(完整版)椭圆与双曲线性质有关性质推论归纳共92条

1、椭圆与双曲线的对偶性质92条 椭 圆 |PF|?|PF|?2a 12122yx?1 标准方程：2 22ab|PF|1?e?1 3 d14点P处的切线PT平分PFF在点P处的外角. 215PT平分PFF在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的21圆，除去长轴的两个端点. 6以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 7以焦点半径PF为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 18设A、A为椭圆的左、右顶点，则PFF在边PF（或PF）上的旁切圆，必与AA所在21211122的直线切于A（或A）. 1222yx?1A(?a,0)A(a,0)，与）的两个顶点为y9椭圆轴平行的直线交椭

2、圆,b（ao 2122ab22yx?1. AP交点的轨迹方程是于PP时AP与211221、 22ab22xxyyyx001?P(Px,y)?1?. 上，则过的椭圆的切线方程是在椭圆10若 00002222abab22yx?1),yP(x外 11若，则过Po作椭圆的两条切线切点为P、P在椭圆，则切点21 00022abxxyy00?1?. 的直线方程是弦PP21 22ab22yx?1的不平行于对称轴且过原点的弦，12AB是椭圆M为AB的中点，则 22ab2bk?k?. ABOM2a22yx?1)(x,yP内，则被Po所若平分的中点在椭圆弦的方程是13 00022ab22yyyxxx0000?.

3、2222baab2222xxyyyyxx00?1?)x,yP(. 的弦中点的轨迹方程是若内，在椭圆则过Po14 000222222ababab22yx?1（ab0）上对中若PQ是椭圆心张直角的弦，则15 22ab1111?(r?|OP|,r?|OQ|). 212222brra2122yx?1Ax?By?1(AB?0),ba若椭圆16（所在直线方程为L上中心张直角的弦0） 22ab 1 2442B2a?Ab1122L?BA?. 则(1) ;(2) 222222aA?bBab22ba?22222222222(ab)bx?ay?CCby?abx?a(i)：, （a17给定椭圆：b0）则 2122ba

4、?CCP)x,y(点定上一上任意给定的点弦必须经过,它的任一直角对210002222baa?b?x,?y)(M(. 002222a?bba?''''''Py)P(x,CCMM点. ,在使得(ii)对上存在唯一的点上任一点的任一直角弦都经过00001222yx?1)yP(x, (a0,. b0)上一点，18设PP为曲线C的动弦,为椭圆（或圆）C:21 00022abM(mx,?my)(m?1)的充要条件是则直线P通过定点P且弦PP, PP斜率存在，记为k, k, 201211 20002b?m1k?k?. 2121?ma22yx?1A(x,y)任意

5、作两条倾斜角互补的直线交椭圆 (a0, b19过椭圆0)上任一点 0022ab2xb0k?（常数）. 两点，则直线BC有定向且于B,C BC2ay022yx?1?PF?F，F，椭圆点P为椭圆上任意一点 (ab0)的左右焦点分别为F20 21 2122ab则椭圆的焦点角形的面积为 2?ba2222()P?btan,tanctanS?b，. PFF?22cc22122yx?1?F?PF, , 上异于长轴端点的任一点ab0）P21若为椭圆,F, F是焦点（ 21 2122ba?ca?F?PFtco?tan. ，则 1222a?c22yx1? ）的焦半径公式：22椭圆b0（a 22ba)x,y(,0)

6、Fc,0)M(?a?ex|MF|a?exF(?c|MF|). (, 0202001122yx?1（ab0）的左、右焦点分别为F23若椭圆、F，左准线为L，则当 21 22ab 2?1时，可在椭圆上求一点P，使得PF是Pe到对应准线距离d与PF的比例中项. 02122yx?1（ab0）上任一点,F,F为二焦点，A为椭圆内一定点，则24P为椭圆21 22ab2a?|AF|?|PA|?|PF|?2a?|AF|A,F,P三点共线时，等号成立. ,当且仅当211222yx?1y?k(x?x)l对称的充要条件是：25椭圆b（a0）上存在两点关于直线 022ab222)?ba(2x?. 0222a?bk26

