第10讲鸡兔同笼问题教师版

1、第十讲鸡兔同笼问题削Ml屈教学目标1.熟悉鸡兔同笼的“砍足法和“假设法2.利用鸡兔同笼的方法解决一些实际问题，需要把多个对象进行恰当组合以转化成两个对象且也甘知识点拨知识点说明：一、鸡兔同笼这个问题，是我国古代著名趣题之一.大约在1500年前，孙子算经?中就记载了这个有趣的问题.书中是这样表达的：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有假设干只 鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚.求笼中各有几只鸡和兔？你会解答这个问题吗？你想知道孙子算经?中是如何解答这个问题的吗？二、解鸡兔同笼的根本步骤解答思路是这样的：假设砍去每只鸡、 每只兔

2、一半的脚， 那么每只鸡就变成了 “独脚鸡， 每只兔就变成了 “双 脚兔 .这样，鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；果笼子里有一只如兔子，贝U脚的总数就比头的总数多1.因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即47 35 12只.显然，鸡的只数就是35 12 23只了.这一思路新颖而奇特，其“砍足法也令古今中外数学家赞叹不已.除此之外，“鸡兔同笼问题的经典思路“假设法.假设法顺口溜：鸡兔同笼很微妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比拟， 做差除二兔找到.解鸡兔同笼问题的根本关系式是：如果假设全是兔，那么那么有：鸡数=每只兔子脚数X鸡兔总数-实际脚数+

3、 每只兔子脚数-每只鸡的脚数兔数=鸡兔总数-鸡数如果假设全是鸡，那么就有：兔数=实际脚数-每只鸡脚数X鸡兔总数+ 每只兔子脚数 -每只鸡的脚数鸡数=鸡兔总数-兔数当头数一样时，脚的关系：兔子是鸡的2倍 当脚数一样时，头的关系：鸡是兔子的2倍在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程，行程，方程等专题中也都会接触到假设法板块一、两个对象的“鸡兔同笼【例1】 鸡兔同笼，头共46 ,足共128,鸡兔各几只？【解析】 假设46只都是兔，一共应有4 46 184只脚，这和的128只脚相比多了184 128 56只脚，这是 因为我们把鸡当成了兔子，如果把1只鸡当成1只兔，

4、就要比实际多 4 4 2 2 2 2 只脚，那么56只脚是我们把56 2 28只鸡当成了兔子，所以鸡的只数就是28,兔的只数是46 28 18只.当然，这里我们也可以假设46只全是鸡！鼓励学生从两个方面假设解题，更深一步理解假设法.【稳固】 点点家养了一些鸡和兔子，同时养在一个笼子里，点点数了数，它们共有35个头，94只脚.问：点点家养的鸡和兔各有多少只？【解析】 方法一：我们假设，每只鸡都是“金鸡独立，一只脚站着；而每只兔子都是两条后腿，像人一样用两只脚站着.现在，地面上出现的脚是总数的一半，也就是94 2 47 只.在47这个数中，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次，因此从47减去

5、总头数35 ,剩下的就是兔子头数，47 35 12只，所以有 1212 只兔子，有35 12 23只鸡.方法二：假设35只都是兔子，那么就有35 4 140只脚，比94只脚多了140 94 46只.每只鸡 比兔子少 4 42 2 2 2只脚，那么共有鸡46 2 23只方法三：还可以假设35只都是鸡，那么共有脚2 35 70只，比94只脚少了94 70 24只脚，每 只鸡比兔子少 4 4 2 2 2 2只脚，那么共有兔子 2424 2 2 1212只.方法一可以归结为：总脚数2 2 总头数 兔子数.能够这样算，主要是利用了兔和鸡的脚数分别为 4 4 和2 2 , ,而且 4 4 是 2 2 的

6、2 2 倍.方法二说明假设的35只兔子中有23只不是兔子，而是鸡.由此可以列出公式：鸡数兔脚数总头数总脚数兔脚数鸡脚数方法三说明假设的35只鸡中有 1212 只是兔.由此可以列出公式：兔数总脚数鸡脚数总头数兔脚数鸡脚数【稳固】 鸡兔共有45只，关在同一个笼子中.每只鸡有两条腿，每只兔子有四条腿，笼中共有100条腿.试计算，笼中有鸡多少只？兔子多少只？【解析】 假设法：假设假设所有的45只动物都是兔子，那么一共应该有4 45 180 条腿，比实际多算180 100 80条腿.而每将一只鸡算做一只兔子会多算两条腿，所以有80 2 40 只鸡被当作了兔子，所以共有40只鸡，有45 40 5 只兔子.

