高中数学圆的方程专题复习

1、高中数学圆的方程典型题型归纳总结类型一：巧用圆系求圆的过程在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。 常用的圆系方程有如下几种：以g,切为圆心的同心圆系方程（xpy二月” 0）（2）过直线：'了十劭十°二°与圆'+> +"+的+的交点的圆系方程了2+2+。工+与+尸+ 4函+为+（7）二0过两圆1' I 以1 和m2722/2 的交点的圆系方珥/+y" + 4；t+£/ + K +4（/ + / + 4+男,+马）二 0（4 H-1）此圆系方程中不包含圆直接应用该圆

2、系方程，必须检验圆心是否满足题意，谨防漏解。当工=一1时，得到两国公共弦所在直线方程©4）叶因-&）"囱-用=o例1：已知晓+> +"6丁+掰二°与直线工十2尸-3二°相交于产,0两点， 0为坐标原点，若 0PL°Q,求实数幽的值。分析：此题最易想到设出尸（孙访）'团孙乃），由。得到与+丁必=°,利用设而不求的 思想，联立方程，由根与系数关系得出关于型的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系 。尸"L°Q 不难得出。1在以F0为直径的圆上。而2。刚好为直线与圆的交点，选取过直

3、线与圆交点 的圆系方程，可极大地简化运算过程。解：过直线无十2/一3=0与圆/+y2 + x_6y +幽=0的交点的圆系方程为：? + X 6j+加+ 几。+ 2y- 3) = 0 gp$ +/+ (1+ 汽)工+ 2(4 3)y+加- 32 = 01+ /1 Q 依题意，°在以F0为直径的圆上，则圆心(2 ')显然在直线刀+ 2一3= °上，则+ 2(3- 3 = 0解之可得无=1又0(0,0)满足方程，则切一3几;0故羽;32222例2：求过两圆“十丁 =2：和+&-1) =16的交点且面积最小的圆的方程。解：圆i +丁 = 25和陵-以+&-1

4、)2二16的公共弦方程为?+/-25-(x-l)2 + Cy-l)2-16 = 0i 即"+2y-11 = 0过直线2工+21一口=0与圆/ +2 = 25的交点的圆系方程为25+(2x127-11) = 0 即/+/ + 2以+2制一。1、+25)=。依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心(一兄一兄)兄=_11必在公共弦所在直线2工+2少-11=°上。即-22-24+11=0则4代回圆系方程得所求圆方程/ 1Q /11.2 79*一7/ 二不例3:求证：m为任意实数时，直线(01-1伙+ (2»11-1»=01

5、-5恒过一定点匕 并求P点坐标。分析：不论m为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。解：由原方程得m(x + 2y 1) 一 (x + y 5) = 0, ix + 2y-l = 0 x+y-5=0解得;二.直线过定点P (9, -4)注：方程可看作经过两直线交点的直线系。例 4 已知圆 C: (x-1) 2+ 3-2)三25,直线/：(26+1) x+ (m+1) y-7m-4=0 (m£R).(1)证明：不论6取什么实数，直线/与圆恒交于两点；(2)求直线被圆。截得的弦长最小时/的方程.剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.(1)证明：

6、/的方程(x+y-4) +m (2x+y-7) =0.2>+卜-7=0, r 4二3,4二。，得 Ll即/恒过定点力(3, 1).圆心 C (1, 2), AC = V5 <5 伴径)，点力在圆C内，从而直线/恒与圆C相交于两点.(2)解:弦长最小时，/_L/4C,由攵=-5,.”的方程为24一产一5=0.评述：若定点”在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？思考讨论类型二：直线与圆的位置关系例5、若直线y = x + 7与曲线> = 二7有且只有一个公共点，求实数7的取值范围.解：曲线3 =)4一/表示半圆/ +/ =4(。之。),利用数形结合法，可得实数7的取值范围是

7、一 2 « 7 v 2 或 m = 2V2 .变式练习：1.若直线产x+k与曲线恰有一个公共点，则k的取值范围是. 解析：利用数形结合.答案：-lkwi或k=一四 例6圆(工-3)2+()，-3)2=9上到直线力+ 4)，-11 = 0的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解.或先求出直线4、/2的方程，从代数计算中寻找解答.解法一：圆。-3)2+()，-3)2=9的圆心为。|(3,3),半径r = 3 .设圆心。到直线3x + 4y-H = 0的距离为",则d =|3x3 + 4x3-ll|a/32+42=2<3如图，在圆心。同侧，与直线版+ 4)，-11 =。

