两个重要极限练习题

1、1-7两个重要极限练习题教学过程:sinxx(弧度)0.500.100.050.040.030.02.0.95850.99830.99960.99970.99980.9999.弓I入：考察极限x0时函数的变化趋势:问题1:观察当xlimx 0当x取正值趋近于0时，也x 1,即lim 型2=1； xx 0 x当x取负值趋近于 0时，-x 0, -x>0, sin(-x)>0 .于limx 0sinxsin( x) lim - x 0 ( x)综上所述，得_.sin x.lim 1 -x 0 xlim® 1的特点：x 0 x(1)它是2”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到

2、的结果是 0(2)在分式中同时出现三角函数和x的哥.推广如果lim (x)=0,(a可以是有限数xo,或), x alimx asin xxlimx 0sin xx求limx 0tanx.tanx lim=limx 0 x x 0sin xcosxxsin x lim 一 x 0 xsinx lim 一cosxlimx 0 cosx1 1 1-sintt3-sin3x 小 lim-x 0 xsin3x lim= limx 0 x x 01 cosx手 limx 0 x23sin 3x 人(令 3xt)3x1 cosx呵二呵2 x 2sin2-2, 2 x sin 一 lim 2 x 0 X c

3、吟22limx sin 2x2x sin 一2x2arcsinx小 lim-x 0 x0 时 t 0.令 arcsinx=t,贝U x=sint 且所以arcsinx= lim 1 t 0 sinttanx sin x求lim3x 0 x3tanx sin xsinx .sinx= lim cosx _x 0 x31 cosx sinx limcO2x 0 x3考察极限lim (1x_sinx 1=lim limx 0 x x 0 cosx.1 cosxlim5x 0 x21 x-)e xx1210100010000100000100000.22.252.5942.7172.71812.718

4、22.71828.当x取正值并无限增大时，(1工)x是逐渐增大的，但是不论x如何大，(11)x的值问题2:观察当x+时函数的变化趋势:总不会超过3.实际上如果继续增大x.即当x +时，可以验证(1)x是趋近于一个确定x的无理数e=.当x -时，函数(1 )x有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于e.x综上所述，得lim (1 1)x=e.lim (1xx-)x=e的特点: x(1) lim(1+无穷小)无穷大案；(2) “无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数.推广 (1 )若lim (x)= ,(a可以是有限数xo,或)，则 x a1(x)1(x)lim(1 )() lim 1 =e;a

5、(x) x(x)(2)若lim (x)=0,(a可以是有限数xo,或),则x alim 1x a11x F lim 1 x -=e.x 0变形 令1=t,则x时t 0,代入后得到 x1lim 1 t t et 0如果在形式上分别对底和哥求极限，得到的是不确定的结果1,因此通常称之为定型.例6 求 lim(1 2)x. x x解则 x = - 2 . t1t)” 2=e 2.1u) u (1 u)2u)2=e -1.当x时t 0,于是2 x呵(1:=呵(1 t)求 lim(U)x .2 x解令 3_x =1 + u ,则 x =2 1 . 2 xu当x时u 0,13 x v2 -于是 lim (

6、-) = lim(1 u) uljm(11= lim(1 u)u 1 lim (1u 0u 0例8 求网(1 tanx)c0tx.1解 设 t=tanx,则一 =cotx. t当x 0时t 0,1于是 lim(1 tanx)cotx = lim(1 t)t =e. x 0t 0小结：两个重要极限在求极限过程中有着很重要的作用，特别要注意其变式。 作业：见首页§2-1导数的概念教学过程：引入：一、两个实例实例1瞬时速度考察质点的自由落体运动.真空中，质点在时刻 t=0到时刻t这一时间段内下落的路程 s由公式s = lgt2来确定.现在来求t = 1秒这一时刻质点的速度.2当t很小时，从

7、1秒到1+ t秒这段时间内，质点运动的速度变化不大，可以这段时间 内的平均速度作为质点在 t=1时速度的近似.t (s)s(m)-s (m/s) t0.11.02910.290.010.098499.8490.0010.00980499.80490.00010.0009800499.800490.000010.000098000499.800049上表看出，平均速度三随着t变化而变化，当 t越小时，越接近于一个定值一9.8m/s .考察下列各式:s=-g (1+ t)2- 1 g 12= 1 g2 t+( t)2, 2221=-g2_2.t),2 t ( t) =1g(2+t 2思考：当t越来

8、越接近于0时，二越来越接近于1秒时的 速度”.现在取t 0的极限,t得s 1lim lim -g 2 t g=9.8(m/s).0 t02为质点在t =1秒时速度为瞬时速度.一般地，设质点的位移规律是 s=f(t),在时刻t时时间有改变量t, s相应的改变量为 s=f(t+ t)-f(t),在时间段t到t+ t内的平均速度为 s f t t f tv = - ，tt对平均速度取t0的极限，得v(t)= lim t 0 tlim flt 0称v(t)为时刻t的瞬时速。研究类似的例子实例2曲线的切线设方程为y=f(x)曲线为L.其上一点A的坐标为(X0,f(x0).在曲线上点A附近另取一点B,它的

