ch2-4-1可导与连续关系、四则运算和反函数求导法则ppt课件

1、2.4 导数的计算导数的计算 函数可导与连续的关系函数可导与连续的关系 导数的四则运算法则导数的四则运算法则 反函数的求导法则反函数的求导法则 复合函数的求导法则复合函数的求导法则 基本求导公式基本求导公式 隐函数的求导法则和对数函数求导法则隐函数的求导法则和对数函数求导法则 由参数方程所确定的函数的求导法则由参数方程所确定的函数的求导法则 极坐标系下曲线的切线问题极坐标系下曲线的切线问题一、函数可导与连续的关系一、函数可导与连续的关系1、函数可导的充要条件 .0,000时的无穷小时的无穷小是是其中其中处可导的充要条件是处可导的充要条件是在点在点函数函数 xAxxxfxfxyxxfy 由函数与

2、极限的关系知Axyx 0lim结论显然成立.定理23：若函数证)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0连连续续在在点点函函数数xxf)0(0 x ,)(0可可导导在在点点设设函函数数xxf2、函数可导与连续的关系、函数可导与连续的关系 .,00处处连连续续必必在在则则处处可可导导在在xxxfxxxf 连续函数不存在导数举例 0,0,)(xxxxxxf , 100lim00 xxfx注意: 该定理的逆定理不成立.在例1 讨论函数xy 0 x处的可导性。解 , 100lim00 xxfx 00 ff所以xy 在0 x处不可导

3、。例2.0,0, 00,1sin)(处的连续性与可导性处的连续性与可导性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解,1sin是有界函数是有界函数x01sinlim0 xxx.0)(处连续处连续在在 xxf处处有有但但在在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之之间间振振荡荡而而极极限限不不存存在在和和在在时时当当 xyx.0)(处不可导处不可导在在 xxf0)(lim)0(0 xffx右导数:3.单侧导数左导数:;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxx

4、x 定理24如如果果)(xf在在开开区区间间 ba,内内可可导导，且且)(af 及及)(bf 都都存存在在，就就说说)(xf在在闭闭区区间间 ba,上上可可导导.?,1,1,1,)(2应应取取什什么么值值处处可可导导为为了了使使函函数数在在设设函函数数baxxbaxxxxf xfx01lim 例3解：201lim xx xfx01lim )(lim01baxx 1 ba 1 xf 所以所以处连续处连续在在所以函数所以函数处可导处可导在在因为函数因为函数,1,1 xxfxxf1 ba又 11lim11 xfxffx211lim21 xxx 11lim11 xfxffx11lim1 xbaxx 1

5、lim1 xbabaxxaax 1lim1 所所以以处处可可导导在在因因为为函函数数,1 xxf,2 a,11 bba知知又又由由.1,2 ba所以所以 00011xxexxfx求 0 .f 解：解：xe1中当0 x01xe 0 xxe1所以，尽管在 x = 0 的左右两侧 f (x)的表达式一样， 0 f仍需要用充要条件去判别。xexxx01lim10 xxe1011lim1 0 fxexxx01lim10 xxe1011lim0 0f 不存在练习练习 知知0)0(f练习练习 解解: 因为因为 设)(xf 存在, 且, 12)1 () 1 (lim0 xxffx求).1 (f xxffx2)

6、1 () 1 (lim0所以. 2) 1 ( fxfxfx) 1 ()1 (lim21001(1 ()(1)lim2xfxfx 1) 1 (21f)(xf在 0 x处连续, 且xxfx)(lim0存在，证明:在0 x处可导.证：因为证：因为xxfx)(lim0存在， 则有0)(lim0 xfx又)(xf在0 x处连续,0)0(f所以xxfx)(lim0即)(xf在0 x处可导.练习：设练习：设xfxfx)0()(lim0)0(f 故)(xf不连续, 一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.判断可导性3、由定义求导数、由定义求导数步骤:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)

7、()()2(xxfxxfxy 算算比比值值.lim)3(0 xyyx 求求极极限限例4.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即例5.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设设函函数数解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 例6.)(的的导导数数为为正正整整数数求求函函数数nxyn 解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210

8、nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地)(.)(1Rxx )( x例如,12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x 例7.)1, 0()(的导数的导数求函数求函数 aaaxfx解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee 例8.)1, 0(log的导数的导数求函数求函数 aaxya解hxhxyaahlog)(loglim0 .ln1)(logaxxa 即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .ln1log1axexa 二、导数的四

9、则运算二、导数的四则运算 前面我们利用导数的定义推出了一些常用函数的导数，如0 C1)( xxaaaxxln)( xxee )(xxcos)(sin xxsin)(cos 定理25并并且且可可导导处处也也在在点点分分母母不不为为零零们们的的和和、差差、积积、商商则则它它处处可可导导在在点点如如果果函函数数,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu 如果求函数的导数都用定义来求未免太麻烦，所以要引入导数的四则运算法则，利用已

10、知函数的导数来求其它函数的导数.证(3),0)( ,)()()( xvxvxuxf设设hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 证(1)、(2)略.hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(处处可可导导在在xxf推论; )( )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfCxCf ; )()

11、()()()()()()( )()3(1121211 ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf例9.sin223的导数的导数求求xxxy 解23xy x4 例10.ln2sin的的导导数数求求xxy 解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .cos x .2sin1ln2cos2xxxx 例11.tan的的导导数数求求xy 解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.c

12、sc)(cot2xx 同理可得例12.sec的的导导数数求求xy 解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得例13.sinh的导数的导数求求xy 解 )(21)(sinh xxeexy)(21xxee .cosh x 同理可得xxsinh)(cosh xx2cosh1)(tanh 例14).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求设设解, 1)( xf,0时时当当 x,0时时当当 xhxhxxfh)1ln()1ln(lim)(0 )11ln(1lim0 xhhh ,11x ,0时时当当 xhh

13、fh)01ln()0(lim)0(0 , 1 hhfh)01ln()0(1lnlim)0(0 , 1 . 1)0( f.0,110, 1)( xxxxf三、反函数的求导法则定理26.)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy 且且有有内内也也可可导导在在对对应应区区间间那那末末它它的的反反函函数数且且内内单单调调、可可导导在在某某区区间间如如果果函函数数即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.证,xIx 任取任取xx 以增量以增量给给的单调性可知的单调性可知由由)(xfy , 0 y于是有,1yxxy ,)(连连续续xf),0(0 xy0)( y 又又知知xyxfx 0lim)(yxy 1lim0)(1y