D35高阶导数与高阶微分ppt课件

1、 3 . 5 3. 5. 1 3. 5. 1 高阶导数与高阶微分的概念高阶导数与高阶微分的概念机动 目录 上页 下页 前往 终了 高阶导数与高阶微分高阶导数与高阶微分 第 3 章 3. 5. 2 3. 5. 2 高阶导数与高阶微分的运算法则高阶导数与高阶微分的运算法则3.5.1 3.5.1 高阶导数与高阶微分的概念高阶导数与高阶微分的概念 ss tddsvtvs其瞬时为速度为：即其加速度为：即引例：变速直线运动方程为：引例：变速直线运动方程为：机动 目录 上页 下页 前往 终了 ddvatddddstt as1. 1. 高阶导数高阶导数y22ddyx yy若函数的导数仍可导,或即或 ,fx类似

2、地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导数的导数称为 n 阶导数 ,或的二阶导数 , 记作：的依次类推 ,各阶导数分别记作：则称机动 目录 上页 下页 前往 终了 22ddddddyyxxx yf x fx yf x fx or ( )fxfx 导数为函数 or fx或 (4),fx ( ),;nfx33dd,yx44dd,yxd,d.nnyx,y(4),y( ),.ny(1)n定义：定义：函数的二阶以及二阶以上的各阶导数统称为高阶导数。2. 2. 高阶微分高阶微分 2dy 2dd d yy若函数的微分仍可微,或即或 3d,fx类似地 , 二阶微分的微分称为三阶微分 ,阶微分的微分称为 n

3、阶微分 ,或的二阶微分 ,记作：依次类推 ,函数的各阶微分分别记作：则称机动 目录 上页 下页 前往 终了 yf x df x yf x d df x为函数 4d,fx ,.dnfx 2d f x 2d d dfyf x 3d,y 4d,y ,.dny定义：定义：函数的二阶以及二阶以上的各阶微分统称为高阶微分。(1)n设 ,2210nnxaxaxaaxf求解解: 1axfxa221nnxan 212axfxa3232) 1(nnxann依次类推 ： nnanxf!)(233xa例例1. d. kf x ( ) ,nfx ( )d=d ,=0,1,2,kkkf xfxxkn思索思索: 设设, )

4、(为任意常数xy ?)(ny,) 1()2)(1()()(nnxnx问特别地：机动 目录 上页 下页 前往 终了 ( )1= ! +( +1)!(1) (2)(1),kn kkknfxk aka xn nnn ka x 0,1,2,kn显然：0,1,2,n nx)1 ( 例例2. 设设axye( ).ny( )nnaxya e求解解:特别有:解解:! ) 1( n规定 0 ! = 1思索思索:xnxee)()(例例3. 设设, )1(lnxy求.)(ny,11xy,)1 (12xy ,)1 (21) 1(32xy )(ny1) 1(n, )1(lnxy)(nyxy11 y2)1 (1x,机动

5、目录 上页 下页 前往 终了 1nx（m-1）!3,axya e 2,axya e ,axyae 例例4. 设设n,siyx( ).ny( )sinsin,nxx求解解: xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地 ,类似可得：机动 目录 上页 下页 前往 终了 2n0,1, 2,n ( )coscos.nx2n0,1, 2,n 例例5 . 设设sinaxyebx( ).ny yf x解解:bxaeyxasin)cossin(xbbxbaexa求为常数 , ),(babxbexacos)cossin(222222xbba

6、bxbbaabacossinxae)sin(22bxbaabarctan22bay )sin(bxaexaxaeba22abarctan)2sin(22bxba)cos(bxbexa机动 目录 上页 下页 前往 终了 ( )222()nnyabsinaxebxn例例6. 设设 323,f xxx x ( )0nf12x求使收敛的最高分析分析: : )(xf0 x,43x0 x,23xxxfx02lim)0(300 xxfx04lim)0(3000 x0 x)(xf,122x,62x )0(fxxx206lim0 )0(fxxx2012lim0 )(xf但是,12)0( f,24)0( f发散。

