函数零点问题培优练习

1、函数零点问题 培优练习1 已知函数 f(x)ln xx2 有一个零点所在的区间为 (k，k1) (kN*)，则 k的值为 ( ) A 1B2C3D4答案 C 解析 由题意知，当 x>1时， f(x)单调递减又因为 f(3)ln 31>0，f(4)ln 42<0，所以该函数的零点在区间 (3,4)内，所以 k3.2 函数 f(x) xcos x2在区间 0,4 上的零点个数为( )A 4B5C6D7答案 C 解析 当 x0时， f(x)0.又因为 x 0,4 ， 所以 0 x2 16.因为 5 <16<121， 所以函数 ycos x2在x2取2，32，52，72，

2、92时为 0， 此时 f(x)0，所以 f(x)xcos x2在区间 0,4 上的零点个数为 6.4已知函数函数有四个不同的零点从小到大依次为3、已知函数 f (x)2 x 1x 2x a(ex1ex 1)有唯一零点，则 a=111ABCD1232答案】 C7的取值范围为(A B答案】 ACD详解】根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像，可知要使函数有四个不同的零点，则有，且并且有从而可以确定则有5、已知 ，若关于 的方程 有三个实根，则实数 的取值范围是 （）A BCD【答案】 C 【详解】因为 ，所以 或 ,由图象得 有一个实根 0 ，所以要使 有两个不同非零实根，需 ，选 C.6若 ，

3、 分别是函数 ， 的零点，则下列结论成立的是（ ）A 【答案】 DBCD详解：由 ，得 ，其根 就是直线 与曲线 交点的横坐标， 由 ，得其根 就是直线 与曲线 交点的横坐标，因为 的图象关于 对称，且曲线 与曲线 关于 对称，所以 与 关于 对称，可得，故选D.7. 已知定义在R上的奇函数，满足f (2 x) f (x) 0 ，当 x0,1 时， f (x)log2 x，若函数F x f(x)sin x ，在区间1，m 上有 10 个零点，则 m的取值范围是(A 3.5，4 【答案】 AB 3.5,4C 5, 5.5D5，5.5解析】由 f0 可知函数 y f x 的图象关于点1,0成中心对

4、称，x 2 f x ，所以，函数y f x 的周期为 2 ，由于函数y f x 为奇函数，则 如下图所示：1log2 2 1，所以，2222y sin x 的图象121，51f 1 ，由图象可知， 函数 y f x 与函数 y sin x 在区间 1,m 上从左到右 10个交点22的横坐标分别为1、1、0、121、32、2、5、3、7 ，第11个交点的横坐标为 4 ，因此，实数 m2的取值范围是 3.5,4，故选A8已知函数 fa，1,e e3ln x的图象上存在关于 x轴对称的点，则实数 a 的取值范围是(A 0,e3 4B0,e13 2C2,e33D e 4,答案】 A解析】根据题意，若函

5、数x3a，1,e e与 x2xp 的图象上存在关于 x 轴对称的点，则方4程 x3a 3ln x 在区间1,e e上有解，化简3lnx 可得 a 13ln x ，的极值点，增函数，较可得，3x3 3ln x ，对其求导分析可得：当故函数间 1,ee上的值域为gx1时，3x2gx0，3ln x 有最小值，故函数 g x1,e3 3 ，若方程 ae3 4 ，则实数 a 的取值范围是9、已知偶函数 f (x)满足 f (x 1)3 x31，x又由 x1,e e，g0在x1有唯一x 为减函数，当1xe 时，0，gx为133ln1 1 ，又由3，3e3 3 比3ln x 有最大值 g ex3 3ln x

6、 在区间e3 4 ，故选 A。3，故函数3lnx 在区1,e e有解，必有e3 3 ，则f(x 1)，且当 x 0,1时， f(x)2x2 ，则关于 x的方程 f (x)10 |x|在 130,130 上根的个数是A.4个B. 6 个 C.8 个D. 10答案：.B10、函数，若方程f(x)mx 恰有四个不同的实数根，则实数m 的取值范围为A. (82 15,42 3) B.(42 3,82 15,)C. (4 2 3,82 15)D.(82 15,4 2 3)答案： .A11、由图象可知，由于 y 2 a x 2a 42 a x 2 ，该直线过定点 2,012已知函数 f x lg x a

7、2 x 2a 4 a 0 ，若有且仅有两个整数 x1、 x2 使得 f x1 0， f x2 0，则 a 的取值范围是( )A 0,2 lg3B 2lg3,2lg 2C 2 lg2,2D 2 lg3,2【答案】 A【解析】由 f x lg xa 2 x2a4 0 ，得 lgx 2 a x 2a 4 由题意可知，满足不等式lg x 2ax2a 4 的解中有且只有两个整数，即函数y lg x 在直线y 2 a x 2a 4 上方的图象中有且只有两个横坐标为整数的点，如下图所示：要使得函数 y lg x 在直线 y2a0 lg3 3 2 a2 a x 2a 4 上方的图象中有且只有两个横坐标为整数的

8、点，则有，即 a 2 ，解得 a 2 lg3 ，又 a 0 ，所以， 0 a 2 lg3 ，因此实 2a 4 2 a lg313、已知函数ln x f(x)= ，x关于 x的不等式 f2(x) + af(x)>0 只有一个整数解，则ln 3ln 21ln 2 ln 2 ln3ln 2 1A (,3ln22B ( , e C ， D2 2 3ln22，1e)数 a 的取值范围是0,2 lg3 ，故选 A a 的取值范围为(14已知函数, 函数 有四个不同的零点 且满足则 的取值范围为 解 析 】 作 函 数 图由图得所以15已知函数其中，若函数 的图象上恰好有两对关于y 轴对称的点， 则实

