高一数学不等式基础知识(附全题型讲解)

1、高一数学不等式基础知识（附全题型讲解）姓名：_指导：_日期：不等式的基本知识一、解不等式1. 一元二次不等式的爵法TtZl次不等式or' +取+ c > 0或ax' bx +。<娟。* 0）的解集：设相应的一元二次方程m'+从+。0（。，0）的两根为小工旦.44.3 A6?-4<m,则2）格每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲姨；并注意寄穿过假弹回；3）根抠曲域显现/。）的符号变化规律，写出不等式的解集.1是体重根如：（k + 1）（x-1）.（x-2）<03.分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移:使右边为

2、0,再通分井将分子分母分解因式，并使每一个因式中最勺系数为正，最后用标根法求解.解分式不等式B寸，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母.第11页共11页缁2/（加 。;恐“。/（x）W（x）2 0 g（K）工04.不等式的恒成立向初：常应用函数方程思想和吩图变量法.,转化为最值问题 若不等式/（A） 4在区间I）上恒成立.则等价于在区间I）上 A 若不等式/卜） B在区间。上恒成立期等价于在区间。上/（x）u 8二.基本不等式以石上心1 .若ab£R.则提十"三加人当且仅当空边时取等号2、如果。方是正数，那么防（当且仅当。=力时取"="号）.变

3、形：有公也2V茄；«A。.当且仅当a-b时取等号3、如果。£仁11” 67定值）.当且仅当。-5时。“，有最小值2、5 .c2如果a,bu R+.且a，b-S（定值）.当且仅当a-b时有最大值 4注：I）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数诩口为定值时，可以求 它们的积的最小佰，正所谓积定和最小，和定积展大二2）求最值的司要条件，一正，二定，三取等一4、常用不等式有：1）严孚Z里之而之丁2T（根据目标不等式左右的运算结构选用）； a b2 ） a、b、cwR, a，+ b，+ c，N ab + be + ca （当且仅当 a = 6 = c 时，取等号）

4、;3）若。b0,m0,则勺空巴（糖水的浓度问谀）.a一、不等式与不等关系题型一：不等式的性质不等式主要题型讲解L对于买数ab"中,给出下列命题: 若a > b,则> be2;若"v b V 0.则a： >ab>b2 ：若o<8 4 0,则一一; a b若c>o>b>0则一>上; c-a c-b若。则0>0力<0. a b其中正确的命题是 我型二：比蛟大小（作差法、函数单调性.中间量比较，基本不等式）2、设22力，试比较身的大小3、比较1 + 1%3与2108312s>0且-1）的大小4.若。-、仅弓而.

5、0-：（lga + lg勾.Rlg（W）,则P,0.&的大小关系是.二.解不等式题型三：解不等式5、解不等式：2.v* + lx + 4 > 04.v' 4.t +1 > 06、解不加8 -1)("2)日0。7、解不等式<t X一2”38.不等式ox：+/u+12>0的解集为凶1<工<2,则。b-9、关于工的不等式or-b>0的解柒为(L+s),则关于*的不等式心+，>0的解柒为 x-210、解关于、的不等式(。+1)工十1<0题型四：恒成立问题1k关于K的不等式"/。壮1)0恒成立，则。的取值范囹是12

6、、若不等式一2g: + 2垃+ 1>0对OWxSl的所有实数，,都成立.求m的取值范困.I o13、已知.t>0j>0且已，二】，求使不等式.try2加恒成立的实数四的取值范困.* y三.基本不等式而W孚2题型五：求最值14、（直接用）求下列函数的范域15、（配凑项与系数）D已知求的数、二的最大面 4,U-52）当0<x<4时，求y= *（8-2外的最大值.16、（耐克函数型）求 10（x>-1）的值域. X+1注意：在应用基本不等式求品（fl时，若遇等号取不到的情况，应结合函数«幻= +g的单啊性.X17、（用耐克由数单调性）求函数卜,A- +5

7、& +4的值域18、（条件不等式）I）若实数满足 十8=2.则券的最小值是1 92）已知工>0,j，>0,且一 + = 1,求x + .v的最小值.x y3）已知尤歹为正实数，且一+户-L求工1斤的最大值4）已知凡占为正实数，2"ng”3O,求的数发乙的最小值ab题理六：利用基本不等式证明不等式19、已知4Ac为两两不相等的实数，求证：+b-ah + bc + ca20、正数a. b, r 满足。6 + c=l,求证：(1 -a)(l - b)(l - c)>3abc2】、已知。、b、ceJi't 且a.b + c = l。求证：(，一11:一&qu

