D62二重积分的计算第一部分ppt课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 第二节二、直角坐标系下二重积分的计算法二、直角坐标系下二重积分的计算法 三、极坐标系下二重积分的计算法三、极坐标系下二重积分的计算法 二重积分的计算 第六章 一、二重积分的几何意义一、二重积分的几何意义 四、曲线坐标下二重积分的计算法四、曲线坐标下二重积分的计算法 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义:),(yxf设将区域 D 任意分成 n 个小区域),2,1(nkk任取一点,),(kkk若存在一个常数 I , 使nkkkkfI10),(lim可积可积 , ),(yxf则称Dyxfd),(),(yxfI为称在D上的二重积分.称为积分变量yx,积分和Dyxfd),

2、(积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数 , 2.1 二重积分的几何意义二重积分的几何意义目录 上页 下页 返回 结束 DyxfVd),(曲顶柱体体积:DyxMd),(平面薄板的质量:假如 在D上可积,),(yxf元素d也常记作,ddyx二重积分记作.dd),(Dyxyxf,kkkyx 这时分区域 D , 因此面积 可用平行坐标轴的直线来划 Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(yxO目录 上页 下页 返回 结束 求体积求体积: 类似定积分解决问题的思想类似定积分解决问题的思想:设设 0),(yxfz底：底： xOy 面上的闭区域面上的闭区域 D顶顶: 连续曲

3、面连续曲面侧面：以侧面：以D的边界为准线的边界为准线 , 母线平母线平行于 z 轴的柱面.“分, 匀, 合, 精” D),(yxfz 2(),fC DDR（有界闭区域）（有界闭区域） 二重积分：二重积分： 01()( , )lim(,)nkkkdkDf x y df 其几何意义就是曲顶柱体的体积其几何意义就是曲顶柱体的体积 目录 上页 下页 返回 结束 yyxfxxxbad),(d)()(21xbad 曲顶柱体体积的计算曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为12( )( )( , )xyxDx yaxb任取, ,0bax 平面0 xx 故曲顶柱体体积为( , )dDVf x yyyxfxAxxd),

4、()()()(000201截面积为yyxfxxd),()()(21baxxAd)(截柱体的)(2xy)(1xy0 x),(yxfz zxyabDO记作记作 （ X - 型区域 ）目录 上页 下页 返回 结束 ydcd dycyxyyxD),()(),(21同样, 曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21dcydOydcx)(2yx)(1yxy记作记作 （ Y- 型区域 ）目录 上页 下页 返回 结束 且在且在D上连续时上连续时, 0),(yxf当被积函数bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfx

5、xd),()()(21baxd由曲顶柱体体积的计算可知由曲顶柱体体积的计算可知, 若若D为为 X - 型区域型区域 那么那么O)(1xy)(2xyxbyDax若若D为为Y - 型区域型区域dycyxyD)()(:21xyxfyyd),()()(21dcydDyxyxfdd),(那那么么二、直角坐标系下二重积分的计算法二、直角坐标系下二重积分的计算法Oydcx)(2yx)(1yxy目录 上页 下页 返回 结束 当被积函数当被积函数),(yxf2),(),(),(yxfyxfyxf2),(),(yxfyxf),(1yxf),(2yxf均非负均非负DDyxyxfyxyxfdd),(dd),(1在在D

6、上变号时上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .由于由于Dyxyxfdd),(2目录 上页 下页 返回 结束 xyOxyDO说明说明: (1) 若积分区域既是若积分区域既是 X - 型区域又是型区域又是Y - 型区域型区域 , Dyxyxfdd),(为计算方便为计算方便,可选择积分序可选择积分序, 必要时还可以交换积分序必要时还可以交换积分序.)(2xyba)(1yx)(2yxdc则有则有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 若积分域较复杂若积分域较复杂,可将它分成若干可将它分成若干2D1D3

7、DX - 型域或型域或Y - 型域型域 , 321DDDD那么那么 目录 上页 下页 返回 结束 121221d y例例1. 计算计算,dDyxI其中其中D 是直线是直线 y1, x2, 及及yx 所围的闭区域所围的闭区域. 解法解法1. 将将D看作看作X - 型区域型区域, 那那么么:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 将将D看作看作Y - 型区域型区域, 那那么么:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy891xy2xy 121 x2 xy21 yxy xyxyO目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算计算,dDyx

8、其中其中D 是抛物线是抛物线xy 2所围成的闭区域所围成的闭区域. 解解: 为计算简便为计算简便, 先对先对 x 后对后对 y 积分积分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214Oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直线及直线那么那么 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 计算计算,ddsinDyxxx其中其中D 是直线是直线 ,0,yxy所围成的闭区域所围成的闭区域.OxyDxxy 解解: 由被积函数可知由被积函数可知,因此取因此取D 为为X - 型域型域 :00:xxyDDyx

9、xxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先对先对 x 积分不行积分不行, 说明说明: 有些二次积分为了积分方便有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序还需交换积分顺序.目录 上页 下页 返回 结束 2例例4. 交换下列积分顺序交换下列积分顺序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 积分域由两部分组成积分域由两部分组成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxO222280:22xxyD21DDD将:D视为视为Y - 型区域型区域 , 那么那么282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy1D221xy 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 计算计算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所围成.Oyx124xyxy32D1D1x解解: 令令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如下图)显然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 求两个底圆半径为求两个底圆半径为R 的直交圆柱面所围的体积的直交圆柱面所围的体积.解解: 设两个直圆柱方程为设两个直圆柱方