ch2a单自由度系统受迫振动ppt课件

1、单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 线性系统的受迫振动线性系统的受迫振动 简谐力激励的强迫振动简谐力激励的强迫振动弹簧质量系统弹簧质量系统设设tieFtF0)(0F外力幅值外力幅值外力的激励频率外力的激励频率tieFkxxcxm0 振动微分方程：振动微分方程：tFcos0 x 为复数变量，分别与为复数变量，分别与 和和 相对应相对应 tFsin0实部和虚部分别与实部和虚部分别与 和和 相对应相对应 tFsin0tFcos0 mxcxm kx)(tF单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动简谐力激励的强迫振动受力分析受力分析

2、kcx0m)(tFtieFkxxcxm0 振动微分方程：振动微分方程：显含时间显含时间 t非齐次微分方程非齐次微分方程非齐次微分方程非齐次微分方程通解通解齐次微分方程齐次微分方程通解通解非齐次微分方程非齐次微分方程特解特解阻尼自由振动阻尼自由振动逐渐衰减逐渐衰减暂态响应暂态响应持续等幅振动持续等幅振动稳态响应稳态响应本节内容本节内容单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动简谐力激励的强迫振动tieFkxxcxm0 振动微分方程：振动微分方程：设：设：tiexx0)(FHx代入，有：代入，有：icmkH21)(复频响应函数复频响应函数 振动微分方程：振动微分方程：tie

3、Bxxx202002 mk0kmc2kFB0引入：引入：0s)2()1 (211)(2222sssiskH222)2()1 (1)(sss2112)(sstgs振幅放大因子振幅放大因子相位差相位差那么那么：iek1 ：稳态响应的复振幅 x静变形静变形单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动简谐力激励的强迫振动tieFkxxcxm0 tiexxieksssiskH1)2()1 (211)(22220)(FHx)(0tiekFxBA稳态响应的实振幅稳态响应的实振幅 222)2()1 (1)(ssskFB0 tFtFcos)(0假设假设：)cos()(tAtx那么那么：ti

4、esBtx21)(无阻尼情况：无阻尼情况：)(tiAetieskF20112112)(sstgs单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动简谐力激励的强迫振动tieFkxxcxm0 222)2()1 (1)(sss)()(0titiAeekFx2112)(sstgs2220)2()1 (1sskFA结论：结论：单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动简谐力激励的强迫振动单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 稳态响应的特性稳态响应的特性以以s为横坐标画出为横坐标画出 曲线曲线 )(s222)2()1 (1)(sss幅频特性曲线幅频特性曲线 简

5、谐激励作用下稳态响应特性：简谐激励作用下稳态响应特性： （1当当s1（ ） 00激振频率相对于系统固有频率很高激振频率相对于系统固有频率很高 结论：响应的振幅结论：响应的振幅 很小很小)()(0titiAeekFx0123012345)(ss01 . 025. 0375. 05 . 01单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性稳态响应的特性 稳态响应特性稳态响应特性（3在以上两个领域在以上两个领域 s1，s1结论：系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的结论：系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的 对应于不同对应于不同 值值,曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著曲线较为密集，说明阻尼的

6、影响不显著 222)2()1 (1)(sss0123012345)(ss01 . 025. 0375. 05 . 01单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性稳态响应的特性 稳态响应特性稳态响应特性结论：共振结论：共振 振幅无穷大振幅无穷大222)2()1 (1)(sss（4当当1s0对应于较小对应于较小 值，值， 迅速增大迅速增大 )(s当当0)(s但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在 s=1 附近的区域内，附近的区域内，增加阻尼使振幅明显下降增加阻尼使振幅明显下降 )()(0titiAeekFx0123012345)(ss01 . 025

7、. 0375. 05 . 01单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性稳态响应的特性 稳态响应特性稳态响应特性222)2()1 (1)(sss)()(0titiAeekFx（5对于有阻尼系统，对于有阻尼系统， 并不并不出现在出现在s=1处，而且稍偏左处，而且稍偏左 max0dsd2max121221s0123012345)(ss01 . 025. 0375. 05 . 01单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性稳态响应的特性 稳态响应特性稳态响应特性222)2()1 (1)(sss（6当当2/11振幅无极值振幅无极值 0123012345)(ss01