7、注意：假设为兔子时，按照“多算的腿数计算出的是鸡的数目；假设为鸡时，按照“少算的腿数计算出的是兔子的数目.同学们可以自己来做一下当假设为鸡时的算法.“金鸡独立法砍足法：假设所有的动物都只用一半的腿站立，这样就出现了鸡都变成了 “金鸡独立，而兔子们都只用两条腿站立的“奇观 .这样就有一个好处：鸡的腿数和头数一样多了； 而每只兔子的腿数那么会比头数多1.因 此，在腿的数目都变成原来的一半的时候，腿数比头数多多少，就有多少只兔子.原来有100只腿，让兔子都抬起两只腿，鸡抬起一只腿，那么此时笼中有100 2 50 条腿，比头数多50 45 5,所以 有5只兔子，另外40只是鸡.【稳固】 在一个停车场上

8、，现有车辆 4141 辆，其中汽车有 4 4 个轮子，摩托车有3个轮子，这些车共有127个轮子， 那么三轮摩托车有多少辆？【分析】 假设都是三轮摩托车，应有3 41 123个轮子，少了127 123 4个轮子.每把一辆汽车假设为三 轮摩托车，会减少4 3 1个轮子.汽车有 4 4 1 1 4 4辆；从而求出三轮摩托车有41 4 37 辆.或 者假设都是汽车，应有4 41 164个轮子，多了164 127 37个轮子； 所以摩托车有37 4 3 37 辆.【稳固】 体育老师买了运动服上衣和裤子共2121 件，共用了439元，其中上衣每件 2424 元、裤子每件19元，问老师买上衣和裤子各多少件？

9、【解析】 假设买的都是上衣，那么裤子的件数为：24 21 439 24 19 13件，上衣：21 13 8件.【稳固】 三1班有象棋、飞行棋共 1414 副，恰好可供全班40名同学同时进行活动.象棋要 2 2 人下一副，飞行棋 要 4 4 人下一副，那么飞行棋和跳棋各有几副？【解析】 假设只有飞行棋，那么一共有14 4 56名同学参与活动，多出56 40 16名同学，多一副象 棋，就会少4 4 2 2 2 2 名同学，可知一共有16 2 8副象棋，14 8 6副飞行棋.【稳固】 王老师带了 4141 名同学去北海公园划船，共租了10条船.每条大船坐6人，每条小船坐 4 4 人，问大船、 小船各

10、租几条？【解析】 我们分步来考虑：1假设租的10条船都是大船，那么船上应该坐6 10 60人.2假设后的总人数比实际人数多了60 41 1 18 人，多的原因是把小船坐的 4 4 人都假设成坐6人3一条小船当成大船多出 2 2 人，多出的18人是把18 2 9条小船当成大船.所以有9条小船，1条大船.列式为：6 10 41 1 6 4 18 2 9 条10 9 1条【例2】中国古代僧粥问题一百个和尚刚好喝一百碗粥，一个大和尚喝三碗粥，三个小和尚喝一碗粥，那么大和尚有多少个，小和尚有多少个？【解析】 我们把大碗换小碗，换小碗盛粥！把一大碗粥分成三小碗粥，那么原题变为一百个和尚喝三百碗粥，一个大和

11、尚喝九碗粥，一个小和尚喝一碗粥.然后仍然用假设法：假设都是小和尚，只能喝1 100 100碗粥，有一个大和尚被当成小和尚会少9 1 8碗粥，一共少了300 100 200碗粥.所以大和尚有200 8 25个；小和尚有100 25 75个.【稳固】100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍.问：大、小和尚各有多少人？【解析】 此题由中国古算名题“百僧分馍问题演变而得.如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解.假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300 140 160个.现在以小和尚去换大和尚， 每换一个总人数不变，

12、而馍就要减少3 1 2个，因为160 2 80，故小和尚有80人，大和尚有100 80 20人.【例3】小学数学奥林匹克初赛试题 孙阿姨有贰元人民币和伍元人民币共62张，合计226元，孙阿姨这两种人民币各有多少张？【解析】 假设这62张人民币全是贰元的，共计2 62 124元，比实际的钱数少了226 124 102元.这是因为伍元的全部假设成贰元的，一张就少了5 2 3元，那么可知伍元的共有102 3 34张，贰元的有：62 34 28张【稳固】小华用二元五角钱买了面值二角和一角的邮票共17张，问两种邮票各买多少张？【解析】 二元五角=250分；1角=10分；2 2 角=20分.假设都是10分

13、邮票：10 17 170分，比实际少了 ：250 170 80分，每张邮票相差钱数：20 10 10分 ，有二角邮票：80 10 8张，有一角邮票张：17 8 9张.【稳固】 有1元和5元的人民币共17张，合计49元，两种面值的人民币各有多少张？【解析】该题求两种面值的人民币各有多少张，总张数17张，但两种不同面值的人民币张数相差多少难以确定，怎么办？再分析题意，又知两种面值的人民币的总钱数，及各自的票面值，但两种人民币相差的解法：5 X 17-49 + 5-1=9张17-9=8张验算：1X 9+5 X 8=49元也可以假设17张人民币全是1元的，便可有另一解法.解法：49-1 X 17 +

