专题九、解析几何2

1、解析几何常考要点与核心内容一 直线与圆要求：熟练掌握基础知识直线与方程，圆与方程，倾角，斜率，两直线平行与垂直的判定，圆的几何性质，点到直线距离公式等这一内容的相关题目一考查基础知识，基本技能为主复习时注意：熟练掌握直线方程的求法，注意点到直线距离公式的应用.注意利用圆的几何性质解决与圆有关的问题(提示：垂径定理，相交弦定理，切割线定理等).对称问题中点P与关于直线l对称的充要条件是：中点在l上且与l垂直.注意数形结合思想的应用.二 圆锥曲线曲线与方程：会利用已知条件求解曲线方程，求解时注意讨论取值范围.椭圆与双曲线：注意：椭圆与双曲线几何性质的异同.往往处理问题的方式是一样的.相关定义，如实

2、轴，虚轴，实半轴，虚半轴，长轴，短轴，长半轴，短半轴，离心率等.注意相关几何性质：第一定义，第二定义，对称性等.要求：会求解相关方程(这类题目在高考中常见).会求双曲线渐进线.注意求解离心率与离心率取值范围的题目(这类题目在高考中常见).解决焦点三角形相关问题时，利用好第一定义，余弦定理和面积公式.PS：设圆锥曲线上有一点P，圆锥曲线焦点分别为F1，F2，对于F1PF2注意以下三个式子：抛物线：注意：定义及方程形式，注意与二次函数yax2的区别与联系.当圆锥曲线方程确定时，焦半径长由焦点及焦半径与x轴所成角唯一确定.特别的：设P为抛物线y22px(p0)上一点，F为焦点，为PF与x轴正方向所成

3、的角，则有：.三 直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线相切：主要考察抛物线的切线，要求会求切线(一般利用求导的方法).注：抛物线x22py(p0)中，过定点(m，0)(m0)的直线交抛物线于A，B两点.过A，B做抛物线的切线，交于点C则点C过定直线.注：圆锥曲线切线的一些性质：P为椭圆上一点，F1，F2为椭圆焦点，则过P点的切线的法线平分(即切线平分的外角)P为双曲线 上一点，F1，F为其焦点，则过P点的切线平分F1PF2P为抛物线y22px(p0)上一点，F为其焦点，则过P点的切线的法线平分PF与水平线(这里指与x轴平行的直线)的夹角.光学性质：抛物面镜，可将焦点处电光源发射的光反射成平行光.直线与

4、圆锥曲线有两个交点：直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考的热点，题目主要以解答题形式出现.常见的有求弦长，焦点弦长，弦中点问题，取值范围最值等问题.希望同学们在解决问题时注意利用一元二次方程相关结论(判别式，韦达定理)，函数的性质(主要是单调性)，不等式，平面向量等知识. 这类题目重在考察学生基本的数学素质与数学能力，难度多为中等偏难题，运算量思维量大，综合性较强.注：常见问题的解决方法(这里设直线l截圆锥曲线F(x，y)0，交F(x，y)0于两点A(x1，y1)，B(x2，y2).)韦达定理弦长公式中点弦，弦中点AB中点M(x0，y0)与AB斜率的关系将A，B坐标代入圆锥曲线方程，这里以双曲线

5、为例，代入A，B坐标后得到二等式：二式相减，得利用平方差公式，化简后得到等式：从而有焦半径与焦点弦焦半径公式对于圆锥曲线C，P为C上一点，F为C的焦点，l为F相应准线.过F作FGl于G，设p为F到l的距离，为到的角.e为离心率，则PF的长满足推导还是比较简单的，这里以抛物线(抛物线的离心率e1)为例如图，设P为抛物线y22px(p0)上一点，F为焦点，为PF与x轴正方向(也就是)所成的角，过P作PMx轴于M，PP1准线l于P1.则|FG|p(焦点到准线的距离是p).|PP1|PF|(抛物线定义)，|PP1|GM|(垂直)所以|PF|GM|GF|FM|在RtFMP中，|FM|FP|cos，从而有

6、|PF|p|PF|cos，化简后即可得到当然，这只是(0，)时的情况，其他情况通过分类讨论也是容易得到的.焦点弦长公式由上面的公式，易知，若为焦点弦，则从而利用上面的焦点弦长公式，可得到公式特点：这一公式刻画了焦点弦长与所在直线倾角之间的关系.焦点弦与第二定义圆锥曲线C，F为C的焦点，l为F相应准线.交x轴于M，弦AB过F.如图，过A，B作l于，l于.设e为C的离心率此时，梯形为直角梯形.所以，由第二定义：从而所以由相似，我们可以得到MF平分AMB.当然，利用梯形的几何性质，我们还可以得到更多的结论，有兴趣的同学可以去研究一下.这里只给出这一简单的几何性质，目的是提示同学们注意这一以焦点弦为一

