指数与对数的运算

1、勒"至善教育合肥分部至善教育祝您的孩子成人！成才！成功!【课标要求】(1)通过具体实例(如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等)，了解指数函数模型的实际背景；(2)理解有理指数哥的含义，通过具体实例了解实数指数哥的意义，掌握哥的运算。(3)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；【命题走向】指数与对数的性质和运算，在历年的高考中一般不单独命题。大多以指数函数、对数函数等基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数

2、运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。【要点精讲】1、整数指数哥的概念。(1)概念：an =a a aa(nw N*)a0=1(a=0) a=-1n (a = 0,n w N*)、.an个am n m na a = a (m, n Z)(2)运算性质：(am)n =amn(m,nwZ)两点解释：am + an可看作am(ab)n -an bn(n Z)n. m . n m-nm _na za x nn nz a x n n n a a a =a a =a(一)可看作 a b() =a b =-bbbn2、根式：(1)定义：若xn =a(n >1, n w N

3、Q则x叫做a的n次方根。(2)求法：当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的 n次方根为负数 记作：x = #a当n为偶数时，正数的 n次方根有两个(互为相反数)记作：x = ±Ua负数没有偶次方根0的任何次方根为 0名称：Va叫做根式n叫做根指数a叫做被开方数cL nn，FnF' a(a 之 0)(3)公式：(da) = a ；当n为奇数时 Ja = a ；当n为偶数时 a a = a =，-a(a<0)3、分数指数哥m(1)有关规定：事实上，(ak)n =akn 若设 a>0, k = m(n a 1, n w N*) , (ak)n = (an )n =

4、am 由 n次根式nmm定义，an是am的n次方根，即：an =疗(2)同样规定:(a0, m,n w N *且n a 1) ; 0的正分数指数哥等于0, 0的负分数指数哥没有意义。(3)指数哥的性质：整数指数哥的运算性质推广到有理指数募。a r a s = ar s (a . 0,r,s 三 Q ) (ar)s=ars(a . 0 , r , s Q ) (ab)r=arbr(a 0,b0,r Q )(注)上述性质对 r、sWR均适用。4、对数的概念(1)定义：如果a(a > 0,且a /1)的b次哥等于N,就是ab = N，那么数b称以a为底N的对数，记作loga N = b,其中a

5、称对数的底，N称真数。以10为底的对数称常用对数，log10 N记作lg N ；以无理数e(e= 2.71828)为底的对数称自然对数，loge N ,记作ln N ；(2)基本性质：真数N为正数(负数和零无对数)；2) loga1=0; logaa=1; 4)对数恒等式：alogaN = N。(3)运算性质：如果 a>0,a¥0,M >0,N >0,则 lOga(MN) = loga M +loga N ； lOg a M = lOg a M -log a N ； loga M n = nloga M (n W R)。 N(4)换底公式：loga N = 10gm

6、 N (a a 0, a # 0,m >0,m #1, N > 0), logm a两个非常有用的结论loga b logb a =1 ;10g m bn = - log ab o a m【注】:指数方程和对数方程主要有以下几种类型：(1) af(x)=b=；f(x)=log ab, logaf(x)=b y f(x)=ab;(定义法)(2) af(x)=ag(x)u f(x)=g(x), log af(x)=log ag(x)=f(x)=g(x)>0, (转化法)(3) af(x) =bg(x)y f(x)log na=g(x)log mb (取对数法)(4) log af

7、(x)=log bg(x) u log af(x)=log ag(x)/log ab(换底法)【典例解析】题型1:指数运算2211例 1. (1)计算：(33)飞(54)0.5 +(0.008)飞 一(0.02)U x(0.32户产 0.0625025;89： J_：(2)化简L3¥化简：2a3 -8a3b色。_2吗父三。2 - 2 一，34b3 23 ab a3a 5a.3 a41(4)化简： 2 a3-8a3b 2”23回坛11例 2.已知 x2 +x 2 =3 ,a3 23 ab 4b3a,、x2 +x -2 钻/古求二-T的值。33x2 x -3题型2：对数运算例3 .计算(