14、5-1-8张17-8=9张【稳固】 小同有一个储蓄筒，存放的都是硬币，其中2分币比5分币多22个；按钱数算，5分币却比2分币多4角；另夕卜，还有36个1分币.小同共存了多少钱？【解析】 假设去掉22个2分币，那么按钱数算，5分币比2分币多8角4分，一个5分币比一个2分币多3分， 所以5分币有84 5 2 28个，2分币有28 22 50个，5 28 2 50 1 36 140 100 36 276分.【稳固】 买一些4分和8分的邮票，共花6元8角.8分的邮票比4分的邮票多40张，那么两种邮票 各买了多少张【解析】 解一：如果拿出40张8分的邮票，余下的邮票中8分与4分的张数就一样多.680-8

15、 X 40 + 8+4=30张,这就知道，余下的邮票中,8分和4分的各有30张.因此8分邮票有40+30=70张.解二：譬如，假设有20张4分，根据条件8分比4分多40张，那么应有60张8分.以分作为计 算单位，此时邮票总值是4 X 20+8 X 60=560.比680少，因此还要增加邮票.为了保持差是40，每增加1张4分，就要增加1张8分，每种要增加的张数是680-4 X 20-8 X 60 + 4+8=10张.因此4分有20+10=30张，8分有60+10=70张.【稳固】 四年级的同学们去春游，按团体购票120张，共432元，其中单程票每张2元，往返票4元，那么单程票和往返票相差多少张？

16、【解析】假设全部买的是往返票，那么共需4 120 480元，比实际多花了48元，这48元是因为把每张单 程票假设成往返票多出的，每张单程票看成往返票那么增加2元，可知48元中有几个2元就有几张单程票，即单程票有24张，相差72张.【稳固】 李明和张亮轮流打一份稿件，李明每天打15页，张亮每天打10页，他们一共打了25天，平均每天打 1212页，问李明、张亮各打了多少大？【解析】 从总数入手，由题意可知他们一共打了25 12 300页.假设25天都是李明打的，那么打的页数是：15 25 375页，比实际打的多375 300 75 页，而李明每天比张亮多打：15 10 5 页，所以张亮打的夭数是：

17、75 5 15天，李明打的大数是：25 15 10天【例4】 动物园里养了一些梅花鹿和鸵鸟，共有脚208只，鸵鸟比梅花鹿多20只，梅花鹿和鸵鸟各有多少只？钱数也难以确定， 这又怎么办 ？我们可用“假设法X17=85 元， 比实际的49元多出85-49=36 元 ,多的原因是把l元的人民币假设为5元的人民币思考.假设17张人民币全是5元的，总钱数那么为5了，用数量关系式表示为：根据这一数量关系式，可先求1元人民币的张数.比实际窖的钱【解析】假设梅花鹿和鸵鸟的只数相同，那么从总脚数中减去鸵鸟多的20只的脚数得：208 20 2 168 只.这168只脚是梅花鹿的脚数和鸵鸟的脚数注意此时梅花鹿和鸵鸟

18、的只数相同脚数的和，一只梅花鹿和一只鸵鸟的脚数和是：2 4 6 只，所以梅花鹿的只数是：168 6 28 只，从而鸵鸟的只数是：28 20 48 只此题也可给学生讲成“捆绑法，一鸡一兔一组，这个怎么分组时有倍数关系得到的【稳固】 一个养殖园内，鸡比兔多36只，共有脚792只，鸡兔各几只？【解析】 鸡比兔多36只，如果把多的36只鸡拿走，剩下的鸡兔只数就相等了，拿走的36只鸡有2 36 72只脚，可知现在剩下792 72 720只脚，一只鸡与一只兔有6只脚，那么兔有720 6 120只， 鸡有12036 156只.【稳固】 鸡兔同笼，鸡、兔共有107只，兔的脚数比鸡的脚数多56只，问鸡、兔各多少

19、只？【解析】 这道例题和前面的例题有所不同，前面的题是头数之和和脚数之和求各有几只，而这道题是头数之和和脚数之差，这样就比前面的例题增加了一点难度.我们用两种方法来解这道题.方法一考虑如果补上鸡脚少的56只的话，那么就要增加56 2 28只鸡.这样一来，鸡、兔共有107 28 135只，这时鸡脚、兔脚一样多.一只鸡的脚数是一只兔的一半，而现在鸡脚、兔脚相同，可知鸡的只数是兔的2 2 倍，根据和倍问题有：兔有：135 2 1 45只 鸡有：135 45 28 62只或者107 45 62只方法二不妨假设107只都是兔，没有鸡，那么就有兔脚：107 4 428只，而鸡的脚数为零.这样兔脚比鸡脚多4

20、28只，而实际上只多56只，这说明假设的兔脚比鸡脚多的数比实际上多：428 56 372只.现在以鸡换兔，每换一只，兔脚减少4 4 只，鸡脚增加 2 2 只，即兔脚与鸡脚的总数差就会减少4 2 6只.鸡的只数：372 6 62只 兔的只数：107 62 45只【稳固】 鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只.问：鸡、兔各多少只？【解析】 假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零.这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200 20 180 只.现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4