9、坐标是(X0+ x, f(X0+ x),直线 AB是曲线的割线，它的倾斜角记作.由图中的Rt ACB ,可知割线 AB的斜率tan=CBACy f Xo x f Xo xx在数量上，它表示当自变量从 X变到X+ X时函数f (x) 关于变量X的平均变化率(增长率或减小率).现在让点B沿着曲线L趋向于点A,此时x 0, 过点A的割线AB如果也能趋向于一个极限位置一一 直线AT,我们就称L在点A处存在切线AT.记AT 的倾斜角为，则 为 的极限，若 90 ,得切线AT 的斜率为tan = limx 0tan = lim y x 0 xlim f(X0x) f(Xo)x 0X在数量上，它表示函数 f

10、(x)在X处的变化率.上述两个实例，虽然表达问题的函数形式y=f(x)和自变量X具体内容不同，但本质都是要求函数y关于自变量x在某一点x处的变化率.1.自变量X作微小变化X,求出函数在自变量这个段内的平均变化率作为点XX处变化率的近似;2,对y求x 0的极限m _y ,若它存在，这个极限即为点x处变化率的的精确值.X 0 x二、导数的定义1 .函数在一点处可导的概念定义 设函数y=f(x)在xo的某个邻域内有定义.对应于自变量 x在xo处有改变量x, 函数y =f(x)相应的改变量为y=f(xo+ x)-f(xo),若这两个改变量的比当x 0时存在极限，我们就称函数y=f(x)在点xo处可导，

11、并把这一极限称为函数y=f(x)在点xo处的导数(或变化率),记作y |x x0或f (xo)或 dy-lx x° 或 df (x) |x X。.即dx 0 dx °y |x x。=f (x0)= lim limfx-)-f-0)(2-1)x 0 x x 0x比值表示函数y=f(x)在xo到xo+ x之间的平均变化率，导数 y |x xo则表示了函数x在点xo处的变化率，它反映了函数y=f(x)在点xo处的变化的快慢.如果当x0时的极限不存在，我们就称函数y=f(x)在点xo处不可导或导数不存在.在定义中，若设 x=xo+ x ,则(2-1)可写成f (xo)=Mof x

12、f x0(2-2)x xo根据导数的定义，求函数 y =f(x)在点xo处的导数的步骤如下:第一步 求函数的改变量 y=f(xo+ x)-f(xo)；第二步求比值,但一x) f(xo);xx第三步 求极限f (xo)= lim x 0 x例1求y=f(x)=x2在点x=2处的导数.y=f(2+ x)-f(2)=(2+ x)2-22=4 x+( x)2；. y0 -=lxmo(4+ x)=4./2y 4 x x ,- =4+ x;所以yx xx=2=4 .lim 3x丛存在时，称其极限值为函数y=f(x)在点xo处的左导数，记作x 0xf (x0)；当lim 匚axf x0存在时,称其极限值为函

13、数y=f(x)在点xo处的右导数，X 0x记作f (x0).据极限与左、右极限之间的关系f (xo)存在 f (xo) ,f (xo),且 f (xo) = f (xo) = f (xo).2,导函数的概念如果函数y=f(x)在开区间(a ,b)内每一点处都可导， 就称函数y=f(x)在开区间(a,b)内可 导.这时，对开区间(a,b)内每一个确定的值 xo都有对应着一个确定的导数 f (xo),这样就在 开区间(a,b)内，构成一个新的函数，我们把这一新的函数称为f(x)的导函数，记作等f (x)或y等.根据导数定义，就可得出导函数yf (x)=y = lim -x 0 x导函数也简称为导数

14、.limx 0注意 (1 ) f (x)是x的函数，而f (Xo)是一个数值(2) f(x)在点处白导数f (xo)就是导函数f (x)在点xo处的函数值.例2求y=C (C为常数)的导数.因为 y=C-C=0, y =0,所以x x(C) =0常数的导数恒等于零).3 求 y=xn(n N, x R)的导数.y = lim =0 .x 0 x因为 y =(x+ x)n-xn=nx n-1 x+Cr2xn-2(x)2+.+( x)n,从而有(2-3)y = nxn-1 +C2xn-2 x+.+( x)n-1, x则0(xn)=nxxn -1=则0-1z-2-2n-1-1nxn + Cn xnx

15、+.+( x) = nx n可以证明，一般的募函数(x ) = x -1 .一11例如(.x ) =(x 2) =-x 72y=x , ( R, x>0)的导数为 -4= ； (-) =(x-1) =-x-2=-：2.x xx例 4 y =sinx, (x R» 的导数.解上二则xx) sinx，在§ 1-7中已经求得lim - =cosx, x 0 x即 (sinx) =cosx.用类似的方法可以求得y=cosx, (x R»的导数为(cosx) =-sinx.例 5 求 y=logax 的导数(a >0, a 1, x>0).解 对a=e、y

