基于Matlab70的数学摆求解

1、基于Matlab7.0的数学摆求解NORTHWESTERN POLYTECHNICAL UNIVERSITY基于Matlab7.0的数学摆求解 一 数学摆分析数学摆是系于一根长度为的线上而质量为的质点M，在重力作用下，它在垂直于地面的平面上沿圆周运动，如下图所示。我们来确定摆的运动方程。设取逆时针运动的方向作为计算摆与铅垂线所成的角的正方向。质点M沿圆周的切向速度可以表示为 。作用于质点M的重力将白拉回平衡位置A 。把重力分解为两个分量和，第一个分量沿半径OM方向，与线的拉力相抵消，它不会引起质点M的速度的数值的改变。第二个分量沿着圆周的切线方向，它引起质点M的速度的数值的改变。因为总是使质点

2、M向着平衡位置A的方向运动，即当角为正时，向减小的方向运动；当角为负时，向增大的方向运动，所以的数值等于。因此，摆的运动方程是 (1-1)即 (1-2)如果只研究摆的微小振动，即当比较小时的情况，我们可以取的近似值代入方程(2)。这样，就得到微小振动时摆的运动方程 (1-3)如果我们假设摆是在一个粘性的介质中摆动，那么，沿着摆的运动方向就存在一个与速度成比例的阻力。如果阻力系数是，则摆的运动方程变为如果沿着摆的运动方向恒有一个外力作用于它，这时摆的运动称为强迫微小振动，其方程为当要确定摆的某一个特定的运动时，我们应该给出摆的初始状态：当时， ， ，这里代表摆的初始位置，代表摆的初始角速度的大小

3、。二 无阻尼自由振动2.1 解析法如果只研究摆的微小振动，即当比较小时的情况，我们可以取的近似值代入方程(1-2)。这样，就得到微小振动时摆的运动方程 (2-1)记 ，这里 是常数，(3)变为 (2-2)这是二阶常系数齐次线性微分方程，它的特征方程为 (2-3)特征根为共轭复根 (2-4)因此，方程(3-1)的通解为 (2-5)其中，为常数。为了获得明显的物理意义，令 (2-6)因此，若取 (2-7)则(3-4)可以写成 (2-8)即 (2-9)这里代替了作为通解中所含的两个任意常数。2.2 软件计算首先把二阶常微分方程改写为一阶常微分方程组： (2-10)然后，把该一阶常微分方程组用一个M文

4、件形式的函数来表示，代码设置如下：%ODE.m%常微分方程function d;最后，用函数ode(45)来解这个微分方程，并画图计算结果，代码设置如下：%ode45.m%解微分方程;；由上述语句得到如下图所示的示意图。三 有阻尼自由振动3.1 解析法如果我们假设摆是在一个粘性的介质中摆动，那么，沿着摆的运动方向就存在一个与速度成比例的阻力。如果阻力系数是，则摆的运动方程变为 (3-1)记，这里是正常数，(4)可以写成 (3-2)它的特征方程为 (3-3)特征根为 (3-4)对于不同的阻尼值，微分方程有不同形式的解，它表示不同的运动形式，现分下面三种情况进行讨论： 小阻尼的情形：即的情形，这时

5、为一对共轭复根，记，则 。而方程(4-1)的通解为 (3-5)和前面无阻尼的情形一样，可以把上述通解改写成如下形式： (3-6)这里为任意常数。 大阻尼的情形：即的情形，这时，特征方程(4-2)有两个不同的负实根。方程(4-1)的通解为 (3-7)这里为任意常数。 临界阻尼的情形：即的情形，这时特征方程(4-2)有重根。方程(4-1)的通解为 (3-8)这里为任意常数。3.2 软件计算首先把二阶常微分方程改写为一阶常微分方程组： (3-9)然后，把该一阶常微分方程组用一个M文件形式的函数来表示，代码设置如下：%ODE.m%常微分方程function d;；;最后，用函数ode(45)来解这个微

6、分方程，并画图计算结果，代码设置如下：%ode45.m%解微分方程;；由上述语句得到如下图所示的示意图。四 无阻尼强迫振动4.1 解析法这时摆的运动称为强迫微小振动，其方程为 (4-1)令，设，为已知常数，为外力圆频率。这时(5)变为 (4-2)方程(5-1)的对应齐次线性微分方程的通解为 (4-3)这里是任意常数。现求(5-1)的一个特解。如果，则(5-1)有形如因此，方程(5-1)的通解为 (4-4)4.2软件计算首先把二阶常微分方程改写为一阶常微分方程组： (4-5)然后，把该一阶常微分方程组用一个M文件形式的函数来表示，代码设置如下：%ODE.m%常微分方程function d;；;最

7、后，用函数ode(45)来解这个微分方程，并画图计算结果，代码设置如下：%ode45.m%解微分方程;；由上述语句得到如下图所示的示意图。五 有阻尼强迫振动5.1 解析法这时摆的运动方程为 (5-1)根据实际的需要，我们只讨论小阻尼的情形，即的情形。这时(6)对应的齐次线性微分方程的通解为 (5-2)这里为任意常数，。现求(6)的一个特解，这时可以寻求形如 (5-3)的特解，这里是待定常数。将(6-2)代入(6)，比较同类项系数，得到为了获得更明显的物理意义，令即令 (5-4)及这时(6-2)可以写成 (5-5)因此，(6)的通解为 (5-6)5.2 软件计算首先把二阶常微分方程改写为一阶常微分方程组： (5-7)然后，把该一阶常微分方程组用一个M文件形式的函数来表