21、2 6只，而180 6 30 ,因此有兔子30只，鸡100 30 70只.【稳固】 鸡、兔共60只，鸡脚比兔脚多60只.问：鸡、兔各多少只？【解析】 假设60只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚120只，而兔的脚数为零.这样鸡脚比兔脚多120只，而实际上只多60只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多120 60 60 只.现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少 2 2 只，兔脚增加 4 4 只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4 2 6只，而60 6 10 ,因此有兔子10只，鸡60 10 50只.【稳固】 现有大小油桶50个，每个大桶可装油4千克，每个小桶可装油2千克，大桶比小桶共多装油20千克， 问

22、大小桶各多少个？【解析】 分析与解答一：假设50个油桶都是大桶，那么共装油4 50 200千克，而这小桶所装油那么为0.这样大桶比小桶多装200千克，比条件所给的差数多了200 80 180千克，假设在50个大桶中把一局部大桶换成小桶，那么每拿一个大桶换成小桶，大桶装的油就减少4千克，而小桶共装的油就增加2千克，那么大桶比小桶多装的数量就减少4 2 6千克，那么该把多少个大桶换成小桶才符合题意呢？解：4 50 20 4 2180 6 30个小桶50 30 20个大桶分析与解答二：这道题也可以用另外一种假设；每个大桶比每个小桶多装2千克，如果大小桶同样多，大桶要比小桶共多装20千克，那么应该大小

23、桶各20 4 2 10个，现在共有50个桶，在剩下的50 10 2 30个桶中，大小桶应装同样多的油，而每个大桶装的油是每个小桶装的4 2 2倍，那么在这30个桶中，应该有30 1 2 10个大桶，30 10 20个小桶；所以可求出50个桶中，有大 小桶各多少个.解:20 (42) 10(个)(50 102 1 2 10个大桶10 1020 个大桶共有50 2030个小桶共有【稳固】 一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆.每辆大卡车比每辆小卡车多装4 4 吨,那么这批钢材有多少吨？【解析】 要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨.利用假设法，假设只用36

24、辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4 4 吨，所以要剩下4 36 144 吨.根据条件，要装完这 144144 吨钢材还需要45 36 9 辆小卡车.这样每辆小卡车能装144 9 16吨.由此可求出这批钢材有720吨.【例5】 小建和小雷做仰卧起坐，小建先做了3分钟，然后两人各做了5分钟，一共做仰卧起坐136次.每分钟小建比小雷平均多做4 4 次，那么小建比小雷多做了多少次？【解析】 假设小建每分钟做仰卧起坐的次数与小雷一样多，这样两人做仰卧起坐的总次数就减少了4 3 5 32次，由此可知小雷每分钟做了136 32 3 5 5 8次，进而可以分别求出小建每 分钟做的次数以及

25、两人分别做仰卧起坐的总次数之差.假设小建每分钟做仰卧起坐的次数与小雷一样多，两人做仰卧起坐的总次数就减少：4 3 5 32次小雷每分钟做：136 32 3 5 5 8次；小建每分钟做：8 4 12次小建一共做：12 3顷96次；小雷一共做：8 5 40次小建比小雷多做：96 40 56次【例6】 一份稿件，甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成，现在甲单独打假设干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时.甲打字用了多少小时？【解析】 我们把这份稿件平均分成30份30是6和10的最小公倍数，甲每小时打30 + 6=5份，乙每小时打30+ 10=3份.现在把甲打字的时间看成兔头数，乙打字

26、的时间看成鸡头数，总头数是7.兔的脚数是5，鸡的脚 数是3,总脚数是30，就把问题转化成鸡兔同笼问题了.根据前面的公式兔数=30-3 X 7 + 5-3 =4.5， 鸡数=7-4.5 =2.5，也就是甲打字用了4.5小时，乙打字用了2.5小时.【例7】 工人运青瓷花瓶250个，规定完整运到目的地一个给运费20元，损坏一个倒赔100元.运完这批花瓶后，工人共得4400元，那么损坏了多少个？【解析】 此题中“损坏一个倒赔100元的意思是运一个完好的花瓶与损坏1个花瓶相差100 20 120元，即损1个花瓶不但得不到20元的运费，而且要付出120元.本例可假设250个花瓶都完好，这样可得运费20 2

27、50 5000元.这样比实际多得5000 4400 600元.就是因为有损坏的瓶子，损坏1个花瓶相差120元.现共相差600元，从而求出共损坏多少个花瓶.根据以上分析，可得损坏了20 250 4400 100 2。5个.【稳固】 乐乐百货商店委托搬运站运送100只花瓶.双方商定每只运费1元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1元，结果搬运站共得运费92元.问：搬运过程中共打破了几只花瓶？【解析】 假设100只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费1 100 100元.实际上只得到92元，少得100 92 8元.搬运站每打破一只花瓶要损失1111 2 2 元.因此共打

