理论力学-第2章平面力系1(1)

1、主讲教师主讲教师 田淑侠田淑侠电电 话：话：1537876205215378762052EmailEmail：本章学习指导力系力系：许多力、一群力的总称。：许多力、一群力的总称。本章开始研究力系的简化、合成与平衡条件。本章开始研究力系的简化、合成与平衡条件。基本力系基本力系汇交力系汇交力系力偶系力偶系空间汇交力系空间汇交力系平面汇交力系平面汇交力系空间力偶系空间力偶系平面力偶系平面力偶系本章用本章用“几何法几何法”和和“解析法解析法”研究平面力系的简化、合成研究平面力系的简化、合成与平衡条件。与平衡条件。(简单力系简单力系)平面力系：当力系中各力都处于同一平面时，称该力系为平面平面力系：当力系

2、中各力都处于同一平面时，称该力系为平面力系。力系。本章学习指导学习重点学习重点课内学时：课内学时：2 2 学时学时课时安排课时安排学习目标学习目标掌握力矩和力偶、力偶矩等基本概念及其性质；掌握力矩和力偶、力偶矩等基本概念及其性质；能熟练地计算力在坐标轴上的投影及力对点之矩；能熟练地计算力在坐标轴上的投影及力对点之矩；掌握平面汇交力系平衡条件即平衡方程；掌握平面汇交力系平衡条件即平衡方程；掌握合力矩定理；掌握合力矩定理；掌握平面力偶的等效定理。掌握平面力偶的等效定理。力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影平面汇交力系合成方法及平衡条件平面汇交力系合成方法及平衡条件力矩及力偶矩计算方法力矩及力偶矩计

3、算方法34一. 多个汇交力的合成-力多边形法则 1.力的三角形法则力的三角形法则 三角形三角形abc称为力三角形称为力三角形;上述作图方法称为上述作图方法称为力力的三角形法则的三角形法则RFab1Fc2FA1F2FRFr52、力的多边形法则、力的多边形法则力多边形中表示合力矢量的边称为力多边形的封闭边。力多边形中表示合力矢量的边称为力多边形的封闭边。各力矢与合力矢构成的多边形称为各力矢与合力矢构成的多边形称为力多边形力多边形。用力多边形求合力的作图规则称为用力多边形求合力的作图规则称为力的多边形法则力的多边形法则。(基边是任意的基边是任意的,多边形形状是任意的多边形形状是任意的,合力唯一合力唯

4、一) 一. 多个汇交力的合成-力多边形法则各力矢依此各力矢依此首尾相连首尾相连6 结论：平面汇交力系合成的最后结果是一个力（称为结论：平面汇交力系合成的最后结果是一个力（称为合力），它的作用线通过力系的汇交点，其大合力），它的作用线通过力系的汇交点，其大小和方向由力多边形的封闭边来确定，即等于小和方向由力多边形的封闭边来确定，即等于各力矢的矢量和。各力矢的矢量和。用矢量式表示为：用矢量式表示为：121nRniiFFFFFrrrrr合力箭头与分力箭头对顶合力箭头与分力箭头对顶一. 多个汇交力的合成-力多边形法则7 二. 平面汇交力系平衡的几何条件平衡条件平衡条件0iFr平面汇交力系平衡的必要和充

5、分条件是：该力系的平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的力多边形自行封闭，或该力系的合力等于零。即力多边形自行封闭，或该力系的合力等于零。即1）图解法：即按比例先画出封闭的力多边形，然后，量得所要求）图解法：即按比例先画出封闭的力多边形，然后，量得所要求的未知量；的未知量；2）几何法：也可根据图形的几何关系，用三角公式计算出所要求）几何法：也可根据图形的几何关系，用三角公式计算出所要求的未知量，这种解题方法称为几何法。的未知量，这种解题方法称为几何法。求解平面汇交力系的平衡问题方法：求解平面汇交力系的平衡问题方法：8 已知：已知：AC=CBAC=CB，P P=10kN,=10kN,各杆自

6、重不计；各杆自重不计；求：求：CDCD杆及铰链杆及铰链A A的受力的受力. .解：解：CDCD为二力杆，取为二力杆，取ABAB杆，画受力图杆，画受力图. .用几何法，画封闭力三角形用几何法，画封闭力三角形.按比例量得按比例量得 28.3,22.4CAFFkNkN例例2-12-1或或二. 平面汇交力系平衡的几何条件FF9 X=Fx=Fcosa Y=Fy=Fsina=F cos cos=Fx/F sina= cos =Fy/FxyxyFFFF iF jrrrrrijFr一. 力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解10 x方向合力：方向合力：Rx y方向合力：方向合力：Ry124xRXXXX1234yRY