7、._n2又0 x,24x0 x阶数机动 目录 上页 下页 前往 终了 0f 3.5.2 3.5.2 高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则 ,uu x vv x( )1.nuv都是n 阶可导的 , 那么)()(. 2nuC)(nuC(C为常数)()(. 3nvuvun)(!2) 1( nn(1)(1)!n nnkk(2)nuv )()(kknvu)(nvu 莱布尼兹莱布尼兹(Leibniz) 公式公式vunn) 1(推导 目录 上页 下页 前往 终了 ()()0Cnkknknkuv设函数( )nu( )nvvu 3)(vuvuvu)( vu)(vuvuvuvu 2vu )( vuvu vu 3v

8、u 用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立 .机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例 7. 22,xyx e(20).y2,xue求解解: 设设那么xkkeu2)(2,2xv ,2 v0)(kv代入莱布尼兹公式 , 得)20(yxe22022xxe219220 x2!219202xe2202)9520(2xxxe2182)20,2,1(k)20,3(k机动 目录 上页 下页 前往 终了 2,vx0!2) 1() 1(nynn)(nyn例例 8. 设设arct,anyx ( ).0ny yf x求解解:,112xy即1)1 (2yx用莱布尼兹公式求 n 阶导数)1 (2xx22令,0 x得)0()

9、1()0() 1() 1(nnynny),2, 1(n由,0)0(y得,0)0( y,0)0()4(y,)0() 12( my)0() 12(2) 12(mymm)0(! )2() 1(ymm0)0()2(my ) 1(ny12, ! )2() 1(2,0)0()(mnmmnymn即由, 1)0( y得)0(! )2() 1()0() 12(ymymm机动 目录 上页 下页 前往 终了 (0,1, 2,)m 内容小结内容小结 yf x yf x yf x(1) 逐阶求导法(2) 利用归纳法(3) 间接法 利用已知的高阶导数公式(4) 利用莱布尼兹公式高阶导数的求法)(1nxa1)(!) 1(n

10、nxan)(1nxa1)(!nxan如,机动 目录 上页 下页 前往 终了 yf x思考与练习思考与练习xy1211)()1 (!) 1(2nnnxnyxxxy11123,)1 (!1)(nxnynn1. 如何求下列函数的如何求下列函数的 n 阶导数阶导数?xxy11) 1 (xxy1)2(3解解: 解解: 机动 目录 上页 下页 前往 终了 2312xxy1121xxy11)() 1(1)2(1!) 1(nnnnxxny(3)12) 1)(2(1xBxAxx提示提示: 令令)2(xA原式2x) 1(xB原式1x11机动 目录 上页 下页 前往 终了 xxy66cossin)4(3232)(c

11、os)(sinxxyxxxx4224coscossinsin222)cos(sinxx x2sin431283)(nyn433ba)(ba )(22babax4cos8385)4cos(2nx 22cos1sin2xx22cossin3解解:机动 目录 上页 下页 前往 终了 1)( !nxfn2. (填空题填空题) (1) 设设,cos)23()(1622xnxxxf那么)2()(nf)(xf16cos) 1(2xxn)()(xfn16cos) 1(2xxn提示提示:各项均含因子 ( x 2 )nx)2( ! n22!n(2) 知)(xf任意阶可导, 且2n时)()(xfn提示提示:,)()(2xfxf则当 )(xf)()(2xfxf3)( !2xf )(xf)()(3!22xfxf4)( !3xf机动 目录 上页 下页 前往 终了 3. 试从试从 yyx1dd导出.)(dd322yyyx 解：解：yxyyxdddddd22 y1xddyxdd2)(yy y13)(yy 同样可求33ddyx(见 P101 题4 ) 作业P101 1 (9) , (12) ; 3 ; 4 (2) ; 8 (2) , (3) ; 9 (2) , (3)第四节 目录 上页 下页 前往 终了 解解: 设)(sin2xfxy 求,y 其中 f 二阶可导.