8、. 025. 0375. 05 . 01单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性稳态响应的特性 稳态响应特性稳态响应特性222)2()1 (1)(sss)()(0titiAeekFx211sQ记：记：品质因子品质因子 在共振峰的两侧取与在共振峰的两侧取与 对应的两点对应的两点 ， 2/Q1212带宽带宽Q与与 有关系有关系 ：0Q阻尼越弱，阻尼越弱，Q越大，带越大，带宽越窄，共振峰越陡峭宽越窄，共振峰越陡峭 s2Q2/Q01021单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性稳态响应的特性 稳态响应特性稳态响应特性相频特性曲线相频特性曲线 （1当当s1（ ）

9、0位移与激振力反相位移与激振力反相 （3当当1s0共振时的相位差为共振时的相位差为 ，与阻尼无关，与阻尼无关 2)(s0123090180s单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性稳态响应的特性有阻尼单自由度系统有阻尼单自由度系统外部作用力规律：外部作用力规律：tFtFcos)(0假设系统固有频率：假设系统固有频率：10从左到右：从左到右：6 . 1,01. 1, 4 . 0单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性稳态响应的特性0 0 0 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段在系统受到激励开始振动的初始阶段，其自

10、由振动伴随受迫在系统受到激励开始振动的初始阶段，其自由振动伴随受迫振动同时发生。系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠加振动同时发生。系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠加 tieFkxxcxm0 显含显含 t，非齐次微分方程，非齐次微分方程非齐次微分方程非齐次微分方程通解通解齐次微分方程齐次微分方程通解通解非齐次微分方程非齐次微分方程特解特解阻尼自由振动阻尼自由振动逐渐衰减逐渐衰减暂态响应暂态响应持续等幅振动持续等幅振动稳态响应稳态响应回想：回想：单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段 受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段考虑无阻尼的情况考虑无阻尼的情况

11、 tFkxxmsin0 正弦激励正弦激励0)0(xx0)0(xxtBxxsin2020 kFB0tsBtctctxsin1sincos)(20201通解：通解：齐次通解齐次通解非齐次特解非齐次特解0s21cc、初始条件决定初始条件决定 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段tFkxxmsin0 0)0(xx0)0(xxtsBtctctxsin1sincos)(202010)0(xx01xc 0)0(xx2021)0(sBcx 20021sBsxc tsBtsBstxtxtxtxtxsin1sin1sincos)()()(2020000021 初始条件

12、响应初始条件响应自由伴随振动自由伴随振动强迫响应强迫响应特点：以系统特点：以系统固有频率为振固有频率为振动频率动频率单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段tsBtsBstxtxtxtxtxsin1sin1sincos)()()(2020000021 初始条件响应初始条件响应自由伴随振动自由伴随振动强迫响应强迫响应如果是零初始条件如果是零初始条件tsBtsBstxtxtxsin1sin1)()()(20221自由伴随振动自由伴随振动强迫响应强迫响应单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段零初始条件零初始条件ts

13、BtsBstxtxtxsin1sin1)()()(20221(2) s 1)(0)(0TT (1) s 1，s1，s=1?若以绝对位移若以绝对位移 x 为坐标为坐标fxxx1titiDeDex)(11)(111tiDextifDetx)(其中：其中：则有：则有：)(111)(tiiDee22221)2()1 ()(ssss21112)(sstgs0sxfkc1xmx0mkxxfc1x单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动)sin(cos)2()1 (11222211isssei22222)2()1 ()2(1sss)2(12stg)(11

14、1)(tiiDeex22221)2()1 ()(ssss21112)(sstgs22222222222)2()1 (2)2()1 (1)2()1 (sssissssss222)2()1 (21sssi22222)2()1 ()2(1iesss22ie22222)2(1)2()1 (1iesss单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动)(111)(tiiDeex2121iiee22222)2()1 ()2(1sss)2(12stg)(2)(221titiDeDex21代入：代入：tiesDx211无阻尼情况：无阻尼情况：22221)2()1

