则-：ijXj、），由静定结构位移计算可知，必须要有单位内力图和荷载内力图。 （1）对桁架结构，内力是轴力。 （2）对受弯结构，剪力 和轴力对变形的影响可以忽略，因此内力是弯矩。（3）对于组合结构，桁架杆是轴力、弯曲杆是弯矩。（4）对于拱，一般是弯矩和轴力。3） 求基本结构在各单位未知力作用下所引起的沿某单位未知力方向的位移：.j对线性结构“由单位内力图计算。当可用图乘法时，m由i图自乘、t由i图和j图互乘计算。注意：图乘法的应用条件。4） 求外因作用（外荷载、温度改变

14、、支座移动等）引起基本结构沿单位力方向的位移.-：ip 这可由第i单位内力（反力）根据各种外因引起的位移计算公式来求。5） 建立力法方程并求解求得“j、汗后，即可建立力法典型方程7.ijXjUP=.） 或 .X 详=厶（7-1）j注意：在等式右边的值可能为零（在外荷载、温度改变下），可能不为零（有支座移动时）。用求解n元一次方程n个即可获得基本未知力。 当然，未知力个数超过三个时，手算是很繁的，需要用计算机来求解。6） 作超静定结构内力图根据叠加原理，在求得未知力后，由单位内力乘以对应未知力后和荷载（有的话）内力叠加，即可得到超静定结构内力，依此可作内力图。受弯结构和静定结构一样按弯矩、剪力、

15、轴力的顺序来计算。也可将已求得的Xi （或X ）与荷载（有的话）加到基本结构上，然后按静定结构的方法计算全结构内力。7） 求超静定结构位移虽然基本结构有无穷种，但解答是唯一的，这一解答可看作是从任一基本结构求得。所以，有了内力，从任一基本体系出发，可以按静定结构受（多种）外因作用求位移的方法，求超静定结构外因下的位移。8） 校核分析结果 由于单位内力、荷载内力都是平衡的，因此即使未知力计算有错，叠加结果仍必然自动满足平衡条件。所以，力法的校核主要是检查变形条件 ，也即计算位移看是否满足协调条件。好的结构工程师，不仅应能分析，还必须熟练掌握 结果的校核方法。具体的校核方法，通过例题来说明。结论：

16、力法是计算超静定结构最基本、最普遍性的方法。上述力法求解步骤适用于一切结构、一切外因作用。三点说明：解除轴向约束所谓解除轴向约束是指右图所示拆除轴向链杆。也可用拆除一根桁架杆的静定结构作为基本结构，这时计算门1不考虑已拆除的杆,而力法方程为：“两结点间的相对位移等于所拆除杆的拉（压）变形” 。荷载作用下，超静定桁架的内力与杆件的绝对刚度EA无关，只与各杆刚度比值有关。例题7-1试求图7-3a所示桁架由图示支座位移所产生的内力。解：1.此桁架超静定次数为2,取图7-3b为基本结构，基本体系如图7-3c。2.单位内力图如图7-3d。3.由位移计算可得114(1.2)aEA（自乘）：222(1、2)

17、aEA（自乘）4. 2(112 :EA力法典型方程为（互乘）图7-3例7-1结构及求解过程门1X 1-12 X 2 0' '21 X 一 门22X 2 二 C代入系数并求解，可得EAX1c ；2(12)aX2 =2X15.由FN1X1 - Fn2XFn叠加可得图7-3e所示各杆内力。说明：支座位移将引起超静定结构内力，这一内力和杆件的绝对刚度EA有关。（2）超静定梁例题7-2试求作图7-4a所示单跨梁的弯矩图。解：1.此梁超静定次数为1，取图7-4b和c为基本结构和基本体系。图7-4结构及求解过程33.由m1图自乘可得十曙音中2142 224Ei(V-)C£1 I I