8、1) (lg2)2 +lg 2 1g50 +lg25; (2) (log3 2 + log9 2) <log43 + log83)； lg 5 1g 8000 +(1g2、)2。1 1°lg 600 lg 0.036 lg 0.12 2例4.设a、b、c为正数，且满足a2 +b2 =c2b ca f c(1)求证：log2(1 +)+log2(1+)=1；ab 一 .b c2(2)右 iog4(i+)=1, log8(a+bc)=，求 a、b、c的值。a3例 5。 (1)已知 10g 18 9 = a ,18b = 5 , 求 10g 36 45 (用 a, b 表示)1 11

9、(2)设 3 =4'=6 =t >1 求证：=z x2y题型4:指数、对数方程例 6:解方程(1) log(2x2 J ?x2+2x-1 )=1(2) 10g210g 310g 4 x )=0例7.设关于x的方程4x 2x* b = 0(bw R),(1)若方程有实数解，求实数 b的取值范围；(2)当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。【巩固练习】1.1. log2 log3 log4 x =log310g410g2 y = log4 log2 log3z =0 ,贝U x + y + z的值为A. 50B. 58C. 89 D. 111()2 .若 9, -2

10、31 =27 ,则 x=；3 .已知y =4x 3 2x+3的值域为1 , 7,则x的取值范围是()D.(-二,0) 1,2A. 2,4 B.(i0) C.(0,1)U2,43x-y4 若 10x =2,10y =3,则 10M =1 45.已知 a2 =-(a>0),则 10g2 a =93一，、22_26. (1) lg5 + lg8 +lg51g20 +(lg2);3(2)10g2 5+log 4 0.2 10g5 2+log 25 0.57.若 lg x - y lg x 2y =1g2 lg x lg8.解下列指数方程:82x =128(2)29x 5 _ 16、"&

11、quot;22(3)27 =81x 4(4)52x _23 5x _50 =09. 解下列对数方程2 log2(x 14) log2(x 2) =3 log2(x 6) (2) (log3x) log93x = 2- 1 .(3) 1g 5x 5 =1 - lg(2x -1)(4)log2log 3(log2 x)-1 = 0210 .如果函数y =a2x+2ax 1（a >0,a。1）在区间卜1 , 1上的最大值是14,求a的值。a的范围。一、1 2x4x a _,11 .设f (x) = 1g 右x u (-°0,1时f (x)有息义，求头数3【思维总结】1 . n/N =

12、a,ab = N,loga N =b （其中N >0,a >0,a 1）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底；2 .要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式 分解、有理化(分子或分母)、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训 练逐渐积累经验；3 .解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指 数与对数函数的性质，其中单调

13、性是使用率比较高的知识；【课后作业】1.计算。1) 二；(2)52/ +、；5+21/2 1、2 -12 .化简下列各式(结果用有理数指数哥表示)：3 .化简下列各式(结果用有理数指数哥表示)2131(2) (x3 y4z)(x,y4z3) 3211115(1) (2a3b2)(-6a2b3) (3a6b6)；4.已知a+ a4 =7,求下列各式的值:1(1) a22.2(2) a +a ；(3) a3 +a* ；5.计算：(1) 2(lg 72)2+lg J2g5+V(lg #)2g2+1；(2) 210g32-log332+log 38 -3240g35； (3) 1g22 1g250 +

14、1g25 1g4096. (1)已知 a =1og3 2, 3b =5 ,用 a,b表示 10g3 d30 ；(2)设 1g 2 = a,1g 3 = b ,用 a, b 表示 10g 512 ;7. 设 x >1 , y >1,且 210gx y _21ogy x+3 = 0,求 T = x2 -4y2 的最小值。8. (1)已知 3x =4y =36,求 x +2y 的值。xy答案详解题型1：指数运算_2_12 1例 1.解：(1)原式=(_8_)3 (49)2 +(竺0° 土/OxH2+ (-625-)727981010000r4 7142 1. 17=-25(9

