线面角的求法总结(新)

1、所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。线面角的求法总结一.直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。例1 （如图1 ）四面体 ABCS中，SA,SB,SC 两两垂直，/ SBA=45 , / SBC=60 , M 为AB的中点，求（1） BC与平面SAB所成的角。（2） SC与平面ABC所成的角。解：（1）. SC±SB,SC±SA,.SC,平面SAB 故SB是斜线BC在平面SAB上的射影， 丁.

2、/SBC是直线BC与平面SAB所成的角为60°。（2） 连结 SM,CM ,则 SMXAB, 又 SCLAB, . AB，平面 SCM, 面 ABC，面 SCM过S作SHXCM于H, 则SHL平面 ABC.CH即为SC在面ABC内的射影。ZSCH为SC与平面ABC所成的角。 sin /SCH=SH/SC.SC与平面ABC所成的角的正弦值为，7/7（“垂线”是相对的， SC是面SAB的垂线，又是面 ABC的斜线.作面的垂线常根据面面 垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面， 然后一面内找出或作出交线的 垂线，则得面的垂线。）二禾用公式sin 0 =h/ t其中。是斜线与平

3、面所成的角，h是 垂线段的长，c是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离） 既是关键又是难点， 为此可用三棱锥的体积自等来求垂线 段的长。例 2 （如图 2）长方体 ABCD-A 1B1C1D1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求 AB 与面 AB CD解：设点 B到AB1C1D的距离为h,Vb ab1C1=Va BB1C1 1/3 SAAB1C1 h= 1/3 SABB1C1 AB ,易得 h=12/5设AB与 面A B1C1D所成的角为0 ,则sin 0 =h/AB=4/5放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!21- AB与面AB iCiD所成的角为arcs

4、in 4/5禾用公式 cos 0 =cos 0 1 cos 0 2（如图3）若OA为平面的一条斜线，。为斜足,OB为OA在面 仪内的射影，OC为面 认内的一条直线，其中。为 OA与OC所成的角,。1为OA与OB所成的角，即线面角，。2为OB与OC所成的角，那么cos 0 =cos 0 i cos 0 2 （同 学们可自己证明），它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一 切角中最小的角（常称为最小角定理）例3 （如图4）已知直线 OA,OB,OC两两所成的角为 60°,求直线OA与面OBC所 成的角的余弦值。解：AOB= ZAOC OA在面OBC内的射影在/ BO

5、C的平分线 OD上，则/ AOD即为OA与面OBC所成的角，可知/ DOC=30 ,cosZ AOC=cos / AOD cos/ DOC cos60°=cosZ AOD cos30° cosZ AOD=，3/3OA与 面OBC所成的角的余弦值为，3/3。- .课题：直线和平面所成的角与二面角（1 线面角二.教学目标：1.掌握直线和平面所成角的概念；2.理解并且掌握公式：cos cos 1 cos 2。三.教学重点、难点：直线和平面所成角的概念及 cos cos 1 cos 2的应用。四.教学过程：所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。（一

6、）复习：1 .直线和平面的位置关系;2 .思考：当直线a与平面（平行、相交和直线在平面内）的关系是aA时，如何反映直线与平面的相对位置关系呢?（可以用实物来演示，显然不能用直线和平面的距离来衡量）（二）新课讲解：1.平面的斜线和平面所成的角：已知，如图，AO是平面 的斜线，A是斜足，OB垂直于平面B为垂足，则直线AB是斜线在平面 内的射影。设 AC是平面 内的任意一条直线，且 BC AC ,垂足为C ,又设,AO与.AB所成角L1, AB |AC| |ABI|cos 1 ,| | AO | cos ,与AC；| cosAO与AC所成角为|cos 1 cos可以得至k cos cos 1 cos

7、 2,注意：2 （0,万）（若2 -,则由三垂线定理可知,BOA AC ,AC是平面 内的任意一条直线，且BC AC ,垂足为C ”不相符）。易得：cos cos 1又，1 （0,）即可得：12则可以得到：（1）平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角；（2）斜线和平面所成角：一个平面的斜线和它在这个平面中的射影的夹角，叫做斜线和平 面所成角（或叫斜线和平面的夹角）。说明：1.若a ,则规定a与所成的角是直角；2 .若a/或a ,则规定a与，所成的多为0 ；3 .直线和平面所成角的范围为：090T ；4 .直线和平面所成角是直斜线与该平面内直线所成

8、角的最小值 （cos cos 1 cos 2 ）。2.例题分析：例1 .如图，已知 AB是平面 的一条斜线，B为斜足，AO,0为垂足,解：: A0,由斜线和平面所成角的定义可知,ABO为AB和所成角BC为内A的一条直线，ABC 60：, OBC 45%求斜线AB和平面 所成角。放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!又cos cos 1 cos 2 , cosABCcos 60；12、2cos ABO ,/cosCBOcos 45 222 BAO 45：,即斜线AB和平面 所成角为45 .例2.如图，在正方体 AC1中，求面对角线 AB与对角面BB1D1D所成的角。（法一）连结 AC1与BiD

9、i交于O,连结 OB,. DD1 AC1 , B1D1 AC1, AO 平面 BB1 D1 D , ABO是AB与对角面BB1D1D所成的角，1 一DA在 RtA1BO 中，AO -A1B, . A1BO 30”.所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!10（法二）由法一得ABO是AiB与对角面BBiDiD所成的角,又 cos A1 BB1 cos 45.cos ABB1-1 cos ABO cos B1 BO工2，26cos B1BOB1BBO,6ABO3说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后求斜

