FINTS第四章线性ARMA模型4ppt课件

1、模型定阶或识别n假设数据已经平稳化，下一步是确定模型的阶数。有两种方法，一种是根据随机过程的参数特征，一种是根据信息准则。n下面是几类随机过程的参数特征：三种随机过程偏自相关函数的特点三类过程的偏自相关函数和自相关函数 MAq） ARp） ARMAp，q）自相关函数 q步截尾 拖尾 拖尾偏自相关函数 拖尾 p步截尾 拖尾 定阶样本自相关函数的计算和判断TttyTy11)( )(11yyyyTktkTttk0/kk定阶H0：i =i+1 =0用前面介绍的方法计算出样本自相关系数 ，零假设成立时 近似服从正态分布N(0,1/T)所以近似5%显著水平下，每个 在两倍标准差之间，则不能拒绝零假设。 i

2、ii具体地说，假如-2/ p那么估计的偏相关系数近似服从正态分布N0，1/T）所以近似5%显著水平下，假如-2/T1/2 *k p成立 n评价模型的优劣准则TyyTitt12)(min根据信息准则进行模型识别(定阶)残差平方和最小化AIC (Akaikes information criterion) BIC(Schwartz Bayesian information criterion)原则n对自由度进行调整nk是模型中未知参数的个数,et是估计出的误差 TeTBICTeTkAICTttTkTtt12/12)/2exp(定阶： AIC准则和BIC准则不同的书对AIC和BIC使用不同的变形。经

3、常使用的有两种 AICp，q）=ln( )+2(p+q)/TBICp，q）=ln( )+(p+q)ln(T)/TT样本长度，如果有常数项p+q被p+q+1代替，ln表示自然对数。在ARMA模型中需要选择p和q，所以用p+q代替k。 是对噪声项方差的估计22TeTtt122定阶： AIC准则和BIC准则AICp，q）=2lnL/T+2(p+q)/TBICp，q）=-2lnL/T+(p+q)ln(T)/TLnL是模型的对数似然函数值Q是与参数无关的量。因为我们只关心使得AIC或BIC最小的值，所以忽略Q.带入对数似然函数表达式中，可以发现与前面的AIC和BIC的表达是一致的。 QTL)ln(2ln

4、2AIC和BIC判断步骤（1给定滞后长度的上限P和Q，一般取为T/10， Ln(T),（2修改样本区间使得滞后长度不出现负值。（3对任意一对滞后长度p=0，1，P，q=0，1，Q，分别估计模型ARMAp，q）（4代入上面的公式，计算出AIC(p，q)和BIC(p，q)（5最小值对应的p，q值作为ARMA模型的阶数。T用AIC和BIC准则确定阶数AIC准则-MA(1) q 0 1 2 3P 0 -7.415 -7.455 -7.426 -7.373 1 -7.39 -7.395 -7.422 -7.272 2 -7.433 -7.383 -7.174 -7.221 用AIC和BIC准则确定阶数B

5、IC-白噪声 q 0 1 2 3P 0 -7.415 -7.411 -7.338 -7.239 1 -7.346 -7.251 -6.998 -7.001 2 -7.345 -7.251 -6.998 -7.001 练习：nP179 15(9)极大似然估计:以AR(1)为例t=c+t-1 +t 假设 i.i.d.N(0, 2)估计: =( c, , 2) 知: y1,y2,yTE(1)=c/(1-)E(1-)2=2/(1-2) 极大似然估计当1的观测已知时，2的条件分布2=c+1 +2 （2|1= y1） N(c+y1, 2) )1/(2)1/(exp)1/(21);(22212211cyyf

6、Y2)(exp21),|(2212212|12ycyyyfYY极大似然估计Y1,Y2的联合分布密度函数，是条件密度和边际密度相乘f2，Y1 (y2，y1; )= f2|Y1 (y2|y1; ) f1 (y1; ) 类似的，已知y1,y2，3的条件分布 2)(exp21);|();,|(2223223|123,|23123ycyyyfyyyfYYYYY极大似然估计三者的联合分布f3，2，Y1 (y3，y2，y1; )= f3|Y2，Y1 (y3|y2，y1; ) f2|Y1 (y2|y1; ) f1 (y1; ) 一般给定y1,y2,yt-1，t的条件分布只和yt-1有关 2)(exp21221

7、2ttycy极大似然估计ft,Yt-1，,Y1 (yt, yt-1，,y1; )= f1 (y1; ) ft|Yt-1(yt|yt-1; ) Tt 22221222212121)1log(212)()log(2)2log(2)(cyycyTTlTttt（4.17）0, 0, 02llcl估计：满足下面的条件的解求解未知参数的方程是非线性的，如果只关心（2，T的条件联合分布，得到条件极大似然函数。极大似然估计0,0,02llcl同样通过解方程来得到未知参数的估计：这时得到的是线性方程组TtttycyTTl222122)()log(21)2log(21)(最小二乘估计法：计算例子- produce

8、 a stationary AR(2) process: yi=-0.6yi-1+0.80yi-2+xi and find the estimate of parametersMatlab code:nx = randn(1000, 1); ny = filter(1, 1 -0.6 0.08, x); %产生上述AR(2)过程nm = ar(y,2)模型的检验检验残差是否是白噪声过程1画出残差的折线图2画出残差的ACF,PACF3)计算统计量QBox-Pierce Q-检验其中，T为样本容量Ljung and BoxmkkTQ12mkkKTTTQ121)()2(检验Q检验1m主观给定，一般在

9、15到30之间，可令m=T1/22H0：t是白噪声过程3) H0成立时，统计量Q渐进服从2m-p-q)，假如 模型中包括常数项，那么Q渐进服从2(m-1-p-q)4Q检验会给出相应的P-值P-值0.05拒绝H0） Q检验图示真实临界值计算值卡方分布临界Q检验存在缺陷:经常不能拒绝零假设。把不是白噪声时，也误认为是白噪声检验练习例m=6，模型中有常数项，考虑下面的几个模型，哪个模型是合格的模型？给出其它几个模型Q检验统计量的自由度。(p+q) Q 自由度 P-value(1,0) 15.92 6-1-0-1 0.019(2,0) 11.82 0.249(0,1) 4.12 0.139(0,2)

10、6.94 0.21(1,1) 7.94 0.047模型选择一个好模型满足的条件每个解释变量都显著不等于0.残差是白噪声过程具有最小的AIC或BIC值练习：从下面的几个模型中选择一个最优模型 AR(1) AR(2) AR(3) ARMA(1,1) MA(2) 1 0.17 0.21 0.3 0.19 ( 0.0000) (0.0004) (0.002) (0.0024) 2 0.06 0.04 (0.0005) (0.003) 3 0.0005 (0.44) 1 0.05 0.48 (0.0007) (0.0034) 2 0.06 (0.009) AIC 607.3 592.5 615 598.4 609.5 BIC 609.9 594.3 607 593.6 612.6Q(8) P-值 0.000