苏北四市高三数学期末统考试题含答案

1、苏 北 四 市 数 学 试 题答题卡上答题卡上1设复数为虚数单位 ,若为实数,则的值为 122i ,izzm(mR，i)12zzm2已知集合，且，则实数的值是 2, Aa a 1,1,3B ABa3某林场有树苗 3000 棵，其中松树苗 400 棵为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为 150 的样本，则样本中松树苗的棵数为 4在的边上随机取一点, 记和的面积分别为和，则ABCABPCAPCBP1S2S的概率是 122SS5已知双曲线的一条渐近线方程为，22221xyab20 xy则该双曲线的离心率为 6右图是一个算法流程图，则输出的值是 S7函数的定义域为 ( )lg(23

2、)xxf x 8若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为 1，则此三棱锥2的体积为 9在中，已知，且的面积ABC3AB o120AABC为，则边长为 15 34BC10已知函数，则不等式的( )2f xx x( 2)(1)fxf解集为 11已知函数的最大值与最小正周期相同，则函数在( )2sin(2) (0)4f xx( )f x上的单调增区间为 1 1 ，12设等比数列的前项和为，若成等差数列，且，nannS435aaa，33kS ，163kS 其中，则的值为 kN2kS13在平面四边形中，已知，点分别在边上，且ABCD3AB 2DC ,E F,AD BC，若向量与的夹角为，则的值为 3ADAE 3

3、BCBF AB DC60AB EF 14在平面直角坐标系中，若动点到两直线：和：的距xOy( , )P a b1lyx2l2yx 离之和为，则的最大值为 2 222ab二、解答题：二、解答题： 15(本小题满分 14 分)已知向量，(cos,sin )a(2,1)b (1)若，求的值；absincossincos (2)若，求的值2ab(0,)2sin()4开始结束输出S10n 2nnYN0,1Sn（第 6 题图）SSn16(本小题满分 14 分)如图，在三棱锥中，点分别是棱的中点PABC,E F,PC AC(1)求证：/平面；PABEF (2)若平面平面，求证：PAB ABCPBBCBCPA

4、17(本小题满分 14 分)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点为圆心的两个O同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成按设计要求扇环面的周长为 30 米，O其中大圆弧所在圆的半径为 10 米设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为（弧x度） （1）求关于的函数关系式；x（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为 4 元/米，弧线部分的装饰费用为 9 元/米设花坛的面积与装饰总费用的比为，求关于yy的函数关系式，并求出为何值时，取得最大值？xxy18(本小题满分 16 分)已知的三个顶点，其外接圆为ABC( 1, 0)A (1, 0)B(3, 2)CH(1

5、)若直线 过点，且被截得的弦长为 2，求直线 的方程；lCHl(2)对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，BHPC,M N使得点是线段的中点，求的半径的取值范围MPNCrPABCFE（第 16 题图） O (第 17 题图)19(本小题满分 16 分)已知函数（为常数） ，其图象是曲线325( )2f xxxaxb, a bC（1）当时，求函数的单调减区间；2a ( )f x（2）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与( )f x( )fx0 x00()f xx同时成立，求实数的取值范围；0() 0fxb（3）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，A

6、CAC1lCB在点处作曲线的切线，设切线的斜率分别为问：是否存在常数BC2l12,l l12,k k，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由21kk20 （本小题满分 16 分）已知数列满足，是数列na1ax23ax2*1132 (2,)nnnSSSnnnNnS 的前项和nan(1)若数列为等差数列 （）求数列的通项；nana（）若数列满足，数列满足，试比较数列nb2nanb nc221nnnnct btbb 前项和与前项和的大小； nbnnBncnnC(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围*nN1nnaaxFEDCBA(第 21(A)图)数 学 试 题 数学数学 附加题部分附加题部分

7、注意事项注意事项1 本试卷共 2 页，均为非选择题（第 21 题第 23 题，共 4 题） 。本卷满分为 40 分，考试时间为 30 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2 作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。21. .【选做题选做题】本题包括本题包括 A A、B B、C C、D D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答作答若多做，则按作答的前两题评分若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤骤A(选修选修