7、YYYY yyRFxxRF二. 平面汇交力系合成的解析法11 则，合力的大小为：则，合力的大小为：2222RRxRyxyFFFFF方向为：方向为： cos,xRxRRRFFFiFFrr作用点为力的汇交点作用点为力的汇交点. .cos,RyyRRRFFFjFFrrtgR yyRxxFFFF11tgtgRyyRxxFFFF二. 平面汇交力系合成的解析法12求：此力系的合力求：此力系的合力.解：用解析法解：用解析法1234cos30cos60cos45cos45129.3RxixFFFFFFN1234sin30sin60sin45sin45112.3RyiyFFFFFFN22171.3RRxRyFF

8、FNcos0.7548RxRFFcos0.6556RyRFF40.99 ,49.01例例2-22-2已知：图示平面汇交力系；已知：图示平面汇交力系； 二. 平面汇交力系合成的解析法1F2F3F4F13平衡条件平衡条件0RF r平衡方程平衡方程0 xF 0yF 三. 平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系解析法平衡的必要与充分条件是：力系中各平面汇交力系解析法平衡的必要与充分条件是：力系中各力在两个坐标轴上投影的代数和等于零。力在两个坐标轴上投影的代数和等于零。 14 已知：已知：求：系统平衡时，杆求：系统平衡时，杆ABAB、BCBC受力受力. .例例2-3 2-3 系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑

9、轮大小，系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，P P=20kN=20kN；解：解：ABAB、BCBC杆为二力杆，杆为二力杆， 取滑轮取滑轮B B（或点（或点B B），画受力图），画受力图. .用解析法，建图示坐标系用解析法，建图示坐标系0ixF 12cos60cos300BAFFF12FFP12cos30cos 600BCFFF0iyF 解得：解得：27.32BCFkN解得：解得：7.321BAF kN四. 实例15 例例2-42-4求图示平面刚架的支反力。求图示平面刚架的支反力。解：以刚架为研究对象，受力如图解：以刚架为研究对象，受力如图，建立如图坐标。，建立如图坐标。0:cos00:si

10、n0XAYABFRPFRY由几何关系，由几何关系，52 5sin,cos55解得解得51,22ABRP YPPrABARrBYrxyPrABm4m8四. 实例16 例例2-5 2-5 ABCDEPr如图所示为一拔桩装置。在木桩的如图所示为一拔桩装置。在木桩的A点系一点系一绳，将绳的另一端固定在绳，将绳的另一端固定在C点，然后又在绳点，然后又在绳的的B点系另一绳，此绳的另一端固定在点系另一绳，此绳的另一端固定在E点点，然后在绳的，然后在绳的D点用力向下拉，这时绳的点用力向下拉，这时绳的BD段是水平的，段是水平的，AB段是铅垂的，段是铅垂的，DE段与水平段与水平线、线、CB段与铅垂线成等角段与铅垂

11、线成等角 （当（当 很小时，很小时， ）。如向下拉力）。如向下拉力P=80N，求，求AB绳作用于桩上的拉力。绳作用于桩上的拉力。解：分别以解：分别以D、B两点为研究对象，受力如图，建立如图坐标。两点为研究对象，受力如图，建立如图坐标。0.1radtgABCDEPrxy1Tr2Tr2Tr3Tr4Tr对对D点：点：0:YF1800sinPTN0:XF21cos800TTNsin0.11sin0TP21cos0TTcos1四. 实例17 对对B点：点：0XF238000sinTTN0YF43cos8000TTN绳子作用在桩上的拉力为绳子作用在桩上的拉力为8KN。ABCDEPrxy1Tr2Tr2Tr3

12、Tr4Tr32sin0TT34cos0TT四. 实例18 一. 平面力对点之矩（力矩）O称为称为矩心矩心，O到力的作用线的垂直到力的作用线的垂直距离距离h称为称为力臂力臂1.1.大小：力大小：力F F与力臂的乘积与力臂的乘积2.2.方向：转动方向方向：转动方向两个要素：两个要素：0MFFh r0MFrFrrr 力对点之矩力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反臂的乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负。常用单位之为负。常用单位Nm或或kNm。19上式适用任何有合力存在的力系

13、。在实际中非常实用。上式适用任何有合力存在的力系。在实际中非常实用。二. 合力矩定理与力矩的解析表达式合力矩定理合力矩定理：平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。即所有各分力对于该点之矩的代数和。即01201nRoooniiMFMFMFMFMFrrrrrK OOyOxMFMFMFrrrORiiyiixMFx Fy Fr力矩的解析表达式力矩的解析表达式sincosyxx Fy Fx Fy F 20例例2-62-6求求: : .OMFr解解: : cos78.93OMFF hF r N mr按合力矩定理按合力矩定理cos