7、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 2 27过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. ?cosax?28P是椭圆（ab0）上一点，则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是?sinby?12?e. 2?sin?12222yyxx?k(k?0,k?1)?1相交于与椭圆设A,B为椭圆上两点，其直线AB29 2222ababP,QAP?BQ. 则,22yx1?(?)22yx 22ba2m?1?,a）的弦中点轨迹方程为中，定长为2m（o在椭圆30m 2222?sincosab? 22ba22xbo?t

8、an?900?y. , 时其中,当 22ay22yx?1（abS为椭圆0）的通径，定长线段L的两端点A,B在椭圆上移动，31设 22ab2lac222?(x)?)yx,M(b?a(c?eSl?l时，有，AB记,|AB|=中点，则当);当是 00max0c2eaa 220)?(xS?l(x4b)?l?时，有,. min0max02b22yx22222?1Aa?Bb?C0?By?CAx?. 与直线32椭圆有公共点的充要条件是 22ab22)y(y(x?x)?00?1Ax?By?C?0有公共点线的充要条件是33椭圆与直 22ba22222)CBy?A(aAx?B?b. 0022yx?1（ab0设椭圆

9、34）的两个焦点为F、F,P（异于长轴端点）为椭圆上任意21 22ab?csin?F?P?FPF?F?PFFe?，则有. 一点，在PF, 中，记,F21 212211?a?sinsin222222bx?ay?ab（ab035经过椭圆）的长轴的两端点A和A的切线，与椭圆上任212|PA|?|PA|?b. P，则一点的切线相交于P和212122yx?1OP?OQ.且为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，（ab0），36已知椭圆O 22ab224ab1111S?22的最小值是3）|OP|;（;（1）（+|OQ|2的最大值为） OPQ?222222a?b|OP|OQ|ab22ba. 22ba?222222

10、baabx?y?是经过椭圆中b（是经过椭圆37MNa0）过焦点的任一弦，若AB2|MNaAB|?2. 的弦，则且平行于心OMN222222baxb?y?a的半弦b是经过椭圆38MNa（O0）焦点的任一弦，若过椭圆中心 3 2111?MNOP?. ，则 222b|a|MN|OPa22yx?1（ab0）,M(m,o) 39设椭圆或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点， 22ab过M引一条直线与椭圆相交于P、Q两点，则直线AP、AQ(AA为对称轴上的两顶点)的交点N2121 ,22bax?y?l)：上. (在直线或 mm40设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点

11、，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MFNF. 41过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A、A为椭圆长轴上的顶点，AP和AQ2121交于点M，AP和AQ交于点N，则MFNF. 1222yx?1y?kxl的共轭直42设椭圆方程0)的平行弦的中点必在直线：,则斜率为k(k 22ab2b''kk?xy?k. 线上,而且 2a22yx?1?,，直线,ABC、D为椭圆、CD所在直线的倾斜角分别为上四点43设A、B、 22ab2222?sin?|PB|bacos|PA|?AB与CD相交于P,且P不在椭圆上,则. 2222?sin|PD|b?cosa|PC

12、|?22yx?1?FPF的外F为椭圆的焦点，F）,点44已知椭圆P为其上一点, （ab02 1 2122abll于R、S，当P跑遍整个椭圆时，R、S（内）角平分线为形成的轨迹方程，作F、F分别垂直212222222222x?y?aby?(a?ce)(x?c)?(x?y?cx)?ce(x?c). (是?ll分别交的共轭直径所在的直线，AB为为的直径，45设ABC内接于椭圆AB，且?l相切的充要条件是D为EFCD与椭圆的中点于E和F，又D为. 上一点，则直线AC、BC22yx?1（ab0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的过椭圆46 22ab|PF|e?. 垂直平分线交x轴于P，则