7、腰的直角梯形.不一定经过焦点的弦抛物线(1)注意直线与抛物线联立的特点设抛物线y22px(p0)与直线l：myxt交于A，B两点.l交x轴于(t，0)直线方程myxt(注意这样设直线的好处)与抛物线y22px联立后利用韦达定理可以得到x1x2t2，y1y22pt这时x1x2和y1y2由t决定，注意t的几何意义(直线myxn与x轴交点的横坐标)若t一定，则x1x2和y1y2为定值.(2)直线AB的方程可以直接利用AB的坐标表示.(利用两点式或点斜式设出直线方程代入A，B点坐标，注意A，B都在抛物线上，从而可以将直线方程化简)化简结果AB：四 综合问题圆锥曲线有关的最值，定值，参数的取值范围取值范

8、围问题注意：根据已知条件利用韦达定理，将几何问题转化为解含参数的不等式问题或不等式恒成立问题.过定点，有定向问题：利用韦达定理，积累二级定理公式这里提供一个定理，有兴趣的同学可以自己证明并将其推广：设P为圆锥曲线上一点，过P作圆锥曲线的两条弦PA，PB，交圆锥曲线于A，B两点当KPAKPB为定值或KPAKPB为定值时，弦AB过定点或有定向.(同学们可以先证明这一定理在抛物线中的情况，然后尝试推广到椭圆和双曲线)在复习解析几何时希望同学们注意选择适合自己的复习策略.在练习时注意要多练多算，解题时一定要动笔算，不能想出思路后就过了.记住，运算出错是因为你算的不够多，该犯的错误还没有犯够，解析几何中

9、尤其要注意练习运算能力.基础篇1.已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为_；渐近线方程为_.考点：椭圆与双曲线焦点坐标的求法以及双曲线的渐近线解析：双曲线焦点即为椭圆焦点，不难算出为，又双曲线离心率为2，即，故，渐近线为答案：，2.已知椭圆：的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于、两点若，则A1BCD2考点：本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.解析：设直线l为椭圆的有准线，e为离心率，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，B为垂足，过B作BE垂直于AA1与E，由第二定义得，由，得，所以|AB|4|BF|，即，故选B. （将AB念成AE）答案：B3.已知抛

10、物线：的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为若，则_考点：本题主要考查抛物线的定义与性质.解析：过B作BE垂直于准线于E，M为中点，又斜率为，M为抛物线的焦点，2.本题亦可以利用定比分点公式，设出A，B坐标，.利用题目条件可列出方程 ，即可求得结果p=2.答案：24.已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于A，B两点，且AB的中点为，则的方程式为ABCD考点：利用点差法处理弦中点与斜率问题解析：设双曲线方程为，即，由，得又中点，即，所以，选B答案：B5.设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为

11、ABCD考点：本题主要考察三角形与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考察解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，过做垂直于直线，垂足为E，=2a，根据等腰三角形性质，E为中点。然后利用勾股定理，解得，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C答案：C 6.设抛物线的焦点为，点.若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为_考点：抛物线的定义及几何性质解析：利用抛物线的定义结合题设条件，设F的坐标为，B点坐标为，带入抛物线方程，可得出的值为，B点坐标为所以点B到抛物线准线的距离为，本题主要考察抛物线的定义及几何性质，属容易题答案： 提高篇1.设，分别是椭圆：的

12、左、右焦点，过斜率为1的直线与相交于，两点，且，成等差数列(1)求的离心率；(2)设点满足，求的方程考点：本题主要考察直线、椭圆，双曲线等知识 解析：(I)由椭圆定义知，又，得的方程为，其中设，则A、B两点坐标满足方程组化简的则，因为直线AB斜率为1，所以得故所以E的离心率(II)设AB的中点为，由(I)知，由，得，即得，从而，故椭圆E的方程为法二(1)利用题目所给的条件，得到焦点弦长. 利用焦半径公式其中为倾角或其补角，为焦点到准线的距离.代入得到其中，从而可得所以.下证焦点弦长公式：过A作左准线l于准线交x轴于K.过A作AMx轴于M，从而有|KF1|F1M|，即e|F1A|p|AF1|co

13、s，整理得推导还是比较简单的，这里以抛物线(抛物线的离心率e1)(2)由|PA|PB|可知P点在AB垂直平分线上，与中点相关，利用点差法及A(x1，y1)，B(x2，y2)AB中点N(x0，y0)与AB斜率的关系将A，B坐标代入椭圆方程，代入A，B坐标后得到二等式：二式相减，得利用平方差公式，化简后得到等式：从而有AB中垂线方程我们可以写为，N(x0，y0)满足x0y01.且由(1)问知e所以所以，即N(2，1)所以AB：.所以a，b3c，故椭圆E的方程为2.已知抛物线：的焦点为F，过点的直线与相交于、两点，点A关于轴的对称点为D.()证明：点F在直线BD上；()设，求的内切圆M的方程 .考点：本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识，规律方法：综合运用数学知识进行推理论证，同时运用数形结合思想、设而不求思想.解析：设，的方程为.()设代入并整理得，从而 ，直线的方程为即令，得所以点在直线上()由知