8、 41：几何证明选讲：几何证明选讲)（本小题满分 10 分）如图，点为锐角的内切圆圆心，过点作直线DABCABD的垂线，垂足为，圆与边相切于点若，FDACE50C求的度数DEFB(选修选修 42：矩阵与变换：矩阵与变换)（本小题满分 10 分）设矩阵（其中） ，若曲线在矩阵所对应的变00abM00ab，C：221xy+=M换作用下得到曲线，求的值2214xCy：a b+C(选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程)（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系中，已知直线 的参数方程是（ 为参数） ；以xOyl2224 22xtyt，t 为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程O

9、xC为由直线 上的点向圆引切线，求切线长的最小值2cos()4lCD(选修选修 45：不等式证明选讲：不等式证明选讲)（本小题满分 10 分）已知均为正数,证明：,a b c2222111()6 3abcabc【必做题必做题】第第 2222 题、第题、第 2323 题，每题题，每题 1010 分，共计分，共计 2020 分分请在答题卡指定区域内作答，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22 （本小题满分 10 分）某品牌汽车 4店经销三种排量的汽车，其中三种排量的汽车依次有S, ,A B C, ,A B C，4，3 款不同车

10、型某单位计划购买 3 辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能 (1)求该单位购买的 3 辆汽车均为种排量汽车的概率；B (2)记该单位购买的 3 辆汽车的排量种数为，求的分布列及数学期望XX23 （本小题满分 10 分）已知点，动点满足( 1, 0)A (1, 0)FP2|AP AFFP (1)求动点的轨迹的方程；PC (2)在直线 ：上取一点，过点作轨迹的两条切线，切点分别为l22yxQQC问：是否存在点，使得直线/ ？若存在，求出点的坐标；若不,M NQMNlQ存在，请说明理由一、填空题：一、填空题：1 2 3 4 5 6 7212013525 (, 0) 8 9 10 11 12 13

11、141671, 1 3, 4 41297 18二、解答题：15 （1）由可知，所以，ab2cossin0a bsin2cos sincos2coscos1sincos2coscos3（2）由可得，(cos2,sin1)ab，22(cos2)(sin1)ab64cos2sin2即， 又，且 ，由可解得，12cossin022cossin1(0,)2，3sin54cos522 347 2sin()(sincos )()422551016 （1）在中，、分别是、的中点，所以，PACEFPCAC/PAEF又平面，平面，所以平面 PABEFEF BEF/PABEF（2）在平面内过点作，垂足为PABPPD

12、ABD因为平面平面，平面平面，PAB ABCPABABCAB平面，所以平面,又平面，所以，PD PABPD ABCBC ABCPDBC又，平面，平面，所以平面，PBBCPDPBPPD PABPB PABBC PAB 又平面，所以 PAPABBCPA17(1)设扇环的圆心角为，则，所以， (2) 花坛的30102(10)xx10210 xxPABCFED面积为装饰总费用为2221(10)(5)(10)550,(010)2xxxxx x ，所以花坛的面积与装饰总费用的比9108(10)17010 xxx， 令，则，当且仅当22550550=1701010(17)xxxxyxx17tx3913243

13、()101010yttt=18 时取等号，此时121,11x18(1)线段的垂直平分线方程为，线段的垂直平分线方程为，AB0 x BC30 xy所以外接圆圆心，半径，ABC(0,3)H221310圆的方程为设圆心到直线 的距离为，因为直线 被圆截得H22(3)10 xyHldlH的弦长为 2，所以当直线 垂直于轴时，显然符合题意，即为2( 10)13d lx3x 所求； 当直线 不垂直于轴时，设直线方程为，则lx2(3)yk x，解得，综上，直线 的方程为或 23131kk43k l3x 4360 xy(2)直线的方程为，设，BH330 xy( , )(01),( , )P m nmN x y

14、因为点是线段的中点，所以，又都在半径为的圆上，MPN(,)22mx nyM,M NrC所以即222222(3)(2),(3)(2).22xyrmxnyr222222(3)(2),(6)(4)4.xyrxmynr因为该关于的方程组有解，即以为圆心，为半径的圆与以, x y(3,2)r为圆心，为半径的圆有公共点，所以(6,4)mn2r,2222(2)(36)(24)(2 )rrmnrr又，所以对成立330mn，2221012109rmmr，0 1m，而在0，1上的值域为，10，所以且 2101210f mmm，3252325r 2r109又线段与圆无公共点，所以对成立，即BHC222(3)(332