8、ot; -1题型七：均值定理实际应用间82：22、某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为2OOn?的三级污水处理池(平面图如 图)，如果池外图周壁建造单价为每米400元.中间两条隔罡建筑单价为每米248元，-L池底建造单价为每平方米对元，池壁的厚度忽略不计，试设讨污水池的长和宽，使总造价最低,并求出最低造价.不等式的基本知识参考答案2、P>q；43.当0<x< 1 或a> 二时，log, 3 > 21ogy 2;4当时. i+k>gi342k)g, 2;当 才;时,blog, 3 = 21ogt 2 J4, ： a >b> :.Iga > O

9、JgA >0(? = (lg</ + IgA) > vlg</- lg6 = pa + b f 1R = lg( ) > 1g、ab = 1g 0方=Q :.R.QR 22，皿.噌状产”(小吟6、(x|xilrtx = -2);7、(-1J)U(2J);8、不等式依：十小十12>0的解钱力仅卜1<2.则，_W_%(f ,-DU(22).10.祥：当。口。时,不等式的解集为k、>1；2分当"。时，a- ' xv- i）<o；当时，原不等式所汨"电】）。 aa不等式的解集为卜1cL（疝< o < 1, I

10、 < _" t 不,i a- 1 < x < j » 8anJ当。： <1,不等式的解集力M： <x<".10分1 i .一12夕)11, OS912.机 >一：)值域为(6-2jU2,，), x <、,厂 l,v ； 0 . . v - 4i 2 -1-"4. I 1； ; < -2*3 - 14/4.K-55-4x；当且仅当5-4x =一，即x = l时，上式等号成立，故当x = l时,'5=15-4x)3-82)j-x(8-2x)-l2x- (8-2x)(2a8-2x当2x8-2x,即汴

11、2时取等号 当”2时.yN8-2x)的最大值为公16.解析一：/7x*10 (x + 1尸+5(x +1)+4 ,4y (x 1) + 5X41x+lX>1axI> 0.y2 2J（X4-l）X + 5 = 9 （当日仅当”1 时取,一号）N x+1解析二：本H看似无i去运用够本不等式，可先投元，令LY+1,化道原式在分离求最值.）.二（一）、7（1-1）+10 f、5/ + 4=f 4 5当X>-1即kX+l>。时/之2JT + 5 = 9 (当H2即T = 1时取' ="号).17、解：=/(/>2), I«JV -f ：5, =

12、6 4 二，(f 22) . TZuVx: 14/因/>0,f；l.但/*海/= ±1不在区间2,+，）,故等号不成立，考虑单濡性.因为） = /；在区间卜,+8）单施速寇，所以在其子区词2,+s）为单飕团塔的故，故）之.所以，所求函数的值域为g'+不） 】瓦（条件不等式） 】）隹：3“和3'部县正跖3“ +3& 2 ；3”3> - 2丁.产* - 6当30-3S时等号成文，由。+ 8 = 2及3"-3卜得。=8=1即当。=b = l时，3°+3&的最小值星6.2)解 vx>0, v>0.- -Ux + P

13、(f )；' +9 3 + "+0>6 + o 6 y) X yy 9x 9当且仅当=一时，上式等号成立，又一十 = 1,可得=4,丁 = 12时，（3+）,4=16 x yx y,n-9 幅：。=30- lb30 劝 2b? + 3M "b 二b =6*1由。>Q得，0<A<15令/ =116, ob="W；/:.Jr，： =t,心18J归上当且仅当，=，8Pfr = 3. ”6时.等号成立.lo法二：由得：曲-ab = cS "2b?也ab：. 30 - nb：2lab令=庇则/+ 2近43M0, 夕亚什3g"）分后 .而二18,，4 4019、已知a,6,c为即两不相等的实数，求证：u，+ b' + c2 > ab + be + ca20.正数。，b.满足。» r=L求正（10）（1"1r3"br1 12品艺.上述三个不等式两边均为正，分另相乘，蹲N 2底空/旅二8.当且仅当。= 6 =。= 时取等号.2002解：若设污水池长为k米，则窗为 （米） 水池外88周壁长：2x+2 （米）中网硒长: 池底无积200目y-400(2x4 2 )*248 322 24. 80x 200-800(x1600+ 1600 -4480023.