数学史上的三次危机PPT课件

1、上一节课讲了啥？ 每每3 3个数有且只有一个被个数有且只有一个被2 2整除，整除， 每每4 4个数有且只有一个被个数有且只有一个被3 3整除，整除， 每每5 5个数有且只有一个被个数有且只有一个被5 5整除，整除， 每每6 6个数有且只有一个被个数有且只有一个被8 8整除，整除， 每每7 7个数有且只有一个被个数有且只有一个被1313整除，整除， 每每8 8个数有且只有一个被个数有且只有一个被2121整除，整除， 每每9 9个数有且只有一个被个数有且只有一个被3434整除，整除， 第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多积多1 1，每个偶数项的平

2、方都比前后两项之积少，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1 1 21.1.危机的起因：危机的起因： 第一次数学危机是由第一次数学危机是由 不能写成两个整数之比引发的。不能写成两个整数之比引发的。2.2.危机发生的时间：危机发生的时间：约公元前约公元前530530年年3.3.危机彻底解决危机彻底解决 ：彻底解决这一危机彻底解决这一危机是在是在1919世纪实数理世纪实数理论建立后论建立后 第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派内部提出的，第二次数学危机则是由牛顿学派内部提出的，第二次

3、数学危机则是由牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的，是对牛顿派的外部、贝克莱大主教提出的，是对牛顿 “无穷小量无穷小量”说法的质疑引起的。说法的质疑引起的。 1.1.危机起因：危机起因：牛顿的牛顿的“无穷小无穷小” 牛顿的微积分是一项划时代的科学成就，蕴含着牛顿的微积分是一项划时代的科学成就，蕴含着巨大的智慧和创新。恩格斯说：巨大的智慧和创新。恩格斯说： “在一切理论成就中在一切理论成就中, ,未必再有什么象未必再有什么象1717世纪下半叶微积分世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了的发现那样被看作人类精神的最高胜利了. .如果在某个地方我们如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和

4、唯一的功绩，那正是在这里。看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那正是在这里。” 微积分的一个来源，是想求运动物体在某一时刻的微积分的一个来源，是想求运动物体在某一时刻的瞬时速度瞬时速度。在牛顿之前，只能求一段时间内的。在牛顿之前，只能求一段时间内的平均速平均速度，度，无法求某一时刻的瞬时速度。无法求某一时刻的瞬时速度。 1734年，贝克莱以年，贝克莱以“渺小的哲学家渺小的哲学家”之名出版之名出版了一本标题很长的书了一本标题很长的书分析学家；或一篇致一位不信分析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象、神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的

5、神秘、信仰的要点有更清原则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推理晰的表达，或更明显的推理贝克莱嘲笑最小量是贝克莱嘲笑最小量是“逝去量的幽灵逝去量的幽灵”其核心是其核心是“无穷最小量是不是无穷最小量是不是0？”2.2.危机消除：危机消除： 一直到十九世纪二十年代，一些数学家才开始一直到十九世纪二十年代，一些数学家才开始比较关注于微积分的严格基础。它们从波尔查诺、比较关注于微积分的严格基础。它们从波尔查诺、阿贝尔阿贝尔、柯西、狄里、柯西、狄里克莱克莱等人的工作开始，最终由等人的工作开始，最终由威尔威尔斯特拉斯、斯特拉斯、戴德戴德金和康托尔彻底完成，中间经金和康托尔彻底完

6、成，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了一个严格的基础。奠定了一个严格的基础。 作为新生事物的微积分的出现，大大推进了数作为新生事物的微积分的出现，大大推进了数学的发展。当然，新生事物的不完备是必然的，但它学的发展。当然，新生事物的不完备是必然的，但它却具有强大的生命力。在微积分发现的却具有强大的生命力。在微积分发现的200多年后，多年后，经过无数数学家的努力，终于成功地建立起非常严格经过无数数学家的努力，终于成功地建立起非常严格的实数理论和极限理论，不仅彻底解决了牛顿时期的的实数理论和极限理论，不仅彻底解决了牛顿时期的论证问题，