13、 |MN|2222yxxb1?1?的直作一条斜率为0）上任一点，过Aa（b设47A（x,y）是椭圆11 222abay1 r,rrrd?ab. 分别是到椭圆两焦点的距离，则线L，又设d是原点到直线 L的距离, A21212222yxxy?1?10 b），一直线顺次与它们相（48已知椭圆0）和（ a 2222abab交于A、B、C、D四点，则AB=|CD. 22yx?1（ ab0）49已知椭圆 ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与 22ab2222b?b?aa?x?,0)xP(. x轴相交于点则, 00aa22yx?1（ ab0）上异于长轴端点的任一点,F点是椭圆P50设、F为其焦点

14、记21 22ab 4 2?b22?|PF|PF|?FPFS?btan. ，则(1).(2) 2121F?PF?cos1?22151设过椭圆的长轴上一点B（m,o）作直线与椭圆相交于P、Q两点，A为椭圆长轴的左顶x?n于M，N两点,于过B点的直线MN：则交点，连结AP和AQ分别相应2ama?o?90MBN?. 22)?mba(na?22yx?1（ ab0L是经过椭圆）长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是椭圆两52 22ab?arcsinsine?EPF?eLP?（当且个焦点，e是离心率,点或是锐角且，则，若ab|PH|?时取等号）仅当. c22yx?1P?L，,点e是离b0）的准线，A、53L

15、是椭圆B是椭圆的长轴两顶点（ a 22ab?EPF?arcsinsin?ee，轴的交点心率，H是L与Xc是半焦距，则（当是锐角且或ab|PH|?时取等号）. 且仅当 c22yx?1（ ab0）的准线，E、F54L是椭圆是两个焦点，H是L与x轴的交点，点 22ab22?earcsinsin?e?EPFLP?（当且,离心率为，e，半焦距为c，则或为锐角且b 22|PH|?a?c时取等号）. 仅当c22yx?1（ ab0），直线55已知椭圆L通过其右焦点F,且与椭圆相交于A、B两点，2 22ab222)?b(2a2b?|FA|?|FB|?（当且仅当AB连结起来，则B与椭圆左焦点Fx轴时右将A、1 1

16、12a边不等式取等号，当且仅当A、F、B三点共线时左边不等式取等号）. 122yx?1?PAB?, ）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，（ ab56设A、B是椭圆0 22ab2?|2abcos?|PA|?PBA?BPA(1)分别是椭圆的半焦距离心率，则有、,.(2) e，c 222?scoa?c22ba22?cot?Setan?tan?1. .(3) PAB?22ab?22yx1?、外部的）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）b0（ 是椭圆57设A、Ba 22ba2xxa?xx两点，则QP、的横坐标1）若过A点引直线与这椭圆相交于，（两点，且BABAo?PBA?QBA?180QBA?PBA?. 2）

17、若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则；（22yx?1（ a是椭圆b0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的设58A、B 22ab两点，（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，（若B P交椭圆于两点，则P、Q不关于2x?x?axxQBA?PBA?；（2，且x轴对称）若过B点引、，则点AB的横坐标、满足BABAo2x?x?a180PBA?QBA?. 、直线与这椭圆相交于PQ、则点,A且两点，B的横坐标满足BA 5 22yx'''1?QQAA,AAAQ与是与是椭圆的长轴的两个端点，59设垂直的弦，则直线 22ba22yx''1?AQ. 的交点P的

18、轨迹是双曲线 22ba22yx1?F则CDAB、的两条左焦点弦作互60过椭圆相垂直（ ab0）的 22ba222)?2(ab8ab?|CD|AB|?. 22a?ba22yxca?1?Mc为半焦距）的动点0）两焦点的距离之比等于（ ab61到椭圆 22bab222by?a)?(x. 的轨迹是姊妹圆22yxa?c?1（ ab0）的长轴两端点的距离之比等于（c为半焦距）的到椭圆62 22abbab222(x?)?y?(). 动点M的轨迹是姊妹圆 ee22yxa?c?1（ ab0）的两准线和x轴的交点的距离之比为63到椭圆（c为半焦 22abbab222(x?)?y?()（e为离心率）距）的动点的轨迹

