专升本高数复习资料(超新超全)

1、专升本高数复习资料（超新超全）严格依据大纲编写：笔记目录第一章极限和连续第一节极限复习考试要求1 . 了解极限的概念（对极限定义，-等形式的描述不作要求）。会求函数在一点 处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。2 .了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。3 .理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关 系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代 换求极限。4 .熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。第二节函数的连续性复习考试要求1 .理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关

2、系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。2 .会求函数的间断点。3 .掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。4 .理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。第二章一元函数微分学第一节导数与微分复习考试要求L理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一 点处的导数。2 .会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。3 .熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。4,掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。5 .了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导数。6 .理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和

3、可导的关系，会求函数的一阶微分。 第二节导数的应用复习考试要求1 .熟练掌握用洛必达法则求华曰“0 8”、“8-8”型未定式的极限的方法。2 .掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。会利用函数的 单调性证明简单的不等式。3 .理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法, 会解简单的应用题。4 .会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。5 .会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线第三章一元函数积分学第一节不定积分复习考试要求L理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。2 .熟练掌握不定积分的基本公式。3 .熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第

4、二换元法（仅限三角代换与简单的根式代换）。4 .熟练掌握不定积分的分部积分法。5 ,掌握简单有理函数不定积分的计算。第二节定积分及其应用复习考试要求L理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件2 .掌握定积分的基本性质3 .理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积分求导数的方法。4 .熟练掌握牛顿-莱布尼茨公式。5 .掌握定积分的换元积分法与分部积分法。6理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。7 .掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成 的旋转体的体积。第四章多元函数微分学复习考试要求1 .了解多元函数的概念，会求二元函数的定义域。了解二元函

5、数的几何意义。2 . 了解二元函数的极限与连续的概念。3 .理解二元函数一阶偏导数和全微分的概念，掌握二元函数的一阶偏导数的求法。掌 握二元函数的二阶偏导数的求法，掌握二元函数的全微分的求法。4 .掌握复合函数与隐函数的一阶偏导数的求法。5 .会求二元函数的无条件极值和条件极值。6 .会用二元函数的无条件极值及条件极值解简单的实际问题。第五章概率论初步复习考试要求L 了解随机现象、随机试验的基本特点；理解基本事件、样本空间、随机事件的概念。2 .掌握事件之间的关系：包含关系、相等关系、互不相容关系及对立关系。3 .理解事件之间并（和）、交（积）、差运算的意义，掌握其运算规律。4 .理解概率的古

6、典型意义，掌握事件概率的基本性质及事件概率的计算。5 .会求事件的条件概率；掌握概率的乘法公式及事件的独立性。6 . 了解随机变量的概念及其分布函数。7 .理解离散性随机变量的意义及其概率分布掌握概率分布的计算方法。8 .会求离散性随机变量的数学期望、方差和标准差。第一章极限和连续第一节极限复习考试要求1 .了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一点 处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。2 .了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。3 .理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关 系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、

7、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代 换求极限。4 .熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。主要知识内容（一）数列的极限1 .数列定义按一定顺序排列的无穷多个数称为无穷数列，简称数列，记作xn,数列中每一个数称为数列的项，第 n项xn为数 列的一般项或通项，例如（1） 1, 3, 5,，（2n-1 ）,（等差数列）（2）畀,春（等比数列）（3）?*曰（递增数列）（4） 1, 0, 1, 0,?，（震荡数列）都是数列。它们的一般项分别为（2n-1） ,5。对于每一个正整数n,都有一个xn与之对应，所以说数列xn可看作自变量n的函数 xn=f （n）,它的定义域是全体正整数，当自变量 n依次取1

8、,2,3一切正整数时，对 应的函数值就排列成数列。在几何上，数列xn可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点x1,x2,x3，xn,。2.数列的极限定义对于数列xn,如果当n-s时，xn无限地趋于一个确定的常数 A,则称当n趋 于无穷大时，数列xn以常数A为极限，或称数列收敛于 A,记作立一咻.哈所 比如：畀"小无限的趋向03L,无限的趋向1否则，对于数列xn,如果当n-s时，xn不是无限地趋于一个确定的常数，称数列 xn没有极限，如果数列没有极限，就称数列是发散的。比如：1, 3, 5,，（2n-1 ）,1 # 一“1, 0, 1, 0,丁数列极限的几何意义：将常数 A及数列的项

