(完整版)平方差公式与完全平方公式知识点总结

1、乘法公式的复习 一、平方差公式 22 (a+b)(a-b)=a-b 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： 22yxxxyy 位置变化，?2222yyx xxyxy ? 符号变化，?222244yxyyxx ? 指数变化，?22babbaa ?2 系数变化，?2?4xyzmxyzm? ? 换式变化，?22mxyz ?22zmzxmy? ?2222mzmyzmzx? ?2222myzmzx ?2?xyzxyz? ? 增项变化，?22zxy ?2zyyxx ?222zyxxyxy ?222zxxyy 2?22yxxxyy? 连用公式变化， ?2222yxyx? ?44yx ?22zyxxyz ?

2、逆用公式变化，?xyzxyzxyzxyz? ? ?xyz?2?2 ?2?xyxz ? ?44 完全平方公式 活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式： 2?22b?aa?b?21.ab2?22bab?2ab2.?a? ?22?22b?a?ba?ba?3.222?ab?a?b4.?ab4?灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。 例1已知，求的值。 22b?a1ab2?a?b? 例2已知，求的值。 2)a?b(2?8ab?a?b解： 222222?(a?(ab)b?)baba?2?ab?b

3、?a2 = 2222)?(a?a(?b)?(ab)?b(a?)babab44， 22?a?b)(56248?2a8?bab? 例3 已知，求的值。 225ab?a?b?4，b?a2? 解：222265?2?2aba?b4?ba?三、学习乘法公式应注意的问题 （一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数” 22xx-5) (-2-5)(2 例1 计算2x”符号相反，因而“”相同，“2-5” 分析：本题两个因式中“-5222bxabababa)(中的- )=，而“-2”则是公式中的是公式(+ 22ba 计算(-+4)例2 2222aaaababb，时，“+2-=分析：运用公式 (+”就是公式中的

4、)22babbb”是公)；若将题目变形为(44-时，则“4”就是公式中的2baa（解略） 式中的”就是公式中的，而“ （二）、注意为使用公式创造条件 xyzxyz+5)-3 例计算(2 +-+5)(2 x”、2但注意观察，两个因式中的“ 分析：粗看不能运用公式计算，yz”两项异号，因而，可运用添括号的技5”两项同号，“”、“巧使原式变形为符合平方差公式的形式 248+1)+1)(2(2+1)(2 例5 计算 +1)(2 分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），则可运用公式，使问题化繁为简 （三）、注意公式的推广 222baabab，可推广得到：=+2)计算多项式的平方，

5、由(+2222abaccacbbcab)= +2+2(+2+ 可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍 2yx (26 计算-3)+ 例222xyyxyx(-3) (-3)+2·+2·2 解：原式=(22)·+·+(-3)+222xyxyyx+-12 +9+4 =4-6 （四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式 2yxyyxx的值()7 已知：-2+2 =7，=6，求例 22baababab 计算(2+3)+(4)-2(2)+3)(5-5-410 例 分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，则运算更为

6、简便 四、怎样熟练运用公式： 熟悉常见的几种变化 有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点 常见的几种变化是：xyyxxy的位置后即3531、位置变化 如（3和+5）交换）（5可用平方差公式计算了 mnmnmnm2（）变为（227）（2+772、符号变化 如（n）后就可用平方差公式求解了（思考：不变或不这样变，7可以吗？） 22等分别变为（1002）（ 数字变化如98×102，99100+2，91），3、22后就能够用乘法公式加以解答了 90+1），（1001nnnnmmmm2）+）（2（）变为24、系数变化 如（4

7、（+2） 2444后即可用平方差公式进行计算了 （四）、注意公式的灵活运用 有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以2222aa，若分别展开后再相乘，使计算更简便如计算（1）+1）·（则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便即2224284aaaaa+12=1） =（原式=（1+1）（）对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意111）（111）逆向（从右到左）运用如计算（1（）（ 22243211）（1），若分别算出各因式的值后再行相乘，不仅计算繁难， 22109而且容易出错若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式，则可巧解本题