19、是姊妹圆. 22ee22yx'?1A,A是它长轴的两个端点,且b64已知P是椭圆0）上一个动点，（ a 22ab222ybx''?1PAAQ?APAQ?. 点的轨迹方程是，则,Q 42aa65椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项. 22yx'?1P(x,y)A,A是椭圆上的点过P,066设椭圆）长轴的端点为作斜率（ ab 1122ab2xb''1A,AM,Mll?,于则的直线，过分别作垂直于长轴的直线交为 2ay1''2''bM|?|AM|AMMAAab2. 面积

20、的最小值是）四边形.（1）（222yx?1lEF的直轴相交于点的右准线0）已知椭圆67，过椭圆右焦点与x（ ab 22abClBC?x轴，则直线AC经过线段EF ,A、B两点点的中点在右准线. 上，且线与椭圆相交于22y)x(?a?1（ a0,b0）的两条互相垂直的弦，O为坐标原点，68OA、OB是椭圆 22ab2ab2,0)(必经过一个定点AB则（1）直线O A、O B为直径的两圆的另一个交点Q的轨.(2) 以 22a?b22abab222(x?)?y?()(x?0). 迹方程是 2222a?ba?b22ya)(x?1P(m,n)是椭圆是互相垂直的弦，、）上一个定点，（ab0P AP B69

21、 22ab 6 22222)a?)nab?m(a(?bb2,)(必经过一个定点AB1）直线P B为直径的两则（.（2）以P A、 2222a?ba?b圆的另一个交点Q的轨迹方程是 22224222)?(naabbab?anmb22(x?)?(y?)?x?my?n). 且( 2222222)(a?bba?b?a2bd?dL的距离分别为d、d，那么F、F到直线（1）如果一个椭圆短半轴长为，70b，焦点2121212?bd?dLL 直线L同侧和椭圆，且同侧 F直线L和椭圆相切.（2）、F在且F、F在21 21212?b?dd直线L异侧和椭圆相交. ，或F3相离，（）、F在L212122yx?1NN的

22、切线与过A是椭圆上的动点，过、b071AB是椭圆）的长轴，B（a 22ab222x?4ay?1(y?0)CD. 两点，则梯形ABDC的对角线的交点的切线交于M、的轨迹方程是2222yxxy?1?1)x,yP(过是椭圆0）的内部一定点，AB（72设点 ab为椭圆 002222ababP(x,y)的任一弦，当弦AB平行（定点或重合）于椭圆长轴所在直线时00222222)xb?(abay00(|PA|?|PB|)?.当弦AB垂直于长轴所在直线时, max2b222222)?(abyabx?00(|PA|?|PB|)?. min2b73椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.

23、 74椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 75椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c. 76椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c. 77椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). 注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. 78椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 79椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 80椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例. 81椭圆焦三角形中,半焦

24、距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例. 82椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行. 83椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长. 84椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点. 85椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e. 86椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线. 87椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为

25、该顶角的外角平分线. 88椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点. 22yx?1(a?0,b?0)PP分别作直点点有圆)知 89.已椭在括(包圆内上一,过线 22ab 7 bbxy?x?yQR,OOP. 为原点，则：及的平行线，与直线,分别交于 aa222222b|OR|?ON|?a|OQ|?|OM|?|. ）（1）2；bbx?y?l:y?xl:yxNM,P交及，90. 过平面上的轴于点作直线的平行线，分别交 21aa22yx2220)b?1(a?0,a?|OM|?|ON|Q,RP若，则.(2)（轴于1）若的轨迹方程是. 22ba22yx2