9、一依次用数轴上的点表示，若数列xn 以A为极限，就表示当n趋于无穷大时，点xn可以无限靠近点A,即点xn与点A之 间的距离|xn-A|趋于0。比如：白上*无限的趋向0无限的趋向1(二)数列极限的性质与运算法则1.数列极限的性质定理1.1 (惟一性)若数列xn收敛，则其极限值必定惟一。定理1.2 (有界性)若数列xn收敛，则它必定有界。注意：这个定理反过来不成立，也就是说，有界数列不一定收敛。比如：1 , 0, 1, 0,学有界：0, 12 .数列极限的存在准则定理1.3 (两面夹准则)若数列xn,yn,zn满足以下条件：(1)工三三£8.5-547 ,(2)必由，则配定理1.4若数列

10、xn单调有界，则它必有极限。3 .数列极限的四则运算定理。定理1.5a -儿则 Hem -及JN(1)11rli2/土 A(3)当？*u时，.丁西一方(三)函数极限的概念1 .当xx0时函数f (x)的极限(1)当x-x0时f (x)的极限定义对于函数y=f (x),如果当x无限地趋于x0时，函数f (x)无限地趋于一个常数A,则称当xx0时，函数f (x)的极限是A,记作风出或f (x) -A (当xx0时)例 y=f (x) =2x+1x-1,f (x) f ?x<1x11&$27® Esse_x>1x-1X"'l I I.Q IDQjT】

11、J-3 2 3 02 5J025(2)左极限当xx0时f (x)的左极限定义对于函数y=f (x),如果当x从x0的左边无限地趋于x0时，函数f (x)无限地趋于一个常数A,则称当x-x0时，函数f (x)的左极限是A,记作民欢"或 f (x0-0) =A(3)右极限当xx0时，f (x)的右极限定义对于函数y=f (x),如果当x从x0的右边无限地趋于x0时，函数f (x)无限地趋于一个常数A,则称当x-x0时，函数f (x)的右极限是A,记作与"2 或 f (x0+0) =A例子：分段函数 解：当x从0的左边无限地趋于0时f (x)无限地趋于一个常数1。我们称当x-0时

12、, f (x)的左极限是1,即有】哧_n式Ijj雪* 】当x从0的右边无限地趋于0时，f (x)无限地趋于一个常数-1。我们称当x-0时, f (x)的右极限是-1 ,即有，罂明.酬阳显然，函数的左极限摘右极限蜴尼与函数的极限阳©之间有以下关系: 定理1.6当xx0时，函数f (x)的极限等于A的必要充分条件是/Tjt)- Iud ft x)- A rr守*/窜反之，如果左、右极限都等于 A,则必有阻融”3x-1 时 f(x) ? J? -1 曲田.乂？-x-1f(x) -2对于函数如当x-1时，f (x)的左极限是2,右极限也是2。2 .当x-00时，函数f (x)的极限(1)当x

13、s时，函数f (x)的极限y=f(x)x f0°f(x) ?y=f(x)=1 +xoof(x)=1+1li rn0 * ) 定义对于函数y=f (x),如果当x-s时，f (x)无限地趋于一个常数 A,则称当xoo时，函数f (x)的极限是A,记作幅3/或f (x) 7A (当x-8时)(2)当x-+s时，函数f (x)的极限定义对于函数y=f (x),如果当x-+s时，f (x)无限地趋于一个常数 A,则称当x f+s时，函数f (x)的极限是A,记作明由上这个定义与数列极限的定义基本上一样，数列极限的定义中n-+s的n是正整数；而在这个定义中，则要明确写出 x-+s,且其中的x不