9、数 的取值范围为答案】7即 时， 与 ，有两个交点，恒过( 1， 0)，中 是函数的零点，所以必须满解得 故答案为：已知函数其中 ，若函数 的图象上恰好有两对关于y轴对称的点，17、已知关于 x 的二次方程 x2 2mx2m 10.(1)若方程有两根，其中一根在区间 ( 1,0)内，另一根在区间 (1,2)内，求 m 的范围； (2)若方程两根均在区间 (0,1) 内，求 m 的范围(3)若方程在区间 (0,1) 内有跟，求 m 的范围解 (1)由条件，抛物线 f(x)x22mx 2m1与 x 轴的交点分别在区间 (1,0)和(1,2)内，如图 (1) 所示，得16、设方程 2x+x+2=0

10、和方程 log 2 x +x+2=0 的跟分别为 p和q，若函数 f(x)(x+p)(x+q)+2， 则 f(0)，f(2)， f(3)的大小关系为。即 51即 m .62(2)抛物线与 x 轴交点均落在区间 (0,1)内，如图 (2)所示f 0 2m 1<0，f 1 2>0，f 1 4m 2<0，f 2 6m 5>0.m12，mR，1 m<2，5 m>6.列不等式组1f 0 >0 ， f 1 >0 ， 0， 0< m<1.m>2，1m>2，m1 2或 m1 2， 1<m<0.即 2<m 1 2.18、若

11、关于 x 的方程 22x2xaa10 有实根，求实数 a的取值范围 解 方法一 （ 换元法 ）设 t2x （t>0），则原方程可变为 t2ata10，（*） 原方程有实根，即方程 （*） 有正根令 f（t） t2 at a1.若方程 （*） 有两个正实根 t1， t2， a2 4 a1 0，则 t1t2 a>0，解得 1<a 22 2；215t1·t2 a1>0，若方程 （*） 有一个正实根和一个负实根 （负实根，不合题意，舍去 ），则 f（0）a1<0，解得 a<1； 当 a 1 时， t 1， x 0 符合题意综上， a 的取值范围是 （ ，2

12、2 2方法二 （分离变量法 ）22x1由方程，解得 a 22x 11，设 t 2x （t>0），则 a t21t1t2t11 2 t 1 t21 ，其中 t 1>1，由基本不等式，得 （t1）t212 2，当且仅当 t 21 时取等号，故 a22 2. 探究提高 对于 “a f（x）有解”型问题，可以通过求函数 y f（ x）的值域来解决19、已知函数 f （x）=则方程 ffx） +1=0 解的个数是答案：4由题意知： f （f （ x） =1，可解得： f（x）=2 或 f （x）= 当 f （ x） = 2 时， f （ x）图形与直线 y= 2 有两个交点； 当 f （ x

13、） = 时， f （ x）图形与直线 y= 有两个交点； 综上， f（f（x）+1=0有 4 个解；20、 若f (x)为偶函数，且当 x 0时， f(x) x2 4x 1,函数g(x) f 2(x) mf(x) 2，(1)若m 1，则函数g(x)的零点个数为 (2)若函数g(x)恰有7个零点，则实数 m的值为 (3)若函数 g(x)恰有 8个零点，则实数 m的取值范围为 _答案：( 1)6 (2) 1( 3)(1,6)ln( x 1)， x 121、函数 f(x)，若 g(x)f(f(x)a有 3 个不同零点，2x 1，x 1答案： 1, )a 的范围为 。22、已知函数(I )若函数 f(

14、 x)满足 f( 1 x) f( 2 x)，求使不等式 f (x) g(x)(II )若函数 h(x) f(x)g(x)2 在( 0,2)上有两个不同的零点 解：(I)由于 f(1+x)=f(2-x)知函数 f(x)关于 x 3对称，2即 b 3 ，解得 b=- 3，于是 f(x)=x2- 3x+222x2 1，x1或 x 1，g(x) 21 x2， 1 x 1，当 x-1，或 x1 时，由 f(x)g(x)有 x2-3x+2x2-1，解得 x1， 此时 x 的范围为 x - 1，或 x=1 1当-1<x<1 时，由 f(x)g(x)有 x2- 3x+21-x2，解得 x 或 x1

15、，成立的 x 的取值集合； 求实数 b 的取值范围。3分 此时 x 的范围为 - 1<x 1 21 综上知，使不等式 f(x)g(x)成立的 x 的取值集合为 x|x 或 x=1 27分II) h(x)2x2 bxbx5，3，x11或 x 1，x 1，b=0 时，h(x)2x25，3，1或 x 1，1或 x 1，显然 h(x)>0 恒成立，不满足条件 1 x 1.9分b 0 时，函数(x)= bx+5 在(0，1)上是单调函数，(x)在(0，1)上至多一个零点，不妨设如果 0<x1<1，1x2<2 时，则 (0) (1)0<x1<x2<20 ，且

16、 h(1)h(2) 0，即(b 5)(2b 11) 0，解得2 b 511经检验 b 11时， h(x) 的零点为2若 1 x1<x2<2 时，1101，211舍去)， 11<b52，012，b421- 5 b 2 6 综上所述 b 的取值范围为 11 b 2 6 12 分223已知 a 1， f (x) (sin x a)(a cosx) 2a .(1)求当 a 1时， f (x) 的值域；(2)若函数 f (x) 在0, 内有且只有一个零点，求 a的取值范围 .【答案】( 1) f ( x)的值域为 3, 2；(2)1 a 2 1或a2 6 .222 . f (HJ H Kl£>x£Jlr>og 七十 M I .K+Lrv