D5-3-3梯度及其与方向导数的关系ppt课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 第五章 第三节第三节一、梯度一、梯度 二、高阶偏导数二、高阶偏导数 多元数量值函数的导数和微分多元数量值函数的导数和微分目录 上页 下页 返回 结束 一、梯度一、梯度复习复习:沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在的方向导数存在 ,001()()cosniiif xf xxl且有且有假设假设 n 元函数元函数 f 在点在点 可微，可微，0 x则函数在该点则函数在该点12(cos,cos,cos)lne为为l 方向上方向上其中其中的单位向量。的单位向量。目录 上页 下页 返回 结束 方向导数公式方向导数公式令向量令向量这说明这说明方向：方向：f 变化率最大的方向变

2、化率最大的方向模模 : f 的最大变化率之值的最大变化率之值方向导数取最大值：方向导数取最大值：00012()()(),nf xf xf xgxxx0(),lf xg el 0()maxf xglcos( ,)lgg e 001()()cosniiif xf xxl12(cos,cos,cos)lne当当与与 的方向一致时，的方向一致时，legg目录 上页 下页 返回 结束 1. 定义定义0(),grad f x即即00()()grad f xf x 0(),f x或或其中其中称为向量微分算子或称为向量微分算子或 Nabla算子算子.00012()()(),nf xf xf xgxxx设函数设

3、函数则称向量则称向量12( )( ,)nuf xf x xx在点在点 可微，可微，0 x00012()()(),nf xf xf xxxx为函数为函数 f(gradient),在点在点 处的梯度向量，简称梯度处的梯度向量，简称梯度0 x记作记作00012()()(),nf xf xf xxxx目录 上页 下页 返回 结束 12,nxxx 其中其中称为向量微分算子或称为向量微分算子或 Nabla算子算子.它本身没有意义，将它本身没有意义，将 作用于函数作用于函数 f 就得到一向量，即就得到一向量，即0()f x00012()()(),nf xf xf xxxx同样可定义二元函数同样可定义二元函数

4、),(yxf),(yxP),(, ),(),(yxfyxfyxffyxgrad在点在点处的梯度处的梯度 目录 上页 下页 返回 结束 注：注：1. 方向导数可以表示成：方向导数可以表示成：000()(),(),llf xgradf xef xel 2. 若记若记，则利用梯度可将，则利用梯度可将12(,)ndxdx dxdxf 在点在点 x 处的全微分写成：处的全微分写成：( )( ),df xf x dx 方向导数公式方向导数公式001()()cosniiif xf xxl目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求二元函数求二元函数22uxxyy在点在点 P（-1，1处处沿方向沿方向1(2,1

5、)5le 的方向导数，并指出的方向导数，并指出u 在该在该点沿哪个方向的方向导数最大？这个最大的方向点沿哪个方向的方向导数最大？这个最大的方向导数值是多少？导数值是多少？u 沿哪个方向减小的最快？沿着沿哪个方向减小的最快？沿着哪个方向哪个方向u 的值不变化？的值不变化？解：解：( 1,1)( 1,1)( 1,1)(,)(2,2)( 3,3)uuxyuxyyx ( 1,1)( 1,1)13,( 63)55luuel 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 方向导数取最大值的方向即梯度方向，其单位向方向导数取最大值的方向即梯度方向，其单位向，方向导数的最大值为，方向导数的最大值为( 1,1)3 2.

6、uu 沿梯度的负向即沿梯度的负向即的方向减小的最快。的方向减小的最快。1(1, 1)21( 1,1)2量为量为(2)(3) 下面求使下面求使 u 的变化率为零的方向的变化率为零的方向.令令(cos ,sin )le那么：那么：( 1,1)( 1,1),3cos3sinluuel 3 2sin()4令令0ul得得,44，此时，此时u 的值不变化。的值不变化。目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 设函数设函数解解: (1) 点点P处切平面的法向量为处切平面的法向量为0) 1(0) 1() 1(2zyx032 yx在点在点 P(1,1,1) 处的切平面方程处的切平面方程.故所求切平面方程为故所求切

7、平面方程为即即zyxzyxf2),(2) 求函数求函数 f 在点在点 P (1,1,1) 沿增加最快方向的方向导数沿增加最快方向的方向导数.求等值面求等值面 2),(zyxf)0, 1, 2(2) 函数函数 f 在点在点P处增加最快的方向为处增加最快的方向为沿此方向的方向导数为沿此方向的方向导数为5)(PfnfPPzzyyyzxPfn)ln,2()(1)0, 1, 2()(Pfn考虑考虑: f 在点在点P处沿什么方向变化率为处沿什么方向变化率为0 ?注意注意: 对三元函数对三元函数, 与与垂直的方向垂直的方向有无穷多有无穷多)(Pf目录 上页 下页 返回 结束 2. 梯度的运算法则梯度的运算法