26、220)b?1(a?0,b|OQ|?|OR|?P. ，则的轨迹方程是 22ba22yx0)?1(a0,bPP引(包括圆在内)91. 点在第一象限的弧上任意一点，为椭圆过 22babx?y?yyxxOMQ?Q,M,NRONR?与，记轴、，交直线轴的平行线，交于轴、 轴于 aabS,S?SS?. ，则：的面积为 21212xxyyNM,PP，交直线轴的平行线，交轴、点为第一象限内一点，过轴于引轴、92. abbSS,?S?y?xSOMQR?Q,ONR?P，已知于的面积为与，记，则 的轨迹方程 21212a22yx0)?0,b1(?a?. 是 22ba 双曲线a?2?|PF|PF| 12122yx1

27、? 2标准方程： 22ba|PF11e? 3 d1. 处的内角F在点P处的切线4点PPT平分PF21点的轨迹是以长轴为直径的H处的内角，则焦点在直线PT上的射影PT平分PFF在点P521. 圆，除去长轴的两个端点. 为直径的圆必与对应准线相交6以焦点弦PQ. 为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切以焦点半径PF71所A）上的旁切圆，必与A在边PF（或PFF8设A、A为双曲线的左、右顶点，则PF21221112. A）A在的直线切于（或1222yx1?,0)a,0)aA(A(?轴平行的直线交,9双曲线y（a0,b0）的两个顶点为，与 2122ba22yx1?. 与AP交点的轨迹方程是P双曲线于PP时

28、A221211、 22ba22yx1?P)P(x,y的双曲线的切线方程是若10）上，则过0,b在双曲线0（a 000022bayxyx001?. 22ba 8 22yx?1),yP(x（a若0,b0）外 在双曲线，则过Po作双曲线的两条切线切点11 00022abxxyy00?1?. P，则切点弦PP的直线方程是为P、2121 22ab22yx?1（a0,b0）12AB是双曲线的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点， 22ab2bk?k?. 则 ABOM2a22yx?1)yP(x,（a0,b0）内，则被在双曲线Po所平分的中点弦的方程是13若 00022ab22yyxxxy0000?.

29、2222abab22yx?1)yP(x,（a0,b0在双曲线）内，则过14若Po的弦中点的轨迹方程是 00022ab22xxyyyx00?. 2222abab22yx?1（ba 0）上对中心张15若PQ是双曲线直角的弦，则 22ab1111?(r?|OP|,r?|OQ|). 212222rrab2122yx?1（ba 0）上中心张直角的弦L所在直线方程16若双曲线为 22ab 244211B2a?Ab22B?A0)?1(ABAx?By?L?;(2) 则. (1) , 222222ba|a|bAB?22ba?22222222222(y?)abbx?aCCbbx?ay?a：给定双曲线, ：0）（a

30、b,则17 2122ba?C)(x,yPC点上一定任,它的一直角弦必须经(i)对给上任意定的点过210002222bb?aa?x,?y)(M(. 002222a?bba''''''CCP)x,yP(MM点(ii)上任一点. 在上存在唯一的点对的任一直角弦都经过,使得00001222yx?1)yP(x,（a0,b0）上一点，PP为曲线18设C的动弦,且弦为双曲线PP, 1210 00022abM(mx,?my)(m?1)的充要条件是kPP斜率存在，记为k, , 则直线PP通过定点2 21012002bm1?k?k?. 212a?m122yx?1A(

31、x,y)任意作两条倾斜角互补的直线交o）上任一点19过双曲线0,b（a 0022ab2xb0k?（常数）两点，则直线BC有定向且. B,C双曲线于 BC2ay0 9 22yx?1（a0,bo）的左右焦点分别为20双曲线F，F，点P为双曲线上任意一点2 1 22ab?2?PF?FtbcoS?，为线的焦点角形的面积，则双曲 21PFF?221 2?ba222P(c?btan,cot) . c2c222yx?1（a0,b为双曲线若P0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F, F是焦点, 21 21 22ab?a?acc?PFF?F?PF?tancot?tancot）. , （或，则 1221a22c?