14、一定是正整数，而为任意实数。y=f(x)x打力打广Xf+oo,班岁上尸)口f+OO f(x)x f ?f(x)=2+ -2例：函数f解：f (x)(x) =2+e-x,当 x7+°0时，f (x) =2+e-x=2+, x一+oo, f (x) =2+ - 2所以地(3)当xf-°°时，函数f (x)的极限定义对于函数y=f (x),如果当X-8时，f (x)无限地趋于一个常数 A,则称当xf _oo时，f (x)的极限是A,记作xf-oof(x) ?则 f(x)=2+ 之(XVO)X一 _OO,-X +OOf(x 尸 2+ 之一2，兵以*方2例：函数"

15、2噎-，当X-8时，f(X)- ?解：当 X - -00 时，-Xf+00加e七一2,即有由上述X8, x+oo, X7-00时，函数f (X)极限的定义，不难看出：X-00时f(X) 的极限是A充分必要条件是当X7+00以及X-OO时，函数f (x)有相同的极限Ao例如函数“加6,当x_oo时，f (x)无限地趋于常数1,当X7+OO时，f (X)也无限地趋于同一个常数1,因此称当X-8时期-的极限是1,记作bm (L+ ) - 1 X其几何意义如图3所示。f(x)=1+ *Lid (I*) - 】一 xhm2 JT想U + $ly=arctanxI-一 1 用bm arctanj-a li

16、en ittznx- -工 I*2,既2工不存在。但是对函数y=arctanx来讲，因为有Lid arefcan x -"T2Imi arrtai X -iT府2即虽然当x-OO时，f (x)的极限存在，当x 十8时，f (x)的极限也存在，但这两个极限不相同，我们只能说，当x7°°时，y=arctanx的极限不存在。x)=1 +Lrnjl 曾 )-bn(L+ )-Jy=arctanxlam artai工-一工，11m axtmjrst2胆一不存在。但是对函数y=arctanx来讲，因为有.如产闭.蚂产彳吟即虽然当x-oo时，f (x)的极限存在，当x 十8时，f

17、 (x)的极限也存在，但这两个极限不相同，我们只能说，当 x7°°时，y=arctanx的极限不存在。 (四)函数极限的定理定理1.7 (惟一性定理)如果媲川存在，则极限值必定惟一。定理1.8 (两面夹定理)设函数 mu在点厢的某个邻域内(厢可除外)满足条件:(1) 则有lim fM * Ao(1)(2)riw/rxLri/L £(- L*”回,(2) f f注意：上述定理1.7及定理1.8对始也成立。 下面我们给出函数极限的四则运算定理 定理1.9如果既"刈“则liffi fM ffOO-Clitn /(J» (Km 贝切-月？(3)上述运算

18、法则可推广到有限多个函数的代数和及乘积的情形，有以下推论：/ d 卜叫印垃，:二.乜和:二皿则士，士舶麻(1)/ c、 lirak /Crtl-s - hm，(2)/ O LimL/Wr-lhm/wr(3)用极限的运算法则求极限时，必须注意：这些法则要求每个参与运算的函数的极限存在，且求商的极限时，还要求分母的极限不能为零。另外，上述极限的运算法则对于iS的情形也都成立。(五)无穷小量和无穷大量1.无穷小量(简称无穷小)定义对于函数如果自变量x在某个变化过程中，函数小的极限为零，则称在该变化过程中，山为无穷小量，一般记作ira/(J)=0-常用希腊字母2 来表示无穷小量。定理1.10函数用以A

19、为极限的必要充分条件是：，可表示为A与一个无穷小量之和。lim/tx)-用 + 环G为无窃小)注意：(1)无穷小量是变量，它不是表示量的大小，而是表示变量的变化趋势无限趋于为零。(2)要把无穷小量与很小的数严格区分开，一个很小的数，无论它多么小也不是无穷 小量。(3) 一个变量是否为无穷小量是与自变量的变化趋势紧密相关的。在不同的变化过程中，同一个变量可以有不同的变化趋势，因此结论也不尽相同。例如：S! sljii >12Ua振荡型发散国工(4)越变越小的变量也不一定是无穷小量，例如当x越变越大时，就越变越小，但它不是无穷小量。(5)无穷小量不是一个常数，但数“ 0”是无穷小量中惟一的一