18、3I I_ ，一 M ，- M mi 2由M1图和Mp图互乘可得 厶1P =-丄(1虫)EIaEI8EI a4.由力法典型方程 冷1X1 冷P =0可得X1罕豊，当。=1时X1I ：£ 亠 73M。2l5.由M1X1Mp =M叠加可得图7-4f所示单跨梁的弯矩图。说明：荷载作用情况下，超静定梁内力也只与杆件相对刚度:有关，与绝对刚度无关。例题7-3试求作图7-5a所示单跨梁的弯矩图。解：1.此梁超静定次数为3，取图7-5b为基本结构，基本体系如图2.荷载弯矩图如图7-5d，单位弯矩图如图7-5e。3.由单位内力图（图7-57-5c。e）的自乘和互乘可得如下位 移系数：删葫对测少1品廁

19、嚅z2主售幻护燮静瓚却邓'徉、.ii =l. EA ； 、.12 二、13 =0 ；图7-5例7-3结构及求解22 日3 12EI ；、.23 =0 ；33 =I.EI由位移互等定理可知.：.j = ji，因此、：21 = ：31 = '；324.由Mi （i =1,2,3）图和Mp图互乘可得-':3P.3=ql -24EI5.由力法典型方程q 、可Xj Xp =0,j(i =1,2,3)可得X1 * =0 ；X3ql224EI6.由M3X3MP =M可得图7-5f所示的弯矩图。两点说明：对称结构受对称荷载作用将只产生对称的内力（变形），反对称内力（变形）等于零。不难推

20、测，对称结构受反对称荷载作用将只产生反对称的内力（变形），对称内力（变形）等于零。在垂直杆轴的竖向荷载作用下，超静定单跨梁的轴力恒为零， 故轴向未知力可不作 为独立的基本未知量。材料线胀系例题7-4试求作图7-6a所示定向支座单跨梁由图示温度引起的弯矩图。2. 单位弯矩图如图 7-6d。l3. 由Mi图自乘可得"1二百。从图 可见to =0， it =2t，由温度引起的位移 计算可得S）豳細强晏緒龙2 : tlh4.由力法典型方程J毋一科怕、傩才刿电i图7-6例7-4结构及求解过程,iXi 冷=0 得X-響由此可得图7-6e所示弯矩图。几点说明：温度改变将引起超静定结构内力，这一内力

21、也和杆件的 绝对刚度EI有关。温度低的一侧受拉，此结论适用于温度引起的其他支承 情况超静定单跨梁。图7-7单位力状态若为求本例梁中点的挠度，可取图7-7所示的单位力状态。必须注意，计算时除了要考虑弯矩引起的位移外,还必须考虑基本结构的温度位移,因此要用多因素的位解：1.此梁不计轴向未知力后，超静定次数为1,取图7-6b为基本结构，基本体系如图 7-6c°弋 吃 ”斛和地期胡拈*龙护样由龙稱旳裁也释涉枸*! , 彳辖如肆刪琲a男和闕图7-7例7-5结构及求解过程移公式。具体计算如下:11ll 2EI：t : 2t 1 l l| « « I I I I 0EI 2 2

22、 2 hh 2 2 2对于超静定结构支座位移引起的位移计算，也一样要用多因素的位移公式例题7-5试作图7-7a所示两端固定单跨梁由支座位移引起 的弯矩图。解：1.此梁超静定次数为3, 取图7-7b为基本结构，基本体 系如图7-7c。2. 单位内力图如图 7-7 do3. 由单位内力图（图7-7d）的自乘和互乘可得如下位移系数：-11 =I： EA ；12 =13 =0 ；22 =I. 3EI = 33 ；23 - T. 6EI ；由位移互等定理可知：韦=、：ji，因此、=人31 =0。4. 由位移协调，可建立如下力法典型方程Zu Xi = 0 ；22X2 丄心23X3 = 0 ；32X2 亠