32、c?a2222yx?1F(?c,0)F(c,0) ）的焦半径公式：22双曲线( , （a0,bo 2122abM(x,y)|MF|?ex?a|MF|?ex?a. ,当在右支上时，000120M(x,y)|MF|?ex?a|MF|?ex?a. 在左支上时，当,00120022yx?1（a0,b0）的左、右焦点分别为F23若双曲线、F，左准线为L，则当 21 22ab 2?1时，可在双曲线上求一点P，使得PF是P1e到对应准线距离d与PF的比例中项. 2122yx?1（a0,b0P为双曲线）上任一点,F,F为二焦点，A为双曲线内一定点，则2421 22ab|AF|?2a?|PA|?|PF|A,F,

33、PA,FP在和y轴同侧时，等号成立三点共线且. ,当且仅当221222yx?1y?k(x?x)l对称的充要条件025双曲线）上存在两点关于直线：（a0,b 022ab222)?b(a2x?. 是 0222ka?b26过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 27过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. ?secax?（a0P是双曲线，b0）上一点，则点P对双曲线两焦点张直角的充要28?tan?by?12?e. 条件是 2?tan1?22yx?kk?0,k?1）上两点，其直线0,bAB与

34、双曲线29设A,B为双曲线0，（a 22ab22yx?1P,QAP?BQ. 相交于则, 22ba22yx1?(?)22yx 22ba2m?1?,的弦中点轨迹方程为）30在双曲线（中，定长为2mm）0 2222?sincosab? 22ab 10 22xbo?tan?900?y. 其中当, 时, 22ya22yx1?在双曲线上A,BL的两端点0,b31设S为双曲线o）的通径，定长线段（a 22ba2lac222?)(x?)x,yM(ba?(c?eS?l?l有时，移动，记,|AB|=则当中点，是AB); 00min0e2caa 22l?)?4b(xSl?. 当时，有min0b222yx1?0C?A

35、x?By?有公共点的充要条件是）与直线0（32双曲线a0,b 22ba22222CbABa?. 22)y(y?(x?x)001?0C?Ax?By?双曲线有公共点的充要330,b0）与直线（a 22ba22222)?CAx?ByAa?Bb?(. 条件是0022yx1?（异于长轴端点）为双曲线上F,P）的两个焦点为F、（a34设双曲线0,b021 22ba?FF?PFF?P?FPF?有，记则, ,，任意一点，在PFF中21221112?csine?. ?a?sin?(sin)22yx1?的切线，与双曲线上任一AA和0,b35经过双曲线0）的实轴的两端点（a21 22ba2b?PA|PA|?|. ，

36、则和P点的切线相交于P212122yx1?OQOP?.且Q为双曲线上两动点，）a 0，O36已知双曲线为坐标原点，P、（b 22ba22b4a1111S?22的最小值是）;（31）;（+|OQ|2的最小值为）|OP|（ OPQ?222222ab?ba|OQ|OP22ba. 22a?b22yx1?是经过AB)，若0）过焦点的任一弦37MN是经过双曲线(交于两支a（0,b 22ba2|MNa|AB|?2|. MN的弦，则O双曲线中心且平行于22yx1?O)，若过双曲线中心）焦点的任一弦(交于同支b（a038MN是经过双曲线 22ba1112?MN?OP，则的半弦. 222baOP|aMN|22yx

37、1?顶点外的任一点，,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，设双曲线390）（a0,b 22bal：在直线)的交点N为两顶点Q(AP两点，引一条直线与双曲线相交于过MP、Q则直线A、AA2121 ,2a?x. 上 m为双曲线长轴上一个顶点，连结AQP作直线与双曲线相交设过双曲线焦点40F 、两点， 11 AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MFNF. 41过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A、A为双曲线实轴上的顶点，AP112和AQ交于点M，AP和AQ交于点N，则MFNF. 12222yx?1y?kxl的共轭k(k0)42设双曲线方程的平行弦的中点必在直线：

