(完整版)广东工业大学线性代数试卷A卷1(含答案)

1、 ( )广东工业大学考试试卷 100 分 试卷满分线 性 代 数课程名称: ：名 ) 一周 星期月 15 日 (第 18 : 2009考试时间年 6 姓 总分 十 六 七八 九号 一 二 三 四 五 题 评卷得分 线 评卷签名 复核得分 复核签名 ： 号 分）分，共20填空题（每小题一、 4学 1?11? ?111? ?,?22X0 。 则X = 、若1? ? 011 ? 011? ?订 001? ? *1?* A为A?A)(0A?22 。，其中 的伴随矩阵，则2、设 ? ? 534 ? 、设向量组3 ： ?TTT业 1,?2?,?3?1,k4?,?1,4,3, 312 专 ? )(,k 秩=

2、_=2，则。 装312 ?A 。 1A 4、设4阶方阵的4个特征值为3，1，2，则 ?0?x?x?x? 312 ? ?0x?x?x? 5、已知齐次线性方程组满足_ 有非零解，则。 ? 321 ? 0x?x?x? 321 ：院 15分）二、选择题（每小题3分，共 学. 、排列671298435的逆序数为 119 （D） 18 C ）（ ）（A16 B17 （） 页，第广东工业大学试卷用纸，共101页 2、设行列式 315?21111?AD?A?35A?AA?. ，则2 4442414370?831?35416 D） （） 1 （B） 1 （CA（）0 n. 阶方阵，下列等式正确的是 3、设A、B

3、是 22)A?B?(A?B)(?AB ） （B （A）AB=BA 21?112B(A?B)?A?A?A （ （C）D） ?,?,0?AXbAX? 的一个解， 的基础解系，则4、设 是非齐次方程组是0r12. ?,L 线性相关。(A) r01?,L 线性无关。 （B）r01?,Lb?AX 的线性组合是 （C）的解。 r10?,L,0AX? 的解。（D）的线性组合是 r01 . 阶方阵与对角阵相似的充要条件是nA、5; 有个互异特征值(A) 是实对称阵; (B) nAA; 有个线性无关的特征向量(C)的特征向量两两正交. (D) nAA 11?1?a1?a111?.,2A0a?其中aa?|A. 求

4、（三、10分）设n12?11a1nA1T?1?CA?E?CB)(2C，BA， ，试求矩阵满足方程四、（10分）设4阶方阵 ，其中12?31?2120?121200?30?C,B?20210001?10010000? ?0?x?(1)xx?312?31?(x?)xx? 10（五、分）讨论为何值时，方程组?312?x1(?x?x)?132 页2页，第10广东工业大学试卷用纸，共 有无穷多解？并在此时求出其通解。无解？ (3) (1) 有唯一解？ (2) ?k?,bb?3? 线性无关，向量组，中的向量组 R六、（10分）已知,312321212?k?b? 值。线性相关，求k1330?22?T?11?

5、22A?APPAP?PP 分）设七、（，求一个正交矩阵使为一个对角矩阵。11?00?2?) 分7分，共14八、证明题(每小题?nA? ，3是个特征向量，它们的特征值不相等，记阶方阵、设1的,321312?A 不是的特征向量。证明nn?(?B)A(A,B)0AB? r，则r2、设。为阶方阵，若 页3页，第10广东工业大学试卷用纸，共 广东工业大学试卷参考答案及评分标准 ( ) 课程名称: 线性代数 。 考试时间: 2009年 6 月 15 日 (第 18 周 星期 一 ) 二、 填空题（每小题4分，共20分） 141?411?1333?或者 、1?1211321?333?1?00?10001?1

6、11?或者2002、2 ?5510?543?132?2510?3 3、6 4、?1 5、 二、选择题（每小题3分，共15分） 1 2 3 4 5 D C C A B 三、（10分）计算行列式： a1?1?11c?c,c?c?11?a1 31222?D解：n?c,c?43?111?an0?0a00110?0a10a?22010a?a?033按最后一列01?00a0? 分54展开（由下往上）?aa?0100?n?1n?10?00a0a?1nn 页4页，第10广东工业大学试卷用纸，共0000a0?100?aa?00220?00a0?a33 ?0?a0000)aa?a)(a(141n?21n?0000