15、()(ssss21112)(sstgsxfkc1xmx0mkxxfc1x单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动22222)2()1 ()2(1sss)(2)(221titiDeDex幅频曲线幅频曲线01010 0.1 0.25 0.35 0.5 1.0 )(2ss2可看出：可看出：当当 时，时，2s12振幅恒为支撑运动振幅振幅恒为支撑运动振幅D当当 时，时，2s12振幅恒小于振幅恒小于D增加阻尼反而使振幅增大增加阻尼反而使振幅增大xfkc1xmx0mkxxfc1x单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯

16、性力激励的受迫振动例：例：汽车的拖车在波形道汽车的拖车在波形道路上行驶路上行驶已知拖车的质量满载已知拖车的质量满载时为时为 m1=1000 kg空载时为空载时为 m2=250 kg悬挂弹簧的刚度为悬挂弹簧的刚度为 k =350 kN/m阻尼比在满载时为阻尼比在满载时为5 . 01车速为车速为 v =100 km/h路面呈正弦波形，可表示为路面呈正弦波形，可表示为lzaxf2sin求：求： 拖车在满载和空载时的振幅比拖车在满载和空载时的振幅比l =5 ml =5 mmk/2cx0k/2xfalxfz单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动解：

17、解：汽车行驶的路程可表示为：汽车行驶的路程可表示为：路面的激励频率：路面的激励频率：tlvaxf2sinvtz srad /9 .34kmccr202mc得：得：kmcccr2c、k 为常数，因此 与 成反比m因此得到空载时的阻尼比为：因此得到空载时的阻尼比为：2112mm满载和空载时的频率比：满载和空载时的频率比：011s93. 02022kms因为有：因为有：单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动l =5 mmk/2cx0k/2xfalxfz满载满载: m1=1000 kg空载空载: m2=250 kg5 . 01车速车速 : v =

18、100 km/hlzaxf2sinlv20 . 1k =350 kN/mkm187. 1满载时频率比满载时频率比记：满载时振幅记：满载时振幅 B1，空载时振幅，空载时振幅 B2有：有：满载时阻尼比满载时阻尼比空载时阻尼比空载时阻尼比0 . 1287. 11s空载时频率比空载时频率比93. 02s68. 0)2()1 ()2(12112212111sssaB13. 1)2()1 ()2(12222222222sssaB因此满载和空载时的振幅比：因此满载和空载时的振幅比：60. 021BB5 . 01单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动l

19、=5 ml =5 mmk/2cx0k/2xfalxfz例：例： 已知梁截面惯性矩已知梁截面惯性矩I，弹性模量，弹性模量E，梁质量不计梁质量不计支座支座B不动不动求：质量求：质量m的稳态振动振幅的稳态振动振幅单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题工程中的受迫振动问题 / 振动的隔离振动的隔离支座支座A产生微小竖直振动产生微小竖直振动tdyAsinambABAy解：解：固有频率：固有频率：/0g简化图简化图在质量在质量m作用下，由材料力学可求出静挠度作用下，由材料力学可求出静挠度mkfxfx：因：因yA的运动而产生的质量的运动而产生的质量m处的运动处的运动tabdyab

20、xAfsin)/()/(动力学方程：动力学方程：0)(fxxkxm takbdkxxmsin)/( 振幅：振幅：211/skakbdx0s211sabd杆做刚性处理，其柔性由弹簧表示杆做刚性处理，其柔性由弹簧表示 支承运动小结支承运动小结22222)2()1 ()2(1sss)2(12stg21相对位移相对位移tifDetx)(基座位移规律基座位移规律 ：tiemDkxxcxm21111 )(111tiDex22221)2()1 ()(ssss21112)(sstgs绝对位移绝对位移)(21tifDexxxxfkc1xmx0mkxxfc1x单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性

21、力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动高速旋转机械中，偏心质量产生的离心惯性力是主要的激励来源。旋转高速旋转机械中，偏心质量产生的离心惯性力是主要的激励来源。旋转机械总质量为机械总质量为M，转子偏心质量为，转子偏心质量为m，偏心距为，偏心距为e，转子转动角速度为，转子转动角速度为 x：机器离开平衡位置的：机器离开平衡位置的垂直位移垂直位移 则偏心质量的垂直位移：则偏心质量的垂直位移： texsin由达朗伯原理，系统在垂直方由达朗伯原理，系统在垂直方向的动力学方程：向的动力学方程：0)sin()(22kxxctexdtdmxmM tmekxxcxMsin2 简化图形简化图形mxc2k2kte单