28、破花瓶8 2 4只.【稳固】有一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算，每只2角，如有破损，破损瓶子不给运费，还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几只【解析】如果没有破损，运费应是400元.但破损一只要减少1+0.2=1.2元.因此破损只数是400-379.6+ 1+0.2=17只.【稳固】2021年第八届“春蕾杯小学数学邀请赛决赛甲、乙两人进行射击比赛，约定每中一发得20分，脱靶一发扣 1212 分，两人各打10发，共得208分，最后甲比乙多得64分，乙打中 发。【分析】 乙得分为208 64 2 72分，如果乙每发都打中可以得20 10

29、200分，脱靶一发少20 12 32分；乙脱靶200 72 32 4发，所以乙打中10 4 6发。【稳固】 某次数学竞赛，共有20道题，每道题做对得5分，没做或做错都要扣 2 2 分，小聪得了79分，他做对了 多少道题？【解析】 做错5 20 79 5 2 3 道，因此，做对的20 3 17 道.【稳固】 数学竞赛共有20道题，规定做对一道得5分，做错或不做倒扣3分，赵天在这次数学竞赛中得了60分，他做对了几道题？【解析】 假设他将所有题全部做对了，那么可得100分，实际上只得了60分，比假设少了40分，做错一题要少得8分，少得的40分中，有多少个8分，就是他做错的题的数量，那么知他做对了15

30、道.【稳固】 东湖路小学三年级举行数学竞赛，共20道试题.做对一题得5分，没有做一题或做错一题都要倒扣2 2 分.刘钢得了86分，问他做对了几道题？【解析】 这道题也类似于“鸡兔同笼问题.假设刘钢20道题全对，可得分5 20 100分，但他实际上只得86分，少了100 86 14分，因此他没做或做错了一些题.由于做对一道题得5分，没做或做错一道题倒扣 2 2 分，所以没做或做错一道题比做对一道题要少5 2 7 分.1414 分中含有多少个7,就是刘钢没做或做错多少道题.所以，刘钢没做或做错题为14 7 2道，做对题为20 2 18道.【稳固】第八届“祖冲之杯数学邀请赛填空题一张数学试卷，只有2

31、5道选择题.做对一题得 4 4 分，做错一题倒扣1分；如不做，不得分也不扣分. 假设 小明得了78分，那么他做对 题，做错 题，没做 题.【解析】 这道题不是普通的鸡兔同笼问题，需要寻找一些特殊的线索.小明得了78分，而且只有做对了题目才能得分.78 4 19 ,所以可以知道小明至少做对20道题目，否那么一定低于4 19 76分；再假设他做对 2121 题，发现即使另外四题都错，小明仍然有4 21 1 4 80分，超过了78分，所以小明至多做对20道题目； 综上，可以断定小明做对了20道题.至此此题转化为简单鸡兔同笼问题.假设剩下5题全部没做，那么小明应得4 20 80分.但是只得了78分，说

32、明又倒扣了 2 2 分，说明错了 2 2 道题，3道题没做.所以小明做对了20道题，做错了 2 2 道题，没做3道题.【稳固】 有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错包含不答1题倒扣1分；第二次15道题， 答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比第二次 测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？【解析】 法一：如果小明第一次测验24题全对，得5 24 120分.那么第二次只做对30 24 6 题得分是8 6 2 15 6 30分.两次相差120 30 90分.比题目中条件相差10分，多了80分.说明假设 的第一次答对题数多了，要减少.

33、第一次答对减少一题，少得5 1 6分，而第二次答对增加一题不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加8 2 10分.两者两差数就可减少6 10 16分.90 10 6 10 5题 .因此，第一次答对题数要比假设全对减少5题，也就是第 一次答对19题，第二次答对30 19 11 题.第一次得分5 19 1 24 9 90 .第二次得分8 112 15 11 80.法二：答对30题，也就是两次共答错24 15 309题.第一次答错一题，要从总分值中扣去51 6分，第二次答错一题，要从总分值中扣去8 2 10分.答错题互换一下，两次得分要相差610 16 分.如果答错9题都是第一次，要从总分值中扣去6 9

34、.但两次总分值都是120分.比题目中条 件“第一次得分多10分，要少了6 9 10.因此，第二次答错题数是6 9 10 6 10 4题.第一次答错9 4 5题.第一次得分5 24 5 1 590分.第二次得分8 15 4 2 4 80分.【例8】 某旅游点有儿童票、成人票两种规格的门票卖，儿童票的价格为30元，成人票的价格为40元，如果是团体还可以买平均32元一位的团体票，一个由8个家庭组成的旅游团每个家庭由两位大人，或两个大人、一个小孩组成来景点旅游，如果他们买团体票那么可以比他们各买各的少花120元，问这个旅游团一共有多少人？【解析】每个三口之家可以少花30 40 40 32 3 14元，