8、111111）（1+）（1）（1+）××（1即原式=（1）（1+） 10223310111111113249×××××× =×= 2010231010223有时有些问题不能直接用乘法公式解决，而要用到乘法公式的变222222ababbabaabab+2乘法公式的变式主要有：式，+=（+）2，+（=） 等用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效 2222nnmnnmmnmm的值，如已知+=7， =18，求+ 面对这样的问题就可用上述变式来解， 2222mnnmmn2×（18）=49+36=85即2

9、+，=（=7+ ）2222mnmmnmnn3×（18）3+ =103=7= （+ ） 下列各题，难不倒你吧？！ 11122aaa）的值2）（+ =5，求（1）（+1、若， 2aaa248163264+1）（2）（2+12）（+1+1）（2）+1（2）+12+12、求（）（2+1的末位数字 （答案：1.（1）23；（2）212. 6 ） 五、乘法公式应用的五个层次 2222， 2ab(a，±b)=ab±b)(a乘法公式：(ab)=ab2233b)=a ±±(ab)(aab±b 第一层次正用 即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套

10、用 例1计算 (2xy)(2xy) 第二层次逆用，即将这些公式反过来进行逆向使用 例2计算 第三层次活用 ：根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式；有时根据需要创造条件，灵活应用公式 2481)11)(21)(2化简：例3(21)(2 分析直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规律，如果再增添一个因式“21”便可连续应用平方差公式，从而问题迎刃而解 2481)1)(21 1)(2解原式=(21)(21)(2224816 1)(21=2=(21)(21)(21)第四层次变用 ：解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式222333b)3ab(a=(a2ab，ab的一些恒等变形式，如abb

11、)=(ab)等，则求解十分简单、明快 22的值 2bab=9，ab=14，求2a例5已知22222ab=2(9b)2b=2(a解： ab=9，ab=14，2a2·14)=106， 22222=a(a2abbb)第五层次综合后用 ：将(ab)和=a2综合，b 2ab222222 ；=4abb)(ab)(a；)b=2(ab)(ab) (a可得 合理地利用这些公式处理某些问题显得等， 新颖、简捷 5)(2xyz5)z例6计算：(2xy解：原式112 2(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)-=(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)4422222 z)z=4x20x25y2yz=(2

12、x5)(y 乘法公式的使用技巧： 提出负号：对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免 负号多带来的麻烦。 用乘法公式计算：例1、 运2 ）(-2m-1)（(-1+3x)(-1-3x)； 2）（1 改变顺序：运用交换律、结合律，调整因式或因式中各项的排. 列顺序，可以使公式的特征更加明显 用乘法公式计算：2、 运例a1112+1/4)(x+1/2) ）(x-1/2)(x ); (（1）a-b )(-b -（23443 逆用公式将幂的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得nnn22等等，在解,=(ab)ba，逆用积的乘方公式，得 = (a+b)(a-b)-ba 题时常会收到事半功倍的

13、效果。 算：例3、 计2 2222 2(a+1/2) ; （2）(a-1/2)+1/4)(x/2+5)（1）(a-(x/2-5)合理分组：对于只有符号不同的两个三项式相乘，一般先将完全相同的项调到各因式的前面，视为一组；符号相反的项放在后面， 视为另一组；再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算。 (2x+y-z+5)(2x-y+z+5). (x+y+1)(1-x-y); （2）计算：（1） 先提公因式，再用公式yy? 2. 计算： 例?4x8x?42的系数成x 简析：通过观察、比较，不难发现，两个多项式中的的系数也成倍数，而且存在相同的倍数关系，若将第一个多y倍数，y?，则可利用乘法公式。 出来，变为项式中各项提公因数2?x24?4 三. 先分项，再用公式 ? 3. 计算： 例6?32x?y32x?y?2 简析：两个多项中似乎没多大联系，但先从相同未知数的系数着手观察，不难发现，x的系数相同，y的系数互为相反数，符合乘法公式。进而分析如何将常数进行变化。若将2分解成4与的和，2?将6分解成4与2的和，再分组，则可应用公式展开。 . 先