22、自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动Mkctmesin2xMkcxtem激振惯性力的幅值与频率的平方成正比例激振惯性力的幅值与频率的平方成正比例 tmekxxcxMsin2 me ：不平衡量 ：不平衡量引起的离心惯性力：不平衡量引起的离心惯性力 2me20meF 设：设：)sin()(tBtx222)2()1 (1sskmekFB202112sstg0sMK0得：得：单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动Mkctmesin2x)sin()(tBtx222)2()1 (1sskmekF

23、B202112sstgB 又写为 ：MmekmeB2022)sin()2()1 ()(2222 tMmessstx22221)2()1 (sssMmeB 12sMme )sin(11 tB单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动例：偏心质量系统例：偏心质量系统共振时测得最大振幅共振时测得最大振幅为为0.1 m由自由衰减振动测得由自由衰减振动测得阻尼系数为阻尼系数为05. 0假定假定%10Mm求：求： （1偏心距偏心距 e，（2若要使系统共振时振幅为若要使系统共振时振幅为0.01 m，系统的总质量需要增加多少？系统的总质量需要增加多少？mxc

24、2k2kte单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动Mkctmesin2x解解:（1）共振时测得最大振幅共振时测得最大振幅为为0.1 m由自由衰减振动测得由自由衰减振动测得阻尼系数为阻尼系数为05. 0%10Mm共振时最大振幅共振时最大振幅)sin()2()1 ()(2222tMmessstx)(1 . 021mMme)(1 . 0me （2若要使系统共振时振幅为若要使系统共振时振幅为0.01 m)(01. 021mMMme)(01. 01 . 005. 021mMMm9MMMM9mxc2k2kte单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动

25、/ 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动Mkctmesin2x单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动tmekxxcxMsin2 mxc2k2kteMkctmesin2xMkcxtem)sin()(tBtx222)2()1 (1ss kmeB2 2112sstg 0sMk 0 偏心质量小结偏心质量小结)sin()(11tBtx22221)2()1 (sss 解解1：解解2：MmeB 1单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 机械阻抗与导纳机械阻抗与导纳工程中常用机械阻抗来分析结构的动力特性工程中常用机械阻抗来分析结构的动力特性

26、 机械阻抗定义为简谐激振时复数形式的输入与输出之比机械阻抗定义为简谐激振时复数形式的输入与输出之比 tieFkxxcxm0 tieF0tiexx 0)(FHx icmkH21)(titixexeFZ0)( 动力学方程：动力学方程：输入：输入：输出：输出tiexx 代入，得：代入，得：复频响应函数复频响应函数根据定义，位移阻抗：根据定义，位移阻抗：icmk2xF0 )(1H单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 机械阻抗和导纳机械阻抗和导纳icmkHxFexeFZtitix 200)(1)(icmkH21)(位移阻抗与复频响应函数互为倒数，位移阻抗与复频响应函数互为倒数， 也称为导纳也称为

27、导纳 )(H输出也可以定义为速度或加速度，相应的机械阻抗称为速度阻输出也可以定义为速度或加速度，相应的机械阻抗称为速度阻抗和加速度阻抗抗和加速度阻抗 )(1)(00 xtititixZiexieFxeFZ )(1)(2xxZZ 速度阻抗速度阻抗加速度阻抗加速度阻抗 机械阻抗的倒数称为机械导纳，相应机械阻抗的倒数称为机械导纳，相应 、 、 分分别有位移导纳、速度导纳和加速度导纳别有位移导纳、速度导纳和加速度导纳)(xZ)(xZ)(xZ 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 机械阻抗和导纳机械阻抗和导纳icmkHxFexeFZtitix 200)(1)(位移阻抗位移阻抗)(1)(00 xtititixZiexieFxeFZ )(1)(2xxZZ 速度阻抗速度阻抗加速度阻抗加速度阻抗 机械阻抗和机械导纳都仅仅取决于系统本身的动力特性机械阻抗和机械导纳都仅仅取决于系统本身的动力特性m，k，c），它们都是复数