35、每个二口之家可以少花40 40 64 16元，如果这8个家庭都是三口之家，那么一共少花14 8 112元，所以这8个家庭中有120 11216 144个家庭是二口之家，所以这个旅游团一共有4 2 8 4 3 20人.【稳固】 大、小猴共35只，它们一起去采摘水蜜桃.猴王不在时，一只大猴一个小时可采摘15千克，一只小猴子一小时可摘 1111 千克；猴王在场监督的时候，每只猴子不管大小每小时都可以多采摘1212 千克.一天，采摘了8小时，其中第一小时和最后一小时猴王在监督，结果共采摘了4400千克水蜜桃.在这个猴群中，共有小猴子多少只？【分析】 其实大猴子和小猴子就相当于鸡兔问题中的鸡和兔.但是却

36、有猴王来捣乱， 所以我们先让猴王消失.一天中，猴王监视了 2 2 小时，假设猴王一直都不在，同猴王在时相比，每只猴子每小时都会少采1212 千克,那样猴群只能采摘4400 35 2 12 3560千克；这是一天也就是8小时的工作量，据此可以求出这 群猴每小时采3560 8 445千克；假设都是大猴子，应该每小时采摘15 35 525 千克，比实际多采了525 445 80千克.而每只小猴子被假设成大猴子，会多采15 11 4千克.因此可以求出小 猴子有：80 420 只.【例9今年是1998年，父母年龄整数和是78岁，兄弟的年龄和是17岁.四年后2002年父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄

37、的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时，是公元哪一年？【解析】4年后,两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25,父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作鸡头数，弟的年龄看作兔头数.25是总头数.86是总脚数.根据公式，兄的年龄是25X4-86 + 4-3=14岁.1998年，兄年龄是14-4=10岁.父年龄是25-14 X 4-4=40岁.因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是40-10 +3-1=15岁，这是2003年.板块二、多个对象的“鸡兔同笼【例10】有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，两对翅膀；蝉

38、6条腿，一对翅膀，求蜻蜓有多少只？【解析】 这是在鸡兔同笼根底上开展变化的问题.观察数字特点，蜻蜓、蝉都是6条腿，只有蜘蛛8条腿.因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数.我们假设三种动物都是6条腿，贝U总腿数为6 18 108条，所差118 108 10条，必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的.所以，应有118 108 8 6 5 只蜘蛛.这样剩下的18 5 13只便是蜻蜓和蝉的只数.再从翅膀数入手，假设13只都是蝉，那么总翅膀数1 13 13对，比实际数少20 13 7 对，这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所 差，这样蜻蜓只数可求7 2 1 7只.【稳固】 食品店上午卖出每千克为2

39、0元、25元、30元的3种糖果共100千克，共收入2570元.其中售出 每千克25元和每千克30元的糖果共收入了1970元，那么，每千克25元的糖果售出了多少千克？【解析】 每千克25元和每千克30元的糖果共收入了1970元，那么每千克20元的收入：2570 1970 600元，所 以卖出：600 20 30千克，所以卖出每千克25元和每千克30克的糖果共100 30 70千克，相当于 将题目转换成：卖出每千克25元和每千克30克的糖果共70千克，收入1970元，问：每千克25元的糖果售出了多少千克？转换成了最根本的鸡兔同笼问题.关键：将三种以及更多的动物 /东西，转化为两种最根本模型。即：抓

40、住转化后的“头与“脚。【稳固】 犀牛、羚羊、孔雀三种动物共有头26个，脚80只，特角20只.犀牛有4只脚、1只特角，羚羊有4只脚，2只特角，孔雀有2只脚，没有特角.那么，犀牛、羚羊、孔雀各有几只呢？【解析】 这道题有三种不同的动物混合在一起，这样假设起来会比拟麻烦， 像前面的题一样，我们可以观察一下：虽然有三种不同的动物，但是犀牛和羚羊都是4只脚，这样，只看脚数，就可以把孔雀与这两种动物分开，转化成我们熟悉的“鸡兔同笼问题，然后再通过特角的不同，把犀牛和羚羊分开，也就是说我们 需要做两次“鸡兔同笼 .假设26只都是孔雀，那么就有脚：26 2 52只，比实际的少：80 52 28只，这说明孔雀多

41、了， 需要增加犀牛和羚羊.每增加一只犀牛或羚羊，减少一只孔雀，就会增加脚数：4 4 2 2 2 2 只.所以,孔雀有26 28 2 12只，犀牛和羚羊总共有26 12 14只.假设14只都是犀牛，那么就有特角：1414 1 1 1414 只，比实际的少：20 14 6只，这说明犀牛多了羚羊少了，需要减少犀牛增加羚羊.每增加一只羚羊，减少一只犀牛，特角数就会增加：2 2 1 1 1 1只，所以，羚羊的只数：6 1 6只，犀牛的只数：14 6 8只.小结这道题出现了三种动物，关键是寻找不同动物的相同点，把三种动物化为两类，先使用“鸡兔同笼问 题的解法把另外特殊的一种区分出来，再使用另外条件区分具有