15、)mmr0 1m，.2325r 故圆的半径的取值范围为 Cr10 4 10,)3519(1)当时， . 2a 2( )352(31)(2)fxxxxx令 f (x)0，解得，所以 f(x)的单调减区间为 123x 1( 2,)3 (2) ，由题意知消去，得2( )35fxxxa20032000035052xxaxxaxbxa有唯一解 320005202xxxb令，则，325( )22g xxxx2( )651(21)(31)g xxxxx 所以在区间，上是增函数，在上是减函数，又( )g x1(,)2 1(,)311(,)23，故实数的取值范围是11()28g 17()354g b71(,)(

16、,)548 (3)设，则点处切线方程为，00(,()A xf xA000()()()yf xfxxx与曲线：联立方程组，得，即C( )yf x000( )()()()f xf xfxxx，2005() (2)2xxxx所以点的横坐标 B05(2)2Bxx 由题意知，21000()35kfxxxa22000525( 2)122024kfxxxa若存在常数，使得，则，21kk220000251220(35)4xxaxxa即存在常数，使得，20025(4)(35)(1)4xxa、所以解得，40,25(1)0.4a42512a 故时，存在常数，使；时，不存在常数，使2512a 4214kk2512a

17、21kk20(1)（）因为，所以，2*1132(2,)nnnSSSnnnN32114SSS即，又，所以， 3212314aaa12,3ax ax3149ax又因为数列成等差数列，所以，即，解得，na2132aaa6149xxx1x 所以；*1111221naandnnn N（）因为，所以，其前项和，*21nannN21220nannbn0nB 又因为， 22211641nnnnnct btbbttb所以其前项和，所以， n21641nnCttB22 821nnnCBttB当或时，；当或时，；14t 12t nnCB14t 12t nnCB当时， （2）由知1142t nnCB2*1132(2,

18、)nnnSSSnnnN，两式作差，得，2*21312()nnnSSSnnN*2163(2,)nnnaaannnN所以,作差得，*321613()nnnaaannN*36(2,)nnaannN所以，当时，；1n 1naax当时，；31nk31216366234nkaaakxknx当时，；3nk331614966298nkaaakxknx当时，；31nk314161666267nkaaakxknx 因为对任意，恒成立，所以且，*nN1nnaa12aa3133132kkkkaaaa所以，解得，故实数的取值范围363669869866566563xxkxkxkxkxkxkx137156xx为13 7,

19、15 6数学部分21 【选做题选做题】A(选修选修 41：几何证明选讲：几何证明选讲)由圆与边相切于点，得，因为，得，DACE90AEDDFAF90AFD所以四点共圆,所以 ,A D F EDEFDAF 5 分又， 111()(180)90222ADFABDBADABCBACCC 所以，由，1902DEFDAFADFC 50C得10 分25DEFB （选修选修 4-2：矩阵与变换）：矩阵与变换）设曲线上任意一点，在矩阵所对应的变换作用下得到点C：221xy+=( , )P x yM，111( ,)P x y则，即 1100 xaxbyy 11axxbyy5 分又点在曲线上，所以，则为曲线111

20、( ,)P x y2214xCy：221114xy2214axby的方程C又曲线的方程为，故，C221xy+=24a =21b =因为，所以 00ab，3ab+=10 分C （选修（选修 4-4：坐标系与参数方程）：坐标系与参数方程）因为圆的极坐标方程为，所以Csin2cos2，sin2cos22所以圆的直角坐标方程为，圆心为,半径C02222yxyx22,22为 1,4 分因为直线 的参数方程为（ 为参数） ，l2,224 22xtytt所以直线l上的点向圆 C 引切线长是22,4 222ttP，2222222224 214242 62222ttPCRt所以直线l上的点向圆 C 引的切线长的最小值是62 10 分D （选修（选修 4-5：不等式选讲）：不等式选讲）证法证法一：因为均为正数，由均值不等式得，a b c，22223()abcabc32 分因为，所以 13111()abcabc3223111()abcabc) 95 分故 22222233111()()abcabcabcabc) 39又 3，所以原不等式成2233()9()2 276 3abcabc立10 分证法二：证法二：因为均为正数，由基本不等式得，a b c