7、?aa?2n?2n?a00?00?0n000aa?a00?00?21200?a0a0a?a00?3223?aa0a000?0?00433 ?a?a00a00?00?a1?nnn?n?11?1a0000?0a0?0?0nn aa?a?a?aa?a)aa?aa(?1?a)(n1n223n?1n?3122n?nn1?)a)(1?(aa 分10n12a1?ii 注：本题方法不唯一，根据学生的做题步骤酌情给分。1T?1C?B(2E?C)A 四、（10分）解：由，T，?E?B)A(2C ，得2分两边同时左乘C4231?3012?)?B(2C 3分而?2100?1000?1?1T)B2C?B)A?(?(2C

8、 ，得到 两边再同时左乘?作行的初等变换T1?AE,E,(2C?B)?B2C?,E? 或者对4?100210001303214?r?r243?r?3r30?0100201000123142?r4r? 41?2?001001001010200?1010000000011000? 页5页，第10广东工业大学试卷用纸，共220001?01?3?0201012?12?100001rr?2?10001?21032?rr?2 ?r?r321?31?20?100100210?00100?1010000010000100? 7分1?201?1?201?T?A? 8分 ?2?001?1000? 0100?010

9、?2?A 分10即?01?21?1?201? 五、（10分）解：?11?12?)(1?A?131? 分3?111?0且?3 当分时，方程组有唯一解501111110?r?311B?1?00010?时，增广矩阵为当 ?00001110?)(BA)?RR( 7分 , 方程组无解?3? 当时，增广矩阵为32?11?10?21?2?1?1321 r 0B?1?2?(B)(A)?RR ， ?0301?21?00? ，方程组有无穷多解TT)0,?2,1,1)?(?1(x?c1, 10分解为，（c为任意常数）?， 分）解： 设存在三个实数，使六、（10312?k?bb?b?k132132223331211

10、分，3?0?k?k?323131122 页6页，第10广东工业大学试卷用纸，共? 由线性无关，,312?k0?01?k?131?0?1?k?0?0?k 得，?212?1001?332?,b,b,b, 相关，所以因为分有非零解，7313212 分，得。10故系数行列式=01k?022?12A?2分）解：（11七、 ?00?2? 的特征值 求A 第一步 ?0?2?2?2?1E?2A?2?14?=0 ?00?2?.2?1得,?4,? 分3312?的特征向量求出Ax?第二步由A?0E, i?得0E,x4,由?A?4对? 120?2x?2x?21?.?02?3x?2x2x 分4解之得基础解系?1321?

11、10?2x?4x?32?得,?A?E0对?1,由x 220x?x?2?21?.?x?01x2?2 解之得基础解系5分?231?2?0?2x?x?23?得,?2A?E0对?2,由x 31?0x4x?2?21?.02?2x?3x?x?2 分解之得基础解系6?3123?2?022x?x?32 将特征向量正交化 第三步 页7页，第10广东工业大学试卷用纸，共?,的3,个不同特征值,是属于A由于21312 ?.故它们必两两正交的特征向量,3 将特征向量单位化第四步 ?i.,31?,2,i?令 i?i331232?.2,33,?1得3?2 分9?312?32?323?1?12?2?1?,2,?,作P?21 ?3123?22?1?004?1?.001则 PAP? 分11?20?0?) 分分，共14八、证明题(每小题7 、证明：反证法1?AA?AA?A?A 假设，322311331122?A 又： 321132213?0? 从而：分，4331221 由于特征值各不相等，所以? 线性无关，,312?0? 7所以的分，矛盾。312132 时，基础解系为个，由2、证明：因为线性方程组，当秩0?AxrA?rn? 0)?Ab,?,Ab(