23、33X3 - 'T1代入位移系数并求解，可得5.由M2X2 M3X3可得图7-7e所示的弯矩图。说明：单跨超静定梁非轴向支座位移计算时，超静定次数可减少一次，轴力为零。（3）超静定刚架例题7-6试求作图7-8a所示刚架的弯矩图。解：1.此刚架超静定次数为 2，取图7-8b为基本结构，基本体系如图 7-8c。2.图7-6例7-8结构及求解过程hi荷载弯矩图如图7-8d，单位弯矩图如图7-8e。3.4.5.列力法典型方程、代入系数为并求解,可得“11X i : 12 X ：ip 0'-'21 X " 1 ：'22 X' 2P 0X1 = -贾 Fp

24、2212X2 Fp226. 由 M1X1 - M2X2 二M 可得图7-8f所示的弯矩图。说明：为校核结果的正确性， 可将单位弯矩图和最终弯矩图互乘,看是否满足位移协调条件。也可求解结构某一已知位移，看是否满足位移协调条件。为此建立图示静定结构（视作基本结构）单位广义力状态，做出所示弯矩图。将它和图7-8f互乘，看是否为零。具体计算如下:EM - - 17 FpI l 1FpI2 22322l 1 -1 12 FpI l 1 FpI I 1丄FpI l 二=02 2 22 22 2 22此结果表明图7-8f弯矩图是正确的。例题7-7试求作图7-9a所示刚架因温度改变引起的弯矩图。解：1.刚架超

25、静定次数为 2，取图7-9b为基本结构，基本体系如图 7-9c。2. 单位弯矩图仍为图7-9e，单位轴力图如图 7-9 d。3. 由单位弯矩图（图7-9 e）的自乘和互乘可得如下位移系数：-11 =51 3EA ；1 '22 =41 . 3EI ；'、伐=丨；El =、：214. 因为it =0，所以由Fzi（i =1,2）图用温度位移计算公式可得“t = I It 2 ; “t -0。5. 列力法方程、代入系数为并求解，可得611X1 +&2X2 +1t =0 ； X1 = Elt/111 $221X1 .22X2=0 X2 =9：Elt 111 26. 由M1X1M

26、2X2 =M可得图7-9e所示的弯矩图。四点说明：图7-9例7-7结构及求解过程再次强调，求超静定结构位移时，可取任意 一个静定基本结构建立单位广义力状态。再次强调，求超静定结构位移时， 既要考虑弯矩产生的位移，也要考虑静定结构温度产生的位移，因此必须用多因素位移计算公式。为校核X2方向的位移，由单位内力图，用多因素位移计算公式具体计算如下：1 1231t l t l l l2 22222当既有轴线温度to，又有温差-=t时,t应包含两部分引起的位移。（4）超静定拱超静定拱的计算实际上和刚架相似，其最主要的区别为：1）拱肋为曲杆，求力法方程系数时图乘法不再适用。2）根据拱的受力特点，位移系数计

27、算时往往要考虑轴力的影响。3）当拱肋截面高度与曲率半径的比值较大时，如上一章讨论中所指出的，位移计算要考虑曲率的影响。根据具体问题，只要注意了上述和刚架的不同点，应该说求解超静定拱不会有困难。下面以例题加以说明。例题7-8试求图7-10a所示等截面对称两铰拱的跨中截面弯矩2. 单位力作用下反力和内力如图7-10d。3. 荷载下与基本体系对应的代梁受力如图7-10e，由此可得：推力(水平反力)Fhp =：芈斗2a(2l 一a)_|22 2弯矩 Mp 二聖(2l _a)x -坐Fhp f(x) (x ») M p 二蹙(I x) - Fhp f (x) (x_a) 2I22I4. 对于两

28、铰拱，一般在计算位移系数时考虑轴力和弯矩的影响，在计算荷载位移系数时只考虑弯矩影响。因此，根据位移计算公式可得、1式中(CosEAds亠叫)Elds ；Mpf(x)f1EIdsaMpf(x)f1EIds(a)ds = J +(型)2 dx = J + f ¥ dx2(x)dx5. 由力法典型方程可得=1PX1 二Mc 二-上。§11当已知拱轴线方程f(x)的情况下，由式(a)积分即 可求得超静定两铰拱的基本 未知力。有了基本未知力，利 用内力叠加公式即可求作内 力图。在竖向荷载下若是只需 求指定截面内力，可利用三铰貿疵曲袖盘靖第i心細肖伸 翳林心拱的内力公式进行计算。四点说