38、,则斜率为 22ab2b''kk?x?ky. ,而且上直线 2a22yx?1（a0,bo）上四点、C、D为双曲线,AB、CD所在直线的倾斜角分43设A、B 22ab2222?sinacos|PA|?|PB|b?,，直线AB与CD相交于P别为,且P不在双曲线上,则. 2222?sinacosPC|?|PD|b?|22yx?1?FPF为双曲线的焦点，P为其上一点F, Fa0,b044已知双曲线）,点（ 21 2122abll于R、S，当P跑遍整个双曲线时，、F分别垂直R、S的外（内）角平分线为形成的轨，作F21迹方程是 222322224223222)cyy?c(?aabcx?y(

39、?aaxb(x?c)(ac?b)x?b). (?l为AB为的共轭直径所在的直线，ABC三顶点分别在双曲线的直径，上，且AB45设?ll相切的充要条件是D为EFD为的上一点，则CD与双曲线分别交直线AC、BC于E和F，又中点. 22yx?1（a0,b0）的右焦点F过双曲线46作直线交该双曲线的右支于M,N两点， 22ab|PF|e?. 弦MN的垂直平分线交x轴于P，则 |MN|2222yxxb1?1（a0,b0）上任一点，过47设A（x,y）是双曲线A作一条斜率为的11 222abay1 r,rrrd?ab. 是原点到直线 L的距离, 到双曲线两焦点的距离，则分别是AL直线，又设d2121222

40、2yyxx?1?10 ）和48已知双曲线0（，一条直线顺次与（a0,b 2222abab它们相交于A、B、C、D四点，则AB=|CD. 22yx?1（a0,b0）,A、49已知双曲线B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线 22ab2222baa?b?x?x?,0)xP(. 与x轴相交于点或, 则 000aa22yx?1（a0,bP点是双曲线0）上异于实轴端点的任一点,F、F为其焦点记50设21 22ab2?b22?|PF|PF|?PF?FS?bcot. ，则(1).(2) 2121FPF?cos1?22151设过双曲线的实轴上一点B（m,o）作直线与双曲线相交于P、Q两点，A为双曲线实轴x?

41、n于M，N两点,则MNAQ的左顶点，连结AP和分别交相应于过B点的直线：2a?mao?90MBN?. 22)anb?am(? 12 22yx?1（a0,b0）焦点52L是经过双曲线F且与实轴垂直的直线，A、B是双曲线 22ab11?arc?sinsin?EPFL?P或是锐角且，若实轴的两个焦点，e是离心率,点，则 eeab|PH|?时取等号）（当且仅当. c22yx?1（a0,b0）的实轴顶点A且与x轴垂直的直线，E、F是53L是经过双曲线 22ab?EPF?LP?，H是L与，e是离心率，X轴的交点双曲线的准线与x轴交点,点c是半焦距，11ab?arcsin|PA|sin?时取等号）是锐角且.

42、 或则（当且仅当 eec22yx?1（a0,b0）焦点F且与x轴垂直的直线，E54L是双曲线、F是双曲线准线1 22ab?EPF?L?P为锐c，则离心率为e与x轴交点，H是L与x轴的交点，点，半焦距为,11b 22?arcsin|PF|?a?sinc时取等号）或（当且仅当. 角且 122eec22yx?1（a0,b0），直线L55已知双曲线通过其右焦点F,且与双曲线右支交于A、2 22ab222)?b(2a|FA|?|FB|?（当且仅当B两点，将A、B与双曲线左焦点F连结起来，则ABx1 112a轴时取等号）. 22yx?1?PAB?, 0）B是双曲线的长轴两端点，P是双曲线上的一点，（a0,