20、个数，这是因为 吃。2 .无穷大量(简称无穷大)定义；如果当自变量 (或s)时，3的绝对值可以变得充分大(也即无限地增大)，则称在该变化过程中，为无穷大量。记作 2。注意：无穷大(S)不是一个数值，是一个记号，绝不能写成或小。3 .无穷小量与无穷大量的关系无穷小量与无穷大量之间有一种简单的关系，见以下的定理。定理1.11在同一变化过程中，如果 加为无穷大量，则表为无穷小量；反之，如果 上为 无穷小量，且 W 则焉为无穷大量。当无穷大婚备无穷小当i川)3为无穷小看$ 无穷大4 .无穷小量的基本性质性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；性质2有界函数(变量)与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，

21、常量与无穷小量的 乘积是无穷小量。im i. sin - = 0工工由JHP1性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量。性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。5 .无穷小量的比较定义设凡f是同一变化过程中的无穷小量，即 如,即。(1)如果崂二”则称工是比较高阶的无穷小量，记作的；(2)如果.萨则称口与为同阶的无穷小量；(3)如果.尸则称口与户为等价无穷小量，记为(4)如果崂小则称工是比较低价的无穷小量。当支十/bm =bm升前二3bm “ 丁工-】im f 京 +=07 xi Q工bm-J_ = bm(+x) = l界十#珏1->6等价无穷小量代换定理:lim = Mm如果当

22、时I既均为无穷小量，又有工-吐出/且心二/存在，则M扃“温 工品”均为无穷小又有落色.史 # = ? 7 5a . .as 八& h萼k二讪乌/血刍Inn乌=Jo,-这个性质常常使用在极限运算中，它能起到简化运算的作用。但是必须注意：等价无穷小量代换可以在极限的乘除运算中使用。 常用的等价无穷小量代换有：当口日寸,sinx x;tan x;arctanx x;arcsinx -CC?1 M 2 g；hl口+外e 茶x；（六）两个重要极限1.重要极限I重要极限I是指下面的求极限公式. sinx . Can K. . orc Au j .utn. = I htn = 1 hsu= JX I

23、 .3X, 白吧E r 用力K I bm, kma->0 #3-Hl X CDS X. sin. x .1=did 1 Lunf I G中6其=1tT6工T。. art jia x-1.bfn= Um =Jiiti= I3-+Q 某t川/已工Isinl这个公式很重要，应用它可以计算三角函数的 6型的极限问题。其结构式为:* tL a -1 T OHm-=1T i -1sin(j2-l)Jim -1 limiL x1 山川r. / 卜 sui.(jr -1)书("D R7=皿(什。hm吟"一T ' T J-l;2.重要极限n重要极限n是指下面的公式:iim a

24、-i-r-«口 B 用|右 w(t+A" =«3=fr XL-fO其中e是个常数(银行家常数)，叫自然对数的底，它的值为e=2.718281828495045其结构式为：IIle 0 +吠工)产期=.重要极限I是属于(型的未定型式，重要极限II是属于“产”型的未定式时，这两个重要极限在极限计算中起很重要的作用，熟练掌握它们是非常必要的。(七)求极限的方法：1 .利用极限的四则运算法则求极限；2 .利用两个重要极限求极限；3 .利用无穷小量的性质求极限；4 .利用函数的连续性求极限；5 .利用洛必达法则求未定式的极限；6 .利用等价无穷小代换定理求极限。基本极限公式