7、而且为微积分今后的发展奠定了牢固的理论证问题，而且为微积分今后的发展奠定了牢固的理论基础。论基础。 到到19世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何的世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何的出现使几何理论更加扩展和完善；实数理论（和极限出现使几何理论更加扩展和完善；实数理论（和极限理论）的出现使微积分有了牢靠的基础；群的理论、理论）的出现使微积分有了牢靠的基础；群的理论、算术公理的出现使算术、代数的逻辑基础更为明晰，算术公理的出现使算术、代数的逻辑基础更为明晰，等等。人们水到渠成地思索：整个数学的基础在哪里？等等。人们水到渠成地思索：整个数学的基础在哪里？正在这时，正在这时，19世纪末，集合论出现了

8、。人们感觉到，世纪末，集合论出现了。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。集合论有可能成为整个数学的基础。 庞加莱（庞加莱（ (Jules Henri Poincar，法，法，1854-1912 ）甚至在）甚至在1900年巴黎国际数学家大会上宣称：年巴黎国际数学家大会上宣称：1.1.危机起因：危机起因：罗素的罗素的“悖论悖论” 某村的一个理发师宣某村的一个理发师宣称，他只给村里自己不称，他只给村里自己不给自己刮脸的人刮脸。给自己刮脸的人刮脸。 问：理发师是否给自问：理发师是否给自己刮脸？己刮脸？ 罗素把他发现的悖论写信告诉弗雷格。弗雷罗素把他发现的悖论写信告诉弗雷格。弗雷格在他的格在他的

9、算术基础算术基础一书的末尾无可奈何地写一书的末尾无可奈何地写道：道：“一个科学家遇到的最不愉快的事莫过于，一个科学家遇到的最不愉快的事莫过于，当他的工作完成时，基础崩塌了。当本书即将印当他的工作完成时，基础崩塌了。当本书即将印刷时，罗素先生的一封信就使我陷入这样的尴尬刷时，罗素先生的一封信就使我陷入这样的尴尬境地。境地。” 2 2危机的消除危机的消除 危机出现以后，包括罗素本人在内的许多数学危机出现以后，包括罗素本人在内的许多数学家作了巨大的努力来消除悖论。当时消除悖论的选家作了巨大的努力来消除悖论。当时消除悖论的选择有两种，一种是抛弃集合论，再寻找新的理论基择有两种，一种是抛弃集合论，再寻找

10、新的理论基础，另一种是分析悖论产生的原因，改造集合论，础，另一种是分析悖论产生的原因，改造集合论，探讨消除悖论的可能。探讨消除悖论的可能。 人们选择了后一条路，希望在消除悖论的同时，人们选择了后一条路，希望在消除悖论的同时，尽量把原有理论中有价值的东西保留下来。尽量把原有理论中有价值的东西保留下来。第第 第三次数学危机推动了数学家们从逻辑和哲第三次数学危机推动了数学家们从逻辑和哲学的角度深入研究数学基础问题。数理逻辑得到了学的角度深入研究数学基础问题。数理逻辑得到了大发展，证明论、模型论和递归论相继诞生，出现大发展，证明论、模型论和递归论相继诞生，出现了数学基础理论、类型论和多值逻辑等。可以说

11、第了数学基础理论、类型论和多值逻辑等。可以说第三次数学危机大大促进了数学基础研究及数理逻辑三次数学危机大大促进了数学基础研究及数理逻辑的现代性，而且也因此直接造成了数学哲学研究的的现代性，而且也因此直接造成了数学哲学研究的“黄金时代黄金时代”。 历史上的三次数学危机，给人们带来了极大的麻烦，危历史上的三次数学危机，给人们带来了极大的麻烦，危机的产生使人们认识到了现有理论的缺陷，科学中悖论的产生机的产生使人们认识到了现有理论的缺陷，科学中悖论的产生常常预示着人类的认识将进入一个新阶段，所以悖论是科学发常常预示着人类的认识将进入一个新阶段，所以悖论是科学发展的产物，又是科学发展源泉之一。展的产物，又是科学发展源泉之一。 第一次数学危机使人们发现无理数，建立了完整的实数理第一次数学危机使人们发现无理数，建立了完整的实数理论，欧氏几何也应运而生并建立了几何公理体系；论，欧氏几何也应运而生并建立了几何公理体系； 第二次数学危机的出现，直接导致了极限理论、实数理论第二次数学危机的出现，直接