43、b56设A、 22ab2?|cos|2ab?|PA|?BPA?PBA?(1),、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有.(2) ，c 222?|sa?cco|22ba22?cot?Setan1tan?. .(3) PAB?22a?b22yx1?）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区0B是双曲线a0,b（A57设、 22ba2xxa?x?x点引直线与双曲线这一支相交于A（1域）、外部的两点，且）若过、，的横坐标BABAQBA?PBA?两点，则QP、（P、Q两点，则2）若过B引直线与双曲线这一支相交于；o180QBA?PBA?. 22yx?1（a0,b是双曲线58设A、B0）实轴上分别位于双曲线一支

44、内（含焦点的区 22ab域），外部的两点，（1）若过A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，（若B P交双曲线这xxQBAPBA?满足的横坐标、B，则点一支于两点，则P、Q不关于x轴对称），且A、BAo2a?xx?PBA?QBA?180,B点引直线与双曲线这一支相交于两点，且P、Q）；（2若过BA2x?x?a. 则点A的横坐标满足、BBA22yx'''1?QQ,AAAAAQ垂直的弦，则直线设59是双曲线的实轴的两个端点，是与 22ba 13 22yx''1?AQ. 的轨迹是双曲线的交点P与 22ba22yx1?F则、）的右焦点CD,过双曲线作互相垂直的

45、两条弦AB（a0,b060 22ba2ab8|CD|AB|?. 22|ab?22yxc?a?1（a0,b061到双曲线）两焦点的距离之比等于（c为半焦距）的动点 22abb222(x?ec)?y?(eb). M的轨迹是姊妹圆22yxc?a?1（a0,b62到双曲线0）的实轴两端点的距离之比等于（c为半焦距） 22abb222(x?a)?y?b. 的轨迹是姊妹圆的动点M22yxc?a?1（a0,b0）的两准线和x轴的交点的距离之比为（c63到双曲线为半 22abbb222(x?a)?y?()（e为离心率）焦距）的动点的轨迹是姊妹圆. e22yx'?1A,A是它实轴的两个端点,且a0,b是

46、双曲线64已知P0）上一个动点，（ 22ab222yxb''?1P?AAQAP?AQ. Q点的轨迹方程是，则, 42aa65双曲线的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项. 22yx'?1P(x,y)AA,是双曲线上的点过（a0,b0）实轴的端点为66设双曲线,P 1122ab2xb''1A,AM,Mll,作斜率为的直线分别作垂直于实轴的直线交，过则于 2ay1''2''bAM|?|AM|MMAAab2. .（1）（2）四边形面积的最小值是22yx?1lEF过双曲线右焦点，与x0

47、,b0）67已知双曲线的右准线轴相交于点（a 22abClBC?x轴，则直线AC点经过线段在右准线EF 上，且的的直线与双曲线相交于A、B两点,中点. 22y?a)(x?1a?b）的两条互相垂直的弦，O为68OA、OB（a0,b0,且是双曲线 22ba2ab2,0)(必经过一个定点AB1）直线、O B为直径的两圆的另一个坐标原点，则（.(2) 以O A 22b?a22abab222(x?)?y?()(x?0). 的轨迹方程是交点Q 2222b?ab?a22y?a)(x?1P(m,n)是双曲线69a0,b0）上一个定点，P A、P B是互相垂直的（ 22ba22222)b?a)n(a2ab?m(b?,)(必经过一个定点）直线1ABBP ）以A、P 为直径弦，则（2.（ 2222b?ab?a 14 的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是 22224222)?(naababb?a?mbn22(x?)?(y?)?x?my?n). 且( 2222222b?ab?a(b?a)L的距离分别为d、d，那么（1b，焦点F、F到直线）70如果一个双曲线虚半轴长为221122?b?dddd?bLL，或）是双曲线的渐近线.，且F、F在（ 同侧2直线L和双曲线相切, 2122112?b?ddL直线LL异侧和