42、相同点的动物.【例11】希望杯培训题在一次考试中有选择题、填空题和解答题三类题共2222 道.选择题和填空题每题 4 4 分，解答题每题10分.这次考试总分是100分，其中选择题和解答题的分值比填空题多4 4 分，这次考试有多少道选择题？多少道填空题？多少道解答题？【解析】 选择题和填空题的分值一样，可以归为一类。如果这次考试的2222 道题全是解答题，那么总分应是：22 10 220分，但实际总分是100分，所以选择题和填空题共有：220 100 10 4 20 道，解答题有：22 20 2道.选择题比填空题少：2 10 4 16分，选择题有：100 2 10 16 2 4 8道，填空题有：

43、20 8 12 道.【稳固】 商店出售大，中，小气球，大球每个3元，中球每个1.5元，小球每个1元.张老师用120元共买了55个球，其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.问每种球各买几个？【解析】 因为总钱数是整数，大，小球的价钱也都是整数，所以买中球的钱数是整数 ，而且还是3的整数倍.我们设想买中球，小球钱中各出3元.就可买2个中球，3个小球.因此，可以把这两种球看作一种，每个价钱是1.5 X 2+1 X 3 + 2+3=1.2元.从公式可算出，大球个数是120-1.2 X 55 + 3-1.2=30个.买中，小球钱数各是120-30 X 3 + 2=15元.可买10个中球，15个小球.【稳

44、固】某商场为招揽顾客举办购物抽奖.奖金有三种：一等奖1000元，二等奖250元，三等奖50元.共有100人中奖，奖金总额为9500元.问二等奖有多少名？【解析】 假设全是三等奖，共有：9500/50=190人中奖，比实际多：190-100=90人1000/50=20， 也就是说： 把20个三等奖换成一个一等奖，奖金总额不变， 而人数减少了 ：20-1=19 人250/50=5，也就是说：把5个三等奖换成一个二等奖， 奖金总额不变，而人数减少了：5-1=4人。因 为多出的是90人，而：90=19*2+4*13.即：要使总人数为100,只需要把20*2=40个三等奖换成2个一等奖，把5*13=65

45、个三等奖换成13个 二等奖就可以了。所以，二等奖有13个人。【稳固】 有50位同学前往参观，乘电车前往每人1.2元，乘小巴前往每人4元，乘地下铁路前往每人6元.这些同学共用了车费110元，问其中乘小巴的同学有多少位？【解析】 由于总钱数110元是整数，小巴和地铁票也都是整数，因此乘电车前往的人数一定是5的整数倍.如果有30人乘电车，110-1.2 X 30=74元.还余下50-30=20人都乘小巴钱也不够.说明假设的乘电车人数少了.如果有40人乘电车110-1.2 X 40=62元.还余下50-40=10人都乘地下铁路前往，钱还有多626 X 10.说明假设的乘电车人数又多了.30至40之间，

46、只有35是5的整数倍.现在又可以转化成鸡兔同笼了：总头数50-35=15，总脚数110-1.2 X 35=68.因此，乘小巴前往的人数是6 X 15-68 +6-4=11.【稳固】 学校组织新年游艺晚会，用于奖品的铅笔，圆珠笔和钢笔共232支，共花了300元.其中铅笔数量是圆珠笔的4倍.铅笔每支0.60元，圆珠笔每支2.7元，钢笔每支6.3元.问三种笔各有多少支 ？【解析】从条件铅笔数量是圆珠笔的4倍，这两种笔可并成一种笔，四支铅笔和一支圆珠笔成一组，这一组的笔，每支价格算作0.60 X 4+2.7 + 5=1.02元.现在转化成价格为1.02和6.3两种笔.用鸡兔同笼公式可算出，钢笔支数是3

47、00-1.02X232 + 6.3-1.02=12支.铅笔和圆珠笔共232-12=220支.其中圆珠笔220 + 4+1=44支.铅笔220-44=176支.【例12】 某次数学考试考五道题，全班52人参加，共做对181道题，每人至少做对1道题，做对1道的 有7人，5道全对的有6人，做对2道和3道的人数一样多，那么做对4道的人数有多少人？【解析】 对2道，3道，4道题的人共有52-7-6=39人.他们共做对181-1 X 7-5 X 6=144道.由于对2道和3道题的人数一样多，我们就可以把他们看作是对2.5道题的人2+3 + 2=2.5.这样 兔脚数=4,鸡脚数=2.5,总脚数=144,总头

48、数=39.对4道题的有144-2.5 X 39 + 4-1.5=31人.【例13】从甲地至乙地全长45千米，有上坡路，平路，下坡路.李强上坡速度是每小时3千米，平路上速度是每小时5千米，下坡速度是每小时6千米.从甲地到乙地，李强行走了10小时；从乙地到甲地，李强行走了11小时.问从甲地到乙地，各种路段分别是多少千米【解析】 把来回路程45 X 2=90千米算作全程.去时上坡，回来是下坡；去时下坡回来时上坡.把上坡和下坡合并成一种路程，根据例15,平均速度是每小时4千米.现在形成一个非常简单的 鸡兔同笼问题.头数10+11=21,总脚数90,鸡，兔脚数分别是4和5.因此平路所用时间是90-4 X