25、(1)= e 1 2 J 1 中(3)(4)二%3 4/题 +口3厢 44 4例1.无穷小量的有关概念(1) 9601下列变量在给定变化过程中为无穷小量的是A:- 1 ,B.。所一刀.曷答Ca.jKr可发散J1工T此一 T佃,龄T=>+oazJ-3x-3 I -4 -t- -r8l-T ri, r-D.：:.(2) 0202当一时，如才与x比较是A.高阶的无穷小量B.等价的无穷小量C.非等价的同阶无穷小量 D.低阶的无穷小量答B解：当一，呵】+”与X是K > OJjl(l-F-X)- X皿 3= 5 2t+<)工一01 i口 x1 1=1i.E I口= 3n km. (1+j

26、) 极限的运算：./+知-I0611,+弘-i一工吗孙-叱小川，1ti-nJ口 H+1bm ix+1)解：答案-1例2.一型因式分解约分求极限(1) 0208解：.+ s-6 . (j+3(j- 2) . j?-+3 5 hm -=；=bm = ha =-工r_2 工工一国r-t2(ff + 3)(ff-2)工f?界+2 4(2) 0621计算愿击答工,.,.行-炖+9 3解：一'：'：-:.二0例3. w型有理化约分求极限(1) 0316计算悭留答4解:. im LLx-fl (a-2)(77+ ->2)1.,/2jc +1 3(2) 9516据而罚答百#77=飞辰n期

27、产 司的解：一二心心小：.，：力 , 取一蹴+扬-Hm R->4 (1=4(心工*1+司. 2(72+75) =Jim 工4 (<27+1 +3)_逑_逑 例4.当时求三型的极限(1) 0308'一般地，有F 小/!应jfi 4"4/ 工-国号开万+或小”+、hm ,尸=hm1时3工/中翻 XTR1-4 Hm (1-4)*丹_ 284.13+» Lltd 0 + ) N L x例5.用重要极限I求极限,aox 后.句)_11 0416计算叱答解析解一:令一足K TO0Pl T 口m -L巴| " m _ L2口黑 R4网网用成立的是(1) 96

28、03下列极限中,A bin jIL T- = l 已A. B., tail N _. tftfL K hm* aC. D.0006-答B1J用牛：,- ”：, ” -例6.用重要极限II求极限tLTU=tf. |而 fl.p(力产Q 机由河能片口：FD (1 + 川工5】加(1+-F =* Gmfl *户=叽Id解二：1而0+竽-产 1° ¥ Bbm(3 +dx)a =*03060601(2) 0118计算一产答卜 解：例7.用函数的连续性求极限0407小分一答0解：丁- 1力口+尸)例8.用等价无穷小代换定理求极限I - eos Jc0317 =*0 j + aii k答

29、0解：当f15-百口原式" hm - ! Lm -i 0JT-sO工4 5U1工 ±TT0刖看例9.求分段函数在分段点处的极限(1) 0307设则加在的左极限Zr+L z <Ln(+3r), riObin /(x)w iflT答1解析"叫曲"型wo*/(H+q)=】im /(j)= bm lii<l+2)=0(2) 0406设川/ + L彳”，X ,则鸣侬答1r 扇力IC. I /(O-O) = 1itfL /(>)= biil (> +13 = 1解析 e / p + Q) = Bi 印 J (sr) H li.M,TO、/一处

30、=/抑十仍=1lim /(« 上一口例10.求极限的反问题(1)已知崛*7则常数”解析解法一："期+.如口，即+, 解法二：令记"-Ib八J期一 I止得I ,解得I.解法三：(洛必达法则)理言由答,即，得”.(2)若曾总署7求a,b的值.0解析«型未定式.当I日寸，四/7"-1 .令于是斤十淑+白r 万一口"4加 1+jw .箕im -后-',得.即1+工工+占="以上+为=1 + 4工-5 ,所以 .1- sino-j ： 寸04021=(答：ln20017回当，贝(J k=/也丫小璋=e=产解析山的-吟-一八；-

31、la0=ln23 = 3bi2前面我们讲的内容：极限的概念；极限的性质；极限的运算法则；两个重要极限；无穷小量、无穷大量的概念；无穷小量的性质以及无穷小量阶的比较。第二节函数的连续性复习考试要求1 .理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数(含分段函数)在一点处连续性的方法。2 .会求函数的间断点。3 .掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。4 .理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。主要知识内容(一)函数连续的概念1.函数在点x0处连续定义1设函数y=f (x)在点x0的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变

