相似知识总结学生资料

1、 相似知识总结 知识点一：放缩与相似形 1、 图形的放大或缩小，称为 图形的放缩运动。 2、 把形状相同的两个图形说成是 相似的图形，或者就说是 相似性。 注意：、相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 、相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。 、我们可以这样理解相似形： 两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大 或缩小得到的. 、假设两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例一一全等形. 1. 相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等， 对应边 的长度成比例。 注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的

2、长度的比值是 1. 知识点二：比例线段有关概念及性质 1有关概念 1、 比：选用同一长度单位量得两条线段。 a、b的长度分别是 m n,那么就说这两条线段的 a m 比是 a： b= m： n 或一=一 b n 2、 比的前项，比的后项：两条线段的比 a： b中。a叫做比的前项，b叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、 比例：两个比相等的式子叫做比例，如 a=- b d a c 4、 比例外项：在比例b = d 或a： b = c： d中a、d叫做比例外项。 a c . 5、 比例内项：在比例=或a： b = c： d中b、c叫做比例内项。 a c . 6

3、、 第四比例项：在比例=-或a： b = c： d中，d叫a、b、c的第四比例项。 a b 7、 比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 一=或a:b = b:d时，我们把b 叫做a和d的比例中项。 8、 比例线段：对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长 a c 度的比相等，即 一=一或a： b=c: d,那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线 b d 段。注意：在求线段比时，线段单位要统一， 单位不统一应先化成同一单位 即AC2=ABX BC,那么称线段 AB被点C黄金分割，点 C叫做线段AB的黄金分割点，AC , ， 5-1 与AB的比叫做黄金比

4、。其中 AC = 一- AB 2比例性质 1、 根本性质 2、 反比性质: ad = be 两外项的积等于两内项积 a c b d =u = 把比的前项、后项父换 b d a c 3、更比性质交换比例的内项或外项: -,交换内项 c d -=e= d=E，交换外项 b d b a d=b.同时交换内外项 、c a ac a二be 二 d 4、合比性质：=孑二一-=-分子加减分母，分母不变 注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 发生同样和差变化比例仍成立.如: b a d c a c a c - BC),如果 AC _ BC AB AC 0.618 AB。

5、 2 2黄金分割的几何作图：线段 AB.求作：点C使C是线段AB的黄金分割点 1 作法：、过点 B作BDL AB,使BD = AB ； 2 、连结 AD 在 DA截取 DE=DB 、在AB上截取AC=AE那么点C就是所求作的线段 AB的黄金分割点.黄金分割的比值为: AC _ BC _ ,5 -1 AB 一 AC 一 2 3矩形中，如果宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形。 知识点四：平行线分线段成比例定理 一平行线分线段成比例定理 ，曰 AB DE AB DE 可得=或=。 BC EF AC DF 2、推论：平行于三角形一边的直线截其它两边 或两边的延长线所得的对应线段成比例 只要求记住

6、。 1、平行线分线段成比例定理 :三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比. 例、 11 / l2 / l3 , 图(1) : DE/ BC可得： AD DB AE = EC BD 或 AD EC = I EA 十AD AB AE 一 AC DE = .此推论较原定理应用 BC 史加J已,zK IJ ZH 1仃 图(2) : DE/ BC可得: . ED BC EA _ AC DA IAB 3、 推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边 或两边的延长线所得的对应线段成比例. 那么这条直线平行于三角形的第三边.即利用比例式证平行线 4、 定理：平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线 ，所截

7、的三角形的三边 与原三角形 三凹对应成比例. 5、 平行线等分线段定理： 三条平行线截两条直线，如果在一条直线上截得的线段相等， 难么 在另一条直线上截得的线段也相等。 三角形一边平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么 这条直线平行于三角形的第三边 三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形两边的延长线这两边的延长 线在第三边的同侧所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 . 1. 平行线分线段成比例定理: 两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例 用符号语言表示： AB DE BC EF AB DE AD/ BE/ CF,二 =

8、，=，= BC EF AC DF AC DF 2.平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所截得的线段 相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等 . 口* 士一 ADUBE CF 用符号语言表示： -AB = BC. DE =DF 重心定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心 . 重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍 知识点三：相似三角形 1、相似三角形 1 定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相 似三角形。 几种特殊三角形的相似关系： 两个全等三角形一定相似。 两个等腰直角三角形一

9、定相似。 两个等边三角形一定相似。 两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。 补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似如正四边形、正五边形等等 ； 2 性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。 3 相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的 相似比。 如 ABC与 DEF相似，记作 ABC DEF。相似比为 k。 4 判定：、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。 、三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交， 所构成的三角形与 原三角形相似。 三角形相似的判定定理： 判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等

10、，那么这两 个三角形相似.简述为：两角对应相等，两三角形相似. 此定理用的最多 判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似. 简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似. 判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例， 那么这两个三 角形相似.简述为：三边对应成比例，两三角形相似. 直角三角形相似判定定理： 、斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成 的两个直角三角形也相似。 补充一：直角三角形中的相似问题: 斜边的高分直角三角形

11、所成的两个直角三角形与原直角三角形相似 射影定理： CD2=AD- BD , AC2=AD AB , BC2=BDBA 在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用 补充二：三角形相似的判定定理推论 推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。 推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。 推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。 推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。 推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应局部成比 例，那么这两个三角形相似。 相似三角形的性质 、相似三角形对应角相等、对应边成比例 、相似三角形对应高、对应角平分线、对

12、应中线、周长的比都等于相似比 对应边的比. 、相似三角形对应面积的比等于相似比的 平方. 2、相似的应用：位似 1定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图 形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。 需注意：、位似是一种具有位置关系的相似， 所以两个图形是位似图形， 必定是相似图形， 而相似图形不一定是位似图形。 、两个位似图形的位似中心只有一个。 、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。 、位似比就是相似比。 2性质：、位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质。 、位似图形是一种特殊的相似图形， 它又

