有关对称问题及求法小结

1、有关对称问题的求法小结河南省周口市淮阳县第一高级中学数学组张明选摘 要：对称问题是高中数学的一个重要知识点，部分题目还会涉及光线反射等一些实际的应用，有关对称问题的求解， 除了初中时期学习的数形结合的方法外，高中学习过直线方程后，更明了了其理论基础，本文，我从对称的理论原理出发探讨对称问题的具体求解方法。关键词：中点坐标；斜率；交点坐标；对称对称问题是高中数学的一个重要知识点，是学生的学习难点，也是不少教师的教学难点。高中数学中所涉及到的对称问题主要包括：点关于点的对称，点关于直线的对称， 直线关于直线的对称。这里我就这三种对称关系的求法给以总结，以便我们能够系统理解有关对称问题的具体求法。一

2、、点关于点的对称大家应该很熟悉平面直角坐标系中的一个点 P关于原点对称的点P的坐标写法，即将点P的横纵坐标都变为他们的相反数即可。 这种做法在初中的时候很多老师就要求学生记忆 过，但是其理论基础是高中学习的中点坐标公式， 我们也正是利用中点坐标公式来解决任意 两点（不单单是关于原点）的对称问题。例i设点片（万'加，求点B关于点为（飞小。）对称的点马的坐标.分析：当点?。是坐标原点时，我们可以直接写出点官工的坐标为（一名一'J，但是对 于任意的点口我们就不能直接写出对称点 灯的坐标，而必须利用中点坐标公式.p/工廿】p p pp p p解：设点口的坐标是"此,，由于1与

3、n关于点。对称，因此点口是1与二两点的中点，所以有/+四=2%小2 '解得上二次一八对称点星的坐标是（一和泌-巧）.、点关于直线的对称根据数形结合的思想，我们知道点关于坐标轴对称的求法，甚至我们知道一个点关于一特殊的直线的对称的点坐标的写法，给定一个点,则它关于直线）=*对称的点Q的坐标是（V"）.但是当这一特殊的直线（坐标轴和 尸二天直线）变为一般的直线时， 点关于直线的坐标的求法就要利用高中阶段学习的两直线垂直时的斜率关系式，以及点与直线的位置关系方程.其实这也正是点关于特殊直线对称的理论基础我们假设已知点 工的坐标是即）,已知直线方程（非坐标轴直线）是 二丘十6， 求点

4、月关于已知直线的对称点 b的坐标.设对称点卫（见尸），我们只需求出工和r的值即可. 点月（兀2。）与点B （而下）关于直线,二以+方对称，那么直线必垂直平分线段 AB ,所以 有以下两点：线段AB的中点在直线上；AB所在的直线与直线相互垂直。根据中点坐标公式线段上B的中点 122 J在直线V = H +2上，点淞就要满足直士2二七.晅±注+弓* 匕也线方程，即22AB所在的直线的斜率总一两，根据两直线垂直的卜匕曲=-1关系：斜率的乘积等于 一 1,有 天一女 .综上我们有以下方程组：J四十y二丈.（今+”十至1?O-外尸t （工F上述方程组中只有未知量 /沙，解此方程组可得点 H关于

5、已知直线川=自+七的对称点 B的坐标.例2已知点/，求点力关于直线广友+5的对称点点B的坐标.分析：这是一个点关于直线对称的求解问题，针对这类问题，我们只需利用上文分析的中点与直线的关系和两直线的斜率关系即可.求解上述方程组就可以得到对称点的坐标 .解：设点方（”），点B与点A关于直线=力+ 5对称，则我们有2+y=3-（r- 3j + 2x5;"3 五一"一1 二 0,”口2）二-1小 + 即升3y一3=0.34解得一弓，M.所以点工关于直线y = 3k+ 5的对称点点3的坐标是【5'5）.三、直线关于直线的对称直线关于直线的对称是以点关于直线的对称为基础的，其求

6、解方法及求解的理论基础相同。但是直线关于直线的对称根据两直线的位置关系涉及到了两种不同的情况：当两直线平行时，对称直线的求法；当两直线相交时对称直线的求法。并且直线关于坐标轴的对称直线的求法也可以归结到一般方法之中 .已知直线与直线f的方程，求直线1关于直线？对称的直线4的方程.1 .当两直线平行时直线1与直线?平行，他们的斜率一定相等，设,1 ：y =辰+七j :产=以+。.造区二） 直线与直线"关于直线上对称，此时两直线一定分布于直线 的两侧，且直线G的斜率也是 无，所以我们设： ,二区+阴，我们只需求出截距 股即可得对称直线的方程.此时可以在 已知直线1上任取一点p （为计算方

7、便，我们一般取1上的特殊点，例如A与坐标轴的交点）， 计算点p关于直线的对称点p的坐标（利用上文中点关于直线对称的求法），那么点 P 一 定在直线"：y = H+修上，将求出的点P的坐标代入直线的方程即可得到截距 用的值， 同时也就求得了对称直线4的方程.例3已知直线4 ： 或 +4 ,直线/ ： a =2+1,求直线A关于直线之对称的直线“ 的方程.分析：此题即是两平行直线的对称问题，求解思路是根据斜率直接设出对称直线的方程是y=2k+躅，再根据上述分析求嗯得值即可.解：设4： "2/昭，任取直线1上一点P（0,4）,（即取直线A与1y轴的交点坐标），元十 8 = 0,设

8、点P关于直线I的对称点Q（内尸），则有12"尸2=鸟72 141M 12解得点2的坐标是H F J ,而点Q满足直线匕，二2n加,所以有了一 T 解得rn=-2,所以对称直线4的方程是卫二2T 2 .特点总结：直线1与轴的交点坐标与其对称直线 匕与尸轴的交点坐标的中点坐标恰是直线？与丁轴的交点坐标，这是巧合吗？不是。 当遇两平行直线的对称问题时可以此方法 验证解答的正确性。对做选择题、填空题尤其方便快速。2 .当两直线相交时直线1与直线？时两相交的直线，则他们必定有交点， 求直线1关于直线？的对称直线4 的方程的方法：先求两直线1与，的交点坐标P（加为）,那么直线A的对称直线h必定经过 交点P；再在已知直线4上任取一点 材（为计算方便，我们一般取上的特殊点，例如I与 坐标轴的交点），利用上文点关于直线对称的方法求点祝关于直线？的对称点时的坐标，则点M'必满足直线b的方程，即点 M'在直线"上，这样直线勺上就有两个确定的点坐标 点P和点 城；最后根据直线的两点式可以写出对称直线右的直线方程.这里不再举例说明，其计算方法与上文类似，主要过程在于点关于直线对称的求法.综合直线关于直线对称的两种情况，我们知道，直线间的对称问题都是以点关于直线的对称问题的基础的，所以我们学习的重点应该是点关于直线的对称的求解方法