D12函数的极限ppt课件

1、利用圆内接正多边形来推算圆面积利用圆内接正多边形来推算圆面积 割圆术割圆术: :R圆内接正六边形面积圆内接正六边形面积1A圆内接正十二边形面积圆内接正十二边形面积2A, , 26 1nnA边边形形面面积积圆圆内内接接正正 ,321nAAAA圆内接正二十四边形的面积圆内接正二十四边形的面积3A面积值构成一列有次序的数面积值构成一列有次序的数一、数列极限的定义1.问题的引入 , 越大越大当当n内接正多边形与圆的差别越小内接正多边形与圆的差别越小, , , 如何大如何大但是无论但是无论 n , 只是多边形的面积只是多边形的面积nA , )( nn无限增大时无限增大时当当 内接正多边形无限内接正多边形

2、无限接近于圆接近于圆, , ),( 即即圆圆的的面面积积数数值值无无限限接接近近于于某某一一确确定定的的nA. , 321极极限限时时的的当当数数为为在在数数学学上上称称这这个个确确定定的的 nAAAAn例如例如;,21,81,41,21n;21 n2.数列的定义 . , , , ,N , 21nnnnxxxxnxxn简记为数列简记为数列叫做数列叫做数列就就序列序列从小到大排列得到一个从小到大排列得到一个按照下标按照下标这些实数这些实数着一个确定的实数着一个确定的实数对应对应对每一个对每一个如果按照某一法则如果按照某一法则 . ,叫叫做做数数列列的的一一般般项项项项第第数数列列的的项项数数列列

3、中中的的每每一一个个数数叫叫做做nxn;,)1( , 1 , 1, 11 n;)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn ;)1(1 nnn,333,33, 3 .31nnxx 从几何上看从几何上看, ,数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列. . 可看作一动点可看作一动点在数轴上依次取在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx数列是自变量取正整数的函数数列是自变量取正整数的函数).N( )( nnfxn.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn观察重点观察重点:? , 数数个确定的常个确定的常否接近于一否接近于一是是大时大时无限增无限增当当nxn

4、3.数列极限(sequence limit)的定义1020304050 x12yn50O. 1)1(1,1无无限限接接近近于于无无限限增增大大时时当当nxnnn 问题问题: :“无限接近无限接近意味着什么意味着什么? ?如何用数学语言刻划如何用数学语言刻划它它. . 1 nx因为因为,11)1(1nnn 方法方法: : 两数之间的接近程度可以用两数之差的绝两数之间的接近程度可以用两数之差的绝对值对值( (即距离即距离) )来表示来表示. . ,)1(1 1 nn对对数数列列,1001给定给定,10011 n由于由于,100时时故故只只要要 n,10011 nx有有,10001给定给定,1000

5、时时只只要要 n,10117 nx有有,1017给定给定,107时时只要只要 n,100011 nx有有, 0 给给定定,1时时只要只要 Nn.1成立成立有有 nx . 1 , 数数可可以以小小于于任任意意给给定定的的正正足足够够大大只只要要nn数列极限的定义数列极限的定义. ) ( lim, , , , , , ) ( , , naxaxaxxaaxNnNaxnnnnnnn当当或或记为记为收敛于收敛于或称数列或称数列的极限的极限是数列是数列么就称常数么就称常数那那都成立都成立不等式不等式时时使得当使得当总存在正数总存在正数不论它多么小不论它多么小意给定的正数意给定的正数对于任对于任如果存在常

6、数如果存在常数为一数列为一数列设设 . lim , , , 不存在不存在习惯上也说习惯上也说是发散的是发散的或者说数列或者说数列有极限有极限没没就称数列就称数列如果不存在这样的常数如果不存在这样的常数nnnnxxxa 例如例如,1,43,32,21nn1nnxn)(1n,) 1(,43,34,21,21nnnnnxnn1) 1()(1n,2,8,4,2nnnx2)(n,) 1( ,1,1,11n1) 1(nnx趋势不定收 敛发 散; , )1(可可以以任任意意给给定定非非常常重重要要所所以以接接近近的的无无限限与与刻刻划划了了因因为为不不等等式式 axaxnn . , )2(而而选选定定的的给