8、平行且距离为1的直线乙与圆有两个交点，这两个交 点符合题意.与直线力+ 4)，-11 =。平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意.符合题意的点共有3个.解法二：符合题意的点是平行于直线3x + 4y-ll =。，且与之距离为1的直线和圆的交点.设所求m +11直线为 3x + 4y + 7 =。，则4 = += = 1, 6+4-/. m+11 = ±5,即，=一6,或? = 一16,也即/l：3x + 4y-6 = 0,或/?：3x + 4）'- 16 =0 .设圆。口3)2+()，-3)2=9的圆心到直线/1、。的距离为4、则3x3 + 4x3-6|_|3x3 +

9、 4x3-16|d = = 3, （1）=f = 1 32+4。.，32 +4。/】与。相切，与圆。有一个公共点；4与圆°】相交，与圆。有两个公共点.即符合题意的点共3 个.说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：13x3 + 4x3-111设圆心。到直线3x + 4y 11 = 0的距离为4,则4 = 一=- = 2<3 .V32+42,圆。到3x + 4y-ll = 0距离为1的点有两个.显然，上述误解中的"是圆心到直线3穴+ 4)，-11 =。的距离，dvr,只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1 -类型三：圆中的最值问题例7

10、：圆/ + y2 4x-4y -10 =。上的点到直线X +)，- 14 = 0的最大距离与最小距离的差是解：二圆*-2)2+()，-2)2 =18的圆心为(2, 2),半径 =3、反，.圆心到直线的距离=?=5上r , 直线与圆相离，.圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是(d + r) 一 (4 一 r) = 2r = 6y/2 .例8 (1)已知圆Q：(x-3)2+(y -4)2=1, P(x,y)为圆。上的动点,求d = M+ y?的最大、最小值.已知圆a：(x + 2)2 + y2=i, P(x,y)为圆上任一点.求匚的最大、最小值,求X2)，的最大、 x-1最小值.分析：(1)、

11、两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决.解:(1)(法工)由圆的标准方程。一3尸+。，-4尸=1.可设圆的参数方程为x = 3 + cos8. ,皿，八(8是参数). y = 4 + sin 8,则” =x2 + y2 =9 + 6cos + cos2 + 16 + 8sin + siir 0，,4= 26 + 6cose + 8sine = 26+10cos(®-0)(其中 tan0 = ).所以"max = 26 +10 = 36，d =26-10 = 16 .(法2)圆上点到原点距离的最大值4等于圆心到原点的距离小加上半径1,圆上点到原点距离的

12、最小 值为等于圆心到原点的距离由减去半径1 .所以4= 弄+ 1 = 6 .J2=V32 +42 -l=4所以“max = 36 ."mm = 16 .y-2 sin -2x-1 cos6-3人 sin-2.令=tcos-3x = -2 + cos6, / ”,八 。是参数. y = sin ?(法1)由(x + 2)2 + /=i得圆的参数方程：44得sin8fcos。= 23, J1 +八 sin(8-°) = 2-3,3 + y/33 V3所以 max -3' 'min -即匚 的最大值为史金，最小值为匕.x-144此时x-2y = -2 + cosC

13、 - 2sin6 = 2 +V5cos（6 +。）.所以X 2），的最大值为2 +逐，最小值为一2-、/5 .（法2）设 E = k,则履一） + 2 =。.由于P（x,y）是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所示, x-1两条切线的斜率分别是最大、最小值.由仁卜2二2匚得"*J1 + -24所以二的最大值为 三士最小值为三上.x-144令x-2y = f,同理两条切线在X轴上的截距分别是最大、最小值.由42二问=1,得机=2±括.岳所以x2），的最大值为2+行，最小值为一2一石.例9、已知对于圆/+。1）2=1上任一点0*,），），不等式x+y + dO恒成立，求实数，的取值范 围.设圆/+（y-l）2 =1 上任一点P（cos6, l + sin8） 8e0,2万） x = cos。, y = 1 + sin 6,/ x+y + mNO恒成立cos + l + sin + /H>0即z N (1 +cos。+ sin 8)恒成立.只须加不小于-（1 +。0§6+$山8）的最大值.设 it = -(sin 0 + cos8) -1 = -2 sin(6 +