15、35 21029(2)原式=同3+忑)一，2(3+同+ 2)父2 = 2 ； 9,2(3 、3)3- . 3.2(3,3)2(3 - .3)(33)212 63)*2、62 一、4 -2.32 -,(. 3 -1)2网址：至善教育版权所有严禁未经授权的任何商业用途11(注意复习，根式开平方)(3)原式二1a3(a3)3 -(2b3)311a3 -2b3(a3)2 a3 (2b3) (2b3)22 1(a a3)211 1(a2 a3)5111= a3(a3 -2b3) -a3a1-2b35a61a61=a3 a a(4)原式=1a3(a -8b)211a3 2a3b3 4b1a311a3 -2

16、b31a3a(a-8b)二 aa。8b然后利用分数指数哥的运算性质求解，对化点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数哥的形式,简求值的结果，一般用分数指数哥的形式保留；一般的进行指数塞运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数哥，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。1例2.解： x2111+ x 2 =3 ,(x2 +x 2)2 = 9 ,x + 2 + x/=9 ,x + x=7 ,2 (x +x )2 =49, x341-11x2 x -247-2又 x2 +x 2 =(x2 +x 2) (x 1 +x ) = 3 (7 1) =18 , 3= 3。2-2 Q 18-3x2 x 2

17、 -3点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。 题型2:对数运算 例 3解:(1)原式=(lg2)2 +(1+Ig5)lg2 +lg52 =(lg2 +lg5 +l)lg2 +2lg5= (1+I)lg 2 +21g5 =2(lg2+lg5) =2;(2)原式二产卑产.吗二(吟lg2 H口.咏lg3 lg9 lg 4 lg8 lg3 2lg3 2lg 2 3lg 23lg 2 5lg35-=一；2lg3 6lg 24(3)分子=lg5(3+3lg2) +3(lg 2)2 =3lg5 + 3lg2(lg5 + lg2) =3；分母二(lg6 2) - lg361,八 _

18、 .6,父=lg 6 + 2 lg= 4 ； 1000 101003,二原式=。4点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧。例4.证明:(1)左边, a b c , a b -c,a b ca bc、=log 2 log 2log 2()aba b,.、221 (a b) -c 1= log2log2abab222, 2ab c -c=log2log2 2 = 1 ；abb cb c斛：(2)由 log4(1 +) =1 得 1 +=4 ,，-3a +b + c

19、= 0aa由 log8(a +b c) = 2得 a + b c = 83 =43由+得ba =2 由得 c =3a -b，代入 a2 +b2 =c2得 2a(4a 3b) = 0 ,a >0 , 4a -3b =0 由、解得a=6, b=8,从而c=10。点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。题型3：指对数式的简单应用18. 一例 5(1)解：,log 18 9 = a log 18 =1 - log18 2 = a /.log18 2 = 1 -a 18b = 5log18 5 = b10g18 4510gs910gs5 a

20、 b10g36 45 =10g18 36110 gs 22 - a(2)证：-3x = 4y = 6z = t 1lgtlgtx =一, y =, lg3lg4111g 6 1g 3 1g 2 1g 4 1 z x lgt lgt lgt 2lg t 2y题型4:指数、对数方程例 6: 解(1) 3x2 +2x 1 =2x2 1= x2 +2x =0= x =0,x = 2但必须:2x2 -1 02x2 T =123x 2x -1 0I/. x =0 舍去 x =-2O至善教育合肥分部至善教育祝您的孩子成人！成才！成功!(2) log 3 (log 4 x )=1, log 4 x =3 ,

21、x=4 3=64例 7.解：(1)原方程为 b=4x2x*, = 4x2xH1=(2x)22x2x = (2x1)21 之一1,当bw1,收)时方程有实数解;(2)当b = 1时，2x =1 , 方程有唯一解 x = 0；2x 0,1 J b 0,. 2令 1 -、rb 0=厂b ：二1 二当 b 1 时，:(2x 1)2 =1+b= 2x=1±*-TB.=1 + J1 + b 的解为 x = log2 (1 + J1 +b)；-1 <b <0,二当1 cb< 0寸,2x =1-1 + b 的解为 x= log2(1-V1 + b)；综合、，得1)当-1 <b <0时原方程有两解:x =log2(1 ±