7、给定定它它随随着着有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 N关于定义的说明关于定义的说明: :(3) 几何解释几何解释:x1x2x2 Nx1 Nx3x 2 a aa .) ( ,),( , 落落在在其其外外个个至至多多只只有有只只有有有有限限个个内内都都落落在在所所有有的的点点时时当当NaaxNnn : 定定义义数数列列极极限限的的N ,对对于于每每一一个个或或对对于于任任意意给给定定的的表表示示 . 存存在在或或至至少少有有一一个个表表示示 . , , , 0lim axNnNaxnnn有有时时当当正正整整数数(4) 极限概念的简写形式极限概念的简写形式(5) 数列极限的定义未给出如何求数

8、列的极限数列极限的定义未给出如何求数列的极限.例例1. 1)1(lim1 nnnn证证明明证证axn 1)1(1 nnn,1n , 0 ,1 nx若要若要,1 n只要只要,1 n或或,1 N于于是是取取,时时则当则当Nn ,1)1(1 nnn就有就有. 1)1(lim1 nnnn即即例例20. , , , , 1 , 1 12极限是极限是证明等比数列证明等比数列设设 nqqqq证证 ),1 ( 0 设设 0 nx因因为为01 nq,1 nq , 1 nq要要使使 ,lnln)1( qn取对数得取对数得 , 1 q因因为为, 0ln q ,lnln1qn 所以所以,lnln1 qN 取取,时时则

9、当则当Nn ,01 nq就就有有. 0lim1 nnq即即注意注意: : . , , 0 , NN小的小的但不需要寻找最但不需要寻找最确实存在确实存在指出指出在于在于关键关键列的极限时列的极限时利用定义证明某数是数利用定义证明某数是数 23baab22abnabax二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质证证: 用反证法用反证法.axnnlim及,limbxnn且. ba 取,2ab因,limaxnn故存在 N1 , ,2abnax从而2banx同理, 因,limbxnn故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有2banx1. 收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.使当 n N1 时, 2ba2a

10、b2ab假设22abnabbxnbax223ab,2abnbx从而2banx矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当 n N 时, ,max21NNN 取故假设不真 !nx满足的不等式例例4. 证明数列证明数列),2, 1() 1(1nxnn是发散的. 证证: 用反证法用反证法.假设数列nx收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .取,21则存在 N ,2121axan但因nx交替取值 1 与1 , ),(2121aa内,而此二数不可能同时落在21a21aa长度为 1 的开区间 使当 n N 时 , 有因此该数列发散 .2. 收敛数列一定有界收敛数列一定有界.证证: 设设,limaxnn取,1,N那么当

11、Nn 时, 从而有nxaaxna1取 ,max21NxxxMa1则有. ),2,1(nMxn由此证明收敛数列必有界.说明说明: 此性质反过来不一定成立此性质反过来不一定成立 . 例如,1)1(n虽有界但不收敛 .aaxn)(, 1axn有数列3. 收敛数列的保号性收敛数列的保号性.假设,limaxnn且0a,NN则Nn 当时, 有0nx, )0(. )0(证证: 对 a 0 , 取,2a,NN则,时当Nn axn2anx02aaax2a2a推论推论: 若数列从某项起0nx,limaxnn且0a则)0(. )0(用反证法证明)*,axkn4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数

12、列收敛于同一极限 .证证: 设数列设数列knx是数列nx的任一子数列 .假设,limaxnn那么,0,N当 Nn 时, 有axn现取正整数 K , 使,NnK于是当Kk 时, 有knKnN从而有由此证明 .limaxknk*NKnNxKnx由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极限 ,例如， ),2, 1() 1(1nxnn; 1lim12kkx1lim2kkx发散 !则原数列一定发散 .说明说明: 五、小结数列数列: :研究其变化规律研究其变化规律; ;数列极限数列极限: :极限思想、精确定义、几何意义极限思想、精确定义、几何意义; ;收敛数列的性质收敛数列的性质: :有界性、唯一性、子数列的收敛性有界性、唯一性、子数列的收敛性. .1.