10、线与其射影的夹角。另外，在条件允许的情况下，用公式 cos cos 1 cos 2求线面角显得更加方便。例3.已知空间四边形 ABCD的各边及对角线相等，求 AC与平面BCD所成角的余弦值。 解：过A作AO 平面BCD点O,连接CO, BO,DO , AB AC AD,，O是正三角形BCD的外心，设四面体的边长为a ,则CO a3AOC 90：,ACO即为AC与平面BCD所成角,- cos ACO Y3 ,所以，AC与平面BCD所成角的余弦值为31题。五.课堂练习：课本第 45页练习第1, 2, 3题；第47页习题9.7的第六.小结：1.线面角的概念；2. cos cos 1 cos 2及应用

11、步骤：，1, 2在图形中所表示的角。七.作业：课本第 45页练习第4题、第47页习题9.7的第2题。补充：1如图，PA是平面 的斜线， BAC在平面 内，且满足 BAC 90：,又已知PAB PAC 60；,求PA和平面 所成的角。PC 24, PB PD 6710 ,求 PC 和平空间中的角主要包括两条异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角等.线面福：平面的一条斜线和它在平面上的射图所成的锐角叫做这条斜线和这个平 面所成的角.恃别地，一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成弟为因此，直缱和平面所成用范田I： 0,-.本文举例探讨线面角的两种求解策略.”一、agj

12、t统面点的常规解法是先找到直线在平面内的射影,直建与其在这个平面内的射影 所成的龟就是线面角.此时,大多需要过直线上一点作平面的垂线.例1正方体细OEFGH的愦长为3点F在AC上.Q在BG上且AP-BO-a, 求直线PQ与平面ABCL所成的角的正切信：分析.先作出PQ在面八BCD内的射歌 由于面BFGC_L面 ABCD,作QkLL 用于M,则MP就是QP在面ABCD内的射密 NQPM就是要求的角.解：作QM±BC于M,连MP, 0IUQMP就是直线PQ与平面ABCD所成的角则易得：QM=a j MP= (tanZ QFM= + 1解后反思:求然面角的常规解法是：“一作、二证、三求 拇

13、作”是解题的关 键，二,向量法空间中的角大多都能用向量方法求解.凡可建立坐标系的利用向量求解更为茴捷. 直娃和平面所成角的向量公式1直线a的方向向量和平面«的法向量分别为用和明当所与总的夹角不大于9口。时，直线宜与平面口所成的角等于她与同先角的余角,当融与理的夹角大于切口时，直线a与平面口所成的角等于阳与为夹角的互补的余角，所以直线总的方向向量和平面值所成的角口满足：£小口一单”.惘11则例2如图，已知长方体兑BCD-44C;A，a3= Z网=L直线3门与平面AAS所成的角为30L月£垂直B于51为司氏的中点,求直线知】与平面60尸所成 的瓦装解！在长方中犯8-耳

14、4G乌中， 以月弓所在的直线为了划，以皿所 在的直线为"轴，所在的直线 为？轴建立如图示空间直角坐标系， 由已知】，莪/二c可得盘0.0口,现2。5 网LOJ）又月。_L平面44向£,欣而3。与平面加血5所成的角为N25月二初口，又AB=2 AE工孙 花= LAO= 空从而易得色,ojo 观3 I2 2 J I 3 ）*< Ei（0> § . i）i «1» j1Z?£ =（，,1）>又一和二L1）是干面 3£?严的个法向量， sin <n,ADi>= 产 ""=?些,：.

15、ci,画为锐弟，直线加上马平面.冈皿I 3530F所成的线面角为arc9堂空（或三一冠“金独丝）. 35235解哈反思：求线面角的常规斛法一作、二证、三求匕很多同学感到棘手,难 在不易找到所求的角利用同量解法可以潼免“作和证匕只剩下单纯的向量计算， 而且有了固定的解题模式，复杂的空间角求解间题就可以推常洵便地得到解决了.直 线与平面所成的角8主要可以通过直歧的方向向量与平面的法向量的夹角台求得，即 sin 0 - Igo5 3 | 或 83 8=sin /丁艮为AD的中点.，5(0.6网3在正四面体ABCD中，E为AD的中点，求直线CE与平面BCD成的角.分析一求线面:e的关维在于找出斜境在平

16、面内的射量，即找垂面，有了垂面目阿在 垂面内作交线的垂线，线面角即可作出，然后面匕到三角形中求解.解法一：取RC的中点F,连结AF、DF.丫正四面体 AECD. /.EC±AF( BC±DF.BC_Lffi AFD,而 BC0 平面 BCD,，面 AFD_L面 BCD 过巴作EH_LDF于匕而 DF0 平面 BCD,则 EH_Lffi BCD则2TCH为CE与面BCD所成的角.而在 Rt/SCEH 中，smZECH= .3即CE与平面BCD成的角为arcsin .3解法二；如图建立以三角形BCD的中心0为原点，QD.OA依次为y轴，e轴X 轴平行于EC.设正四面体 ABCD的棱长为白'3 千斥=言=与，见当二5：-半Q号总电。坐工2633又因为平面B