16、 =lnx的情况,1(lnx) = x在§ 1-7中已经求得为对一般的a,只要先用换底公式得y=logax=-ln-x ,以下与§ 1-7完全相同推导，可得 ln a1(log ax) = x ln a三、导数的几何意义方程为y=f(x)的曲线，在点A(xo,f(xo)处存在非垂直切线AT的充分必要条件是f(x)在x0存在导数f (x0),且AT的斜率k=f (x0).导数的几何意义函数 y=f(x)在xo处的导数f (xo),是函数图象在点(x0,f(x。)处切线的斜率，另一方面也可立即得到切线的方程为y-f (x 0)=f (x 0)(x-x 0)过切点A (x0,f(

17、x0)且垂直于切线的直线，称为曲线当切线非水平(即f (x0) 0)时的法线方程为y -f (x 0)=- -1 (x -x0)(2-4)y=f(x)在点A (xo,f(xo)处的法线，则f (x。)例6求曲线y=sinx在点()处的切线和法线方程.(2-5)解 (sinx)=cosxx "6所求的切线和法线方程为6 2-<3 =x32y-1 = i3(x-),法线方程(x- -).例7 求曲线y=lnx平行于直线y =2x的切线方程.解 设切点为A(xo, yo),则曲线在点 A处的切线的斜率为 y (xo),y (x0)=(ln x)xx0=J因为切线平行于直线 y =2x

18、,所以工=2,即xo= 1 ;又切点位于曲线上,1因而 yo=ln =-ln2 .2故所求的切线方程为y+ln2=2(x-),即 y=2x-1-ln2 .2四、可导和连续的关系如果函数y =f(x)在点x0处可导，则存在极限y=f (x0),贝U =f (x0)+ ( lim =0),或 y = f (xo) x+ x 0x ( lim =0),x 0所以 lim y= lim f (x°) x+ x=0.x 0 x 0这表明函数y=f(x)在点x0处连续.但y=f(x)在点x0处连续，在x0处不一定是可导的.例如：(1 ) y=|x庇x=0处都连续但却不可导.只是切线是垂制一2换元

19、积分法教学过程复习引入1 .不定积分的概念；2 .不定积分的基本公式和性质。新课：一、第一类换元积分法例如：cos2xdx ,积分基本公式中只有：cosxdx =sinx+C.为了应用这个公式，可进行如下变换：1 今2x=u1 u=2x回代 . 人cos2xdx cos2x -d (2x) _ cosudU sin u+C2 22lsin2 x+C, 2因为(lsin2 x+C) =cos2x,所以 cosxdx =lsin2 x+C 是正确的.22定理1 设f(u)具有原函数F(u),(x)是连续函数，那么f (x) (x)dx =F (x)+ C.证明思路因为F(u)是f(u)的一个原函数

20、，所以 F (u)=f(u);由复合函数的微分法得：d F (x)= F ( u)(x) dx =f (x)(x) dx ,所以 f (x) (x)dx =F (x)+ C.基本思想：作变量代换 u= (x), (d (x)=(x) dx),变原积分为 f(u)du ,利用已知f(u)的原函数是F(u)得到积分，称为 第一类换元积分法例 1 求(ax b)10dx, ( a, b 为常数).因为dx =1d(ax+b),所以 a令 ax+b应 u10du =au11+C 11a(ax b)10dx 1 (ax b)10d(ax b) au=ax+b 回代 工(ax+b)11+C.11a例 2

21、求 lnxdx . x1 .因为一dx =d (ln x),所以x原式=ln xd (ln x)令 1nx=u udu1 u2+C u=1nx 回代 1 (ln x) 2+C.222例 3 求 xex dx .解因为xdx =d (x2),所以2原式=12ex d(x2)令 x2=u 12eudu=eu+C2u=x2 回代 1 x2+c26dx x因为 xdx =1 d(x2)= - ld( a2-x2),所以 22原式二-11 d(a2 x 2)a2-x =- u 回代.227 ax+C.令 a2-x2=u i2-du =-疝+C u2 a2 x2学生思考：求 sinx2 dx .1+ cos x第一类换元积分法计算的关键：把被积表达式凑成两部分，一部分为d (x),另一部分为(x)的函数f (x),且f(u)的原函数易于求得.因此，第一类换元积分法又形象化地被称为凑微分法. 常用微分式：,1 -dx = _d(ax);a1dx =d (ln| x|)；x二dx =-d( 1);x2x1 dx =d (arcsin x) ；e1 x2sin xdx =d (cos x) ；cossec xdx =d (tan x)；cscsec xtan xdx =d (sec x)；11例 6 求cosdx -xx解原式=cosd(1