29、明：本例因为要求跨中弯矩,所以将它作为基本未知力。般解两铰拱时以水平推力作例7-8结构及求解基本未知力。对小曲率的扁平拱，可近似取ds = dx， cos =1使计算得以简化。对于带拉杆的两铰拱，以拉杆轴力作为基本未知量，这时、1111。式中冷1为无拉杆两铰EA拱的位移系数，EA为拉杆的抗拉刚度。由有、无拉杆两铰拱的水平推力对比不难发现，设计拉杆拱时，为减小拱肋的弯矩，应该尽可能使拉杆刚度大一些。实际工程中的拱结构（屋盖、桥梁和隧洞衬砌等）往往是变截面的，位移系数的计 算一般要用数值积分（例如上章介绍的梯形公式或辛普生公式） 来计算，显然手算 的工作量是很大的。（5）超静定组合结构和静定组合结

30、构一样，求解的关键是：在求位移时区分梁式（弯曲）杆和桁架（二力）杆。对梁式杆可只考虑弯矩图乘求& ,对桁架杆按5" =Z FNiFNjlk计算，总的位移系数为kEAk两者之和。下面按此思路以例题说明求解过程。例题7-9试求图7-11a所示超静定组合结构各桁架杆的内力。7-11C。解：1.此组合结构超静定次数为1,取图7-11b为基本结构，基本体系如图2.基本结构在单位力作用下的内力如图7-11d、在荷载作用下的弯矩图如图7-11e。3.由单位内力可求得、11 =4（1孕2归8|.i，由单位弯矩图和荷载弯矩图图乘可得2qa _ 2a 2 qa EI、1 /2石(qa1十-6ip

31、 a232”2 2a 2 qa2a a qa a38238241 qa2a57qaaa :2 2324EI4.由力法典型方程可求得57qa 1；3(j . 2)EI 641 K1K _3(1、2)EI2EAa5.有了基本未知力，由单位内力图中各杆轴力放大Xi，即可得组合结构桁架杆内力。如果要作梁式杆的弯矩图，由MiXi M p即可获得。析可知，当桁架杆非常刚硬、22EAa2说明：由式（a）中K的分梁式杆比较柔软时，K t 0，梁耳拿直翊闽(a)图 7-11 例 7-9结构及求解K很大的弯矩接近于三跨连续梁情况。反之，当桁架杆拉压刚度较小、梁式杆非常刚硬时,Xi 0,梁的弯矩接近于简支梁情况。&

32、#167; 7-3力法计算的简化力法典型方程是线性联立方程组，其位移系数是由主系数、副系数、自由项组成的。其 物理意义：主系数 打恒大于零，而副系数 ;.ij和自由项厶ip是代数量，可正、可负、可零。如果能设法使得尽可能多的副系数和自由项等于零，不仅可以减少系数的计算，而且还可减少解方程的工作量。这就是本节讨论的内容。1、无弯矩状态的判别对一些只受结点荷载的刚架结构，在不计轴向变形的情况下，有可能是无弯矩的。如果能够方便地判断出来，显然将可减少许多求解的计算工作量。我们通过图7-12所示例子来说明。需要再次强调指出的是：无弯矩状态判别的前提条件是：不计轴向变形，只受结点荷载作用。在图7-12示例基础上，下面给出无弯矩状态的判别方法：将刚架的刚结点都变成铰，所得铰结体系如果几何不变，此刚架在结点荷载下一定是无弯矩的。如图 7-12a。将刚架的刚结点都变成铰，所得铰结体系如果几何可变，则附加必要链杆使体系达到几 何不变。在结构所