32、量x (初值为x0)趋近于0时，相应的函数的改变量 y也趋近于0,即!如他J叫/寸人)-/ D则称函数y=f (x)在点x0处连续。函数y=f (x)在点x0连续也可作如下定义：定义2设函数y=f (x)在点x0的某个邻域内有定义，如果当 xx0时，函数y=f (x) 的极限值存在，且等于x0处的函数值f (x0),即1 .定义3设函数y=f (x),如果"则称函数f (x)在点x0处左连续；如果蚂二所小 则称函数f (x)在点x0处右连续。由上述定义2可知如果函数y=f (x)在点x0处连 续，则f (x)在点x0处左连续也右连续。2 .函数在区间a , b上连续定义如果函数f (

33、x)在闭区间a , b上的每一点x处都连续，则称f (x)在闭区间a , b上连续，并称f (x)为a, b上的连续函数。这里，f (x)在左端点a连续，是指满足关系：在右端点b连续，是指满足关 系：器内即f (x)在左端点a处是右连续，在右端点b处是左连续。可以证明：初等函数在其定义的区间内都连续。3 .函数的间断点定义如果函数f (x)在点x0处不连续则称点x0为f (x) 一个间断点。由函数在某点连续的定义可知，若 f (x)在点x0处有下列三种情况之一：(1)在点x0处，f (x)没有定义；(2)在点x0处，f (x)的极限不存在；(3)虽然在点x0处f (x)有定义，且始欣存在，但则

34、点x0是f (x) 一个间断点。 邛gZ & ME ".，、一好皿，则f (x)在A.x=0,x=1处都间断B.x=0,x=1处都连续C.x=0处间断，x=1处连续D.x=0处连续，x=1处间断解：x=0 处，f (0) =0/tp-OJ-1/(0+n)-f 7。-0)斗(0+0)x=0为f (x)的间断点x=1 处，f ( 1) =1lira门力哑工-1+ 0) - Im f(力 liig -j)- a-fci!r11T1rf (1-0) =f (1+0) =f (1)f (x)在x=1处连续答案C9703设'"：二:，在x=0处连续，则k等于A.0 B.

35、 C. D.2分析：f (0) =k1. 3 工. 日-普而。2)心商点那穴虾姐-T答案Bb m三口例30209设"刈在x=0处连续，则a=解：f (0) =e0=1止旧年/电啊1 /(0 * D - lid i £厘国+ E) 口.f (0) =f (0-0) =f (0+0).a=1 答案1(二)函数在一点处连续的性质由于函数的连续性是通过极限来定义的，因而由极限的运算法则，可以得到下列连续 函数的性质。定理1.12 (四则运算)设函数f (x) , g (x)在x0处均连续，则(1) f (x) 士 g (x)在 x0 处连续(2) f (x) - g (x)在 x0

36、 处连续(3)若g (x0) #0,则盥在x0处连续。定理1.13 (复合函数的连续性)设函数u=g (x)在x=x0处连续，y=f (u)在u0=g (x0) 处连续，则复合函数y=fg (x)在乂=乂0处连续。在求复合函数的极限时，如果u=g (x),在x0处极限存在，又y=f (u)在对应的"吃 处连续，则极限符号可以与函数符号交换。即蛀兀圻加;即/!始则凯月引尚一71既就喇7卬港理114 (反函数的连续性)设函数 y=f (x)在某区间上连续，且严格单调增加(或严格单调减少)，则它的反函数x=f-1 (y)也在对应区间上连续，且严格单调增加(或 严格单调减少)。(三)闭区间上连续函数的性质在闭区间a , b上连续的函数f (x),有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。定理1.15 (有界性定理)如果函数f (x)在闭区间a, b上连续，则f (x)必在a , b上有界。定理1.16 (最大值和最小值定理)如果函数 f (x)在闭区