运算坐标表示课件

1、运算坐标表示第一章第一章 几何空间中的向量几何空间中的向量 第三节 向量运算的坐标表示n 仿射坐标系（了解）n 空间直角坐标系n 向量运算的坐标表示（重点）运算坐标表示123123112233,x xxxxx 定理在空间内任取三个不共面的向量那么对空间内任一向量 ，都存在唯一的三个实数，使得1 1、仿射坐标系存在性定理、仿射坐标系存在性定理运算坐标表示说明：说明： 1. 三个不共面的向量就足以表示空间中的所有三个不共面的向量就足以表示空间中的所有 其它向量。其它向量。 2. 对于选定的三个对于选定的三个不共面的不共面的向量，没有要求它向量，没有要求它 们一定互相垂直。们一定互相垂直。运算坐标表

2、示2 2、仿射坐标系仿射坐标系定义定义 121231233 ;,.O e eOe e eOe e exyez 在空间取定一点及三个有次序的不共面向量，就构成了空间的仿射坐标系记作。称点 为，称为或基本向量它们所在的直线原点基分别称为轴、 轴、 轴运算坐标表示3 3、向量坐标化、向量坐标化取定取定仿射坐标系后，仿射坐标系后， 因此几何空间的向量与因此几何空间的向量与3 3元有序组是一一对应元有序组是一一对应( , , )x y z称为向量的坐标表示。123xeyeze由于 向量运算坐标表示x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向三个坐标轴的正方向

3、符合符合右手系右手系.即即以以右右手手握握住住z轴轴，当当右右手手的的四四个个手手指指从从正正向向x轴轴以以2 角角度度转转向向正正向向y轴轴时时，大大拇拇指指的的指指向向就就是是z轴轴的的正正向向.运算坐标表示xyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限运算坐标表示 1、直角坐标系概念、直角坐标系概念zijkMoxyCABzyxN,MMMi, j,kxiyjzk(x,y,z)O;i, j,kx,y,z 常将这三个坐标向量记为。空间任意向量都可以唯一的表示为，有序数组称为在直角坐标系中的坐标空间的一点，用向径定义点的坐标。分别称为的横坐标、纵坐标、

4、竖坐标运算坐标表示设设),(1111zyxM、),(2222zyxM为为空空间间两两点点xyzo 1MPNQR 2M2、 空间上两点间距离公式空间上两点间距离公式22212212121.M Mxxyyzz运算坐标表示3、方向余弦的坐标表示式、方向余弦的坐标表示式.1). 方向角方向角: 非零向量 与x, y, z 轴正向夹角, , , 称为 的方向角.2). 方向余弦方向余弦: 方向角的余弦 cos, cos, cos, 称为方向余弦.3). 方向余弦的坐标表达式方向余弦的坐标表达式故有 ax =| | cos ay =| | cos az =| | cosayzx0设 =(ax, ay, a

5、z)aaaaaa运算坐标表示又：222|xyzaaaa222222222cos,cos,coszyxzzyxyzyxxaaaaaaaaaaaa运算坐标表示由上式可得cos2 +cos2 +cos2 = 1设ao是与a同向的单位向量0|aaa222222222,zyxzzyxyzyxxaaaaaaaaaaaa= (cos , cos , cos )运算坐标表示1、线性运算坐标表示、线性运算坐标表示运算坐标表示运算坐标表示,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyy

6、xxbabababa 2、内积坐标表示、内积坐标表示运算坐标表示 cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式ab0 zzyyxxbababa由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充要条件为运算坐标表示解解ba )1(2)4()2(111 . 9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabPr|)3( . 3|Pr bbaajb .43 运算坐标表示,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajai

7、azyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 3、向量积坐标表示、向量积坐标表示提示：提示：咋判断咋判断 等等正负号？等等正负号？kj运算坐标表示向量积可用二阶行列式表示向量积可用二阶行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba yyxxzzyyxxzzaaaaaaijkbbbbbb提示：提示：1、行列式是一种运算符号，如同加法减法一样、行列式是一种运算符号，如同加法减法一样2、三阶行列式计算方法（递推法）、三阶行列式计算方法（递推法）3、行列式交换后

8、面两行会怎么样？、行列式交换后面两行会怎么样？向量积还可用三阶行列式向量积还可用三阶行列式运算坐标表示解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22 c|0ccc .5152 kj运算坐标表示zyxzyxzyxcccbbbaaa ,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx 设设,kcjcicczyx 4、混合积的坐标表达式、混合积的坐标表达式kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 则则abcba )( , , )a b c因此因此()()()yzzyxzxxzyxyyxza ba b ca ba b ca ba b c运算坐标表示12313123112. (1,1,1),(2,2,1),(2,1,2), (1)sin,(2),(3)Pr.M M MM MMMMMSjM M例 已知三点求解解),1 , 0 , 1(),0 , 1 , 1()1(3121 MMMM,sin131213121MMMMMMMMM 又又),1, 1, 1(1010113121 kjiMMMM而而.23223sin1 M运算坐标表示23sin21)2(13121321 MMMMMSMMM232121 3121321 kjiMMMMSMMM或或.21Pr)3(3121312131 MMMMMMMMjMM运算坐标表示. (2, 1,