49、 21 + 5-4=6小时.单程平路行走时间是6 + 2=3小时.从甲地至乙地，上坡和下坡用了10-3=7小时行走路程是45-5 X 3=30千米.又是一个鸡兔同笼问题.从甲地至乙地，上坡行走的时间是6 X 7-30 + 6-3=4小时.行走路程是3X 4=12千米.下坡行走的时间是7-4=3小时.行走路程是6X 3=18千米.【例14】一些奇异的动物在草坪上聚会.有独脚兽1个头、1只脚、双头龙2个头、4只脚、三脚猫1个头、3只脚和四脚蛇1个头、4只脚.如果草坪上的动物共有58个头、160只脚，且四脚蛇的数量恰好是双头龙的2倍，那么其中独脚兽有几只？【解析】 把2个四脚蛇和1个双头龙捆绑在一起

50、，那么是4头12脚，即1头3脚，同三脚猫是一样的，所以可以假设都是1头3脚，那么有3X 58=174只脚，但只有160只脚，差了174-160=14只脚，替换:14+ 2=7只，故有7只独角兽。副Ml匡课后练习练习1.动物园里有一群鸵鸟和大象 ，它们共有36只眼睛和52只脚，问：鸵鸟和大象各有多少？【解析】由于每只动物有两只眼睛，由题意知：动物园里鸵鸟和大象的总数为：36 2 18 ,假设鸵鸟和大象一样也有 4 4 只脚，那么应该有4 18 72只脚，多了72 52 20只脚，由假设引起的差值： 4 4 2 2 2,2,那么 鸵鸟数为20 2 10只，大象数为18 10 8头.练习2.鸡与兔共

51、100只，鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只？【解析】 解一：假设再补上28只鸡脚，也就是再有鸡28 + 2=14只,鸡与兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚4+ 2=2倍,于是鸡的只数是兔的只数的2倍.兔的只数是100+28 + 2 + 2+1=38只.鸡是100-38=62只.当然也可以去掉兔28+ 4=7只.兔的只数是100-28 + 4 + 2+1+7=38只.也可以用任意假设一个数的方法解二：假设有50只鸡，就有兔100-50=50只.此时脚数之差是4 X 50-2 X 50=100,比28多了72.就说明假设的兔数多了鸡数少了.为了保持总数是100，一只兔换成一只鸡，少了4只兔脚，多

52、了2只鸡脚，相差为6只千万注意，不是2.因此要减少的兔数 是100-28+ 4+2=12只.兔只数是50-12=38只.练习3.从前有座山，山里有个庙，庙里有许多小和尚，两个小和尚用一根扁担一个桶抬水，一个小和尚用一 根扁担两个桶挑水，共用了38根扁担和58个桶，那么有多少个小和尚抬水？多少个挑水？【解析】 假设全是抬水，38根扁担应担38个桶，而实际上是58个桶，为什么少了58 38 20个桶呢？因为当我们把一个挑水的当作抬水的就会少算2 2 1 1 1 1 个桶，所以有20 1 20人在挑水，拾水的扁担数是38 20 18根，抬水的人数是18 2 36人.练习4.某次考试有52人参加，共考

53、5道题，每题做错人数的统计表如下列图.题号一一三四五做错人数46102039还知道每人都至少做对1道题，做对1道题的有7人，5道题全对的有6人，做对2道题和3道题的人 数一样多.那么做对4道题的人数是多少？【解析】 总共答对了：52 54 6 10 2030 190道题，做对2、3、4道题的人总共有：52 7 639人，这39人总共答对了 ：190 7 1 5 6 153道题.可假设做对2道题的有1人，假设出错量：2 1 3 1 39 2 4 153 4 2 2 3 0 ,所以假设正确，对二、三道题的各1人，对4道题的37人.难点：给的是做错题的表，而条件给的是做对的条件。练习5.某学校有30

54、间宿舍，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人.这些宿舍中共住了168人，那么其中有多少间大宿舍？【解析】 如果30间都是小宿舍，那么只能住4 30 120人，而实际上住了168人.大宿舍比小宿舍每间多 住6 4 2人 ，所以大宿舍有168 120 2 24间.练习6.小松鼠采松果，晴天每天可以采10个，雨天每天只能采6个.它一连几天采了80个松果，平均每天采8个.那么其中有几天是雨天呢？【解析】 少松鼠一共采了80 8 10天，假设每巴促晴天，那么一共可以采10 10 100个，而实际上少 采了10080 20个，少1天晴天，就少采10 6 4个，所以一共有雨天：20 4 5天.练习7.有红、黄、绿3种颜色的卡片共有100张，其中红色卡片的两面上分别写有1和2,黄色卡片的两面上分别写着1和3 ,绿色卡片的两面上分别写着2 2 和3.现在把这些卡片放在桌子上，让每张卡片写有较大数字的那面朝上，经计算，各卡片上所显示的数字之和为234 .假设把所有卡片正反面翻转一下，各卡片所显示的数字之和那么变成123.问黄色卡片有多少张？【解析】 开始的时候，黄色和绿色的卡片上都是3,红色卡片上是