13、具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到 位似中心的距离等于位似比相似比 。 、每对位似对应点与位似中心共线，不经过位似中心的对应线段平行。 相似测试1 一、填空题。 a 1、线段a, b, c, d W足 c = 其中 a=2cm , b=4cm ,c=5cm,贝U d= b d 2、假设m=3,那么皇= o a 7 b 3、 边长为12cm的等边三角形按2:1的比例缩小后的三角形是边长为 的 三角形. 4、 AABC DEF, AB = 6 , DE = 8 ,那么 S加C : SEF =. 5、 点P是MBC中AB边上的一点，过点P作直线 不与直线AB重合截AABC,使截得 三角形与A

14、ABC相似，满足这样条件的直线最多 条. 6、 电视节目主持人在主持节目时 ，站在舞台上的黄金分割点处最自然得体 ，假设舞台AB长为 20m,试计算主持人应走到离 A点至少 m处.结果精确到0.1m 7、 一个4米高的电线杆的影长是 6米，它临近的一个建筑物的影长是 36米.那么这个建筑的 高度是. 8、如图，假设 DE / BC,FD / AB,AD : AC = 2 ：3 ,AB = 9,BC = 6,那么四边形 BEDF 的周长为 、选择题。 2、：如图2,在AABC中，/ADE= /C,那么以下等式成立的是 A. 0.266km 6、以下判断正确的选项是 A. 不全等的三角形一定不是相

15、似三角形 B. 不相似的三角形一定不是全等三角形 C. 相似三角形一定不是全等三角形 D. 全等三角形不一定是相似三角形 7、如图，D、E是AB的三等分点，DF / EG/ BC ,图中三局部的面积分别为 S1,S2,S 3, 那么 &:S2:S3( ) A.1:2:3 B.1:2:4 C.1:3:5 D.2:3:4 8、在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长 ，那么在同一路灯下 A.小明的影子比小强的影子长 B.小明的影子比小强的影子短 1、 假设果mn =ab，那么以下比例式中不正确的选项是 a A.- m b a m B.= n b m n C.- a b D. A. AD

16、 AB AE AC B. AE BC AD BD DE AE C. - = BC AB D. DE BC AD DB 3、正五边形 ABCDE与正五边形ABC DE的面积比为 1:2,那么它们的相似比为 4、 A. 1:2 如图，两个位似图形 A.AB: AB = 3:1 C.OA: OB=2:1 5、在比例尺是1:3800 B. 2:1 C. 1： 2 D.、.2 :1 AABO 和 ABO,假设 OA: OA= 3:1，那么正确的选项是( B. AA:BB = AB: D. ZA = Z B 的长沙交通游览图上 AB ，长约7cm的一段路程，它的实际长度约为 C.26.6km B.2.66

17、km D.266000km C.小明的影子和小强的影子一样长 D.无法判断谁的影子长 9、把AABC的各边都扩大为原来的 2倍，得到 ABC,下面结论不正确的选项是 A.、 AABC ABC B、AABC和 ABC的各边、各角对应相等 C、AABC和 ABC的相似比为1:2 D、AABC和ABC的相似比为1:3 10、如图，四边形 ABCD是平行四边形，那么图中与 A.1个 三、解答题。 1、如图，在ZABC 中，/C=90 ,DE AB 于 E,DF BC 于 F.求证：ADEH - ABCA 2、如图，平行四边形 ABCD中，点E是DC中点，连AE并延长与BC延长线交于点F, 假设 SEF

18、 = 10，求四边形ABCE的面积。 F B.2个 C.3个 四、提高题。 如图，平行四边形 ABCD中,AE:EB = 1:2 . (1)、求 AE:DC 的值. 、AAEF与CDF相似吗？假设相似，请说明理由，并求出相似比 相似测试2 1、从下面这些三角形中，选出相似的三角形. 、如果S逸EF = 6cm2,求S&DF 2、：如图， QABCD中，AE : EB =1:2，求AAEF与ACDF的周长的比，如果 3、如图， MBD sMCE，求证： MBC sAADE . 4、以下命题中哪些是正确的，哪些是错误的？ (1)所有的直角三角形都相似； (2)所有的等腰三角形都相似； 6c

19、m2 F DF (3)所有的等腰直角三角形都相似； (4)所有的等边三角形都相似。 5、如图，D点是AABC的边AC上的一点，过D点画线段DE ,使点E在AABC的边上, 并且点D、点E和AABC的一个顶点组成的小三角形与 AABC相似.尽可能多地画出满足 条件的图形，并说明线段 DE的画法. 6、如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺， 站在距电线杆约 30米的地方，把手臂向前伸 直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，手臂长约 60厘米，求电线杆的 高. 7、如图，小明为了测量一高楼 MN的高，在离N点20m的A处放了一个平面镜，小明沿 NA后退到C点，正好从镜中看到楼顶 M点，假

20、设AC=1.5m,小明的眼睛离地面的高度为 1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度精确到 0.1m. 8、格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由. 9、根据以下各组条件，判定 AABC和AABC是否相似，并说明理由： (1 )、 AB =3.5cm,BC = 2.5cm,CA = 4cm, A B =24.5cm,BC =17.5cm,C A = 28cm (2)、2A =35：2B =104,/。 = 44令2入=35七 (3 )、AB =3,BC =2.6,NB =48： AB = 1.5,BC=1.3,NB = 48 七 10、如图，以下每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来, 并简要说明识别的根据. 11、：如图，在 MBC中，AB =AC,NA = 36* B D是角平分线，试利用三角形相似 的关系说明AD? =DC