8、则ucucgradgrad)(2)vuvugradgradgrad )(3)uvvuvugradgradgrad)(4)uufufgradgrad)()()6(00) 1 (cc或grad为常数）c (ucuc)(或vuvu)(或uvvuvu)(或uufuf)()(或2)()5(vvuuvvugradgradgrad2)(vvuuvvu或目录 上页 下页 返回 结束 uufufgradgrad)()()6(uufuf)()(或证明：设证明：设12( )( ,)nuu xu x xx由一元函数的由一元函数的链式法则，有链式法则，有( )f u12( )( )( ),nf uf uf uxxx12

9、( ),( ),( )nuuuf uf uf uxxx12( ),( )nuuuf uf uuxxx目录 上页 下页 返回 结束 例例3.,)(可导设rf),(222zyxPzyxr为点其中证证:xrf)()(rf yrf)()(rf gradrzrfzrf)()(xrrf)(222zyxxPxOzy,)(ryrf 试证试证rxrf)( .)()(rerfrfradg处矢径处矢径 r 的模的模 ,rixrf)(jyrf)(kzrf)()(1)(kzjyixrrfrrrf1)( rerf)( 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 已知位于坐标原点的点电荷已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点在

10、任意点),(4222zyxrrqu),(zyxP试证试证证证: 利用例利用例3的结果的结果 这说明场强这说明场强:处所产生的电势为处所产生的电势为垂直于等势面垂直于等势面,且指向电势减少的方向且指向电势减少的方向.Eugrad)4(2rerqE 场强rerqu4gradrerq24Ererfrf)()(grad目录 上页 下页 返回 结束 二、高阶偏导数二、高阶偏导数1. 定义定义 假如假如 n 元函数元函数( )uf x的偏导函数的偏导函数( )if xx在点在点 对变量对变量 的偏导数存在的偏导数存在 ，则称这个偏导，则称这个偏导0 xjx数为数为f 在点在点 先对变量先对变量 再对变量再

11、对变量 的二阶偏导的二阶偏导0 xixjx数，记为：数，记为：020()()jijix xf xfxxxx 或或0()ijx xfx或或(2)0()ijfx其中其中1,1injn 目录 上页 下页 返回 结束 例如：二元函数例如：二元函数 z = f (x , y) 的二阶偏导数共有四个，的二阶偏导数共有四个，)(xz)(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy按求导顺序不同按求导顺序不同, 有有22xz);,(yxfxx2zy x ),(yxfyx2( , );y xzfx yx y x其中其中 和和 为二阶混合偏导数。为二阶混合偏导数。( , )x yfx y( , )yxf

12、x y目录 上页 下页 返回 结束 类似可以定义更高阶的偏导数类似可以定义更高阶的偏导数.例如，例如，z = f (x , y) 关于关于 x 的三阶偏导数的三阶偏导数为为3322)(xzxzxz = f (x , y) 关于关于 x 的的 n 1 阶偏导数阶偏导数 , 再关于再关于 y 的一阶的一阶) (y1nnzy x 偏导数为偏导数为11nnxz二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。目录 上页 下页 返回 结束 yxe22例例5. 求函数求函数yxez2.23xyz解解 :xz22xz) ( 223xyzxxyzyzxyz2yxz2 22 yz注意注意: :

13、此处此处,22xyzyxz但这一结论并不总成立但这一结论并不总成立. .yxe2yxe22yxe2yxe22yxe22yxe24的二阶偏导数及的二阶偏导数及 目录 上页 下页 返回 结束 0,)(4222224224yxyxyyxxxyfyfxxy)0, 0(), 0(lim0),(yxfy反例：反例：),(yxfx)0 , 0(yxfxfxffyyxxy)0, 0()0,(lim)0 , 0(0二者不等二者不等yyy0lim1xxx0lim1),(yxf0, 022 yx0,)(4222224224yxyxyyxxy0,022 yx0,222222yxyxyxyx0, 022 yx目录 上页

14、 下页 返回 结束 ,),()()(00连续都在点和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx那那么么定理定理.例如例如, 对三元函数对三元函数 u = f (x , y , z) ,),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx说明说明:本定理对本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序数可以选择方便的求导顺序.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx因为初等函数的偏导数仍为初等函数因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,当三阶混合偏导数当三阶混合偏导数在点在点 (x , y , z) 连续时连续时, 有有而初等而初等(证明略证明略) 证明证明 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 证明函数证明函数22222)(yxxy22222)(yxxy22lnyxz满足拉普拉斯满足拉普拉斯02222yzxz证：证：xz22xz2222yzxz方程方程22yxx22222)