14、78.93OOtOrMFMFMFF rN mrrr20 , 60r mm已知已知: :F=1400=1400N, , 直接按定义直接按定义rOhFrOFtFrF 二. 合力矩定理与力矩的解析表达式21 支架如图所示，已知支架如图所示，已知F=100N,AB=AC=30cm,CD=15cm, 30求求 对对A、B、C三点之矩。三点之矩。FrFrABCDAdCd解：由定义解：由定义()sin30225()sin3075AACCmFFdF ADN mmFFdF CDN m oorr由合力矩定理由合力矩定理()cos30sin3048.48BxymFFABFADFABFADN m oor例例2-72-

15、7二. 合力矩定理与力矩的解析表达式22 求：合力及合力作用线位置求：合力及合力作用线位置。解：取微元如图解：取微元如图xqql 012lxPqxqll d设合力作用线距左端设合力作用线距左端h220013llxP hqx xqxqlldd代入上式得代入上式得23hl已知：已知：q q、l l例例2-82-8由合力矩定理由合力矩定理12Pql二. 合力矩定理与力矩的解析表达式23一. 力偶与力偶矩1.1.力偶力偶力偶：大小相等、方向相反且不共线的平行力所组成的力系，力偶：大小相等、方向相反且不共线的平行力所组成的力系， 这个特殊的力系（没有合力、又不平衡）称为力偶。这个特殊的力系（没有合力、又

16、不平衡）称为力偶。 记作：记作：例如：双手转动汽车方向盘；拧螺丝，双手转动扳手等，都是力偶的作用。例如：双手转动汽车方向盘；拧螺丝，双手转动扳手等，都是力偶的作用。力偶作用效应：可使刚体转动。力偶作用效应：可使刚体转动。,F Fr r 242.2.力偶矩力偶矩力偶作用面：由力偶的两个力的作用线所决定的平面；力偶作用面：由力偶的两个力的作用线所决定的平面；力偶臂：力偶的两个力的作用线间的垂直距离，一般用力偶臂：力偶的两个力的作用线间的垂直距离，一般用 d d 表示。表示。力偶的转向：力偶使静止刚体转动的方向；力偶的转向：力偶使静止刚体转动的方向；力偶矩：在平面力偶系的情况下，力偶矩：在平面力偶系

17、的情况下， 力偶矩用代数量表示，力偶矩用代数量表示，即：即： = = d d “ “”表示逆时钟方向；表示逆时钟方向； “ “”表示顺时钟方向；表示顺时钟方向；1222MF dF dABC 力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力偶臂的乘积，力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的转向。正负号表示力偶的转向。 一. 力偶与力偶矩25 可见，力偶对物体的作用效应取决于：可见，力偶对物体的作用效应取决于： （1 1）力偶矩大小）力偶矩大小 （2 2）力偶在作用面内的转向）力偶在作用面内的转向可称为力偶作用的两要素。可称为力偶作用的两要素。一. 力偶与力偶矩26

18、二. 力偶与力偶矩的性质1.1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零力偶在任意坐标轴上的投影等于零. .2.2.力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变MF d 11111,OOOMF FMFMFFdxF xFdr rrr222,OMF FFdxF xF dFdr r力矩的符号力矩的符号 OM Fr ，力偶矩的符号，力偶矩的符号 ,M F Fr r27 3.3.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力臂的长短，对刚，且可以同时改变力偶中力的大小与力臂的长短

19、，对刚体的作用效果不变体的作用效果不变. .（同平面内力偶的等效定理）（同平面内力偶的等效定理）= = = =二. 力偶与力偶矩的性质28 = = = = =4.4.力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡. .二. 力偶与力偶矩的性质29三. 平面力偶系的合成和平衡条件1.1.平面力偶系的合成平面力偶系的合成已知：已知：123,;MMM11MF d33MF d 22MF d123RFFF123()RFFF 123123()MRdFFFdMMM推广得：推广得：12niMMMMM 结论：平面力偶系合成的结果还是一个力偶（称为合力偶），合结论：平面力偶系合成的结果还是一

20、个力偶（称为合力偶），合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩的代数和。力偶矩等于力偶系中各分力偶矩的代数和。 30平面力偶系平衡的必要与充分条件是：平面力偶系平衡的必要与充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零。力偶系中各力偶矩的代数和等于零。0iM上式称为平面力偶系的平衡方程。上式称为平面力偶系的平衡方程。2.2.平面力偶系的平衡条件平面力偶系的平衡条件即：即： 三. 平面力偶系的合成和平衡条件31 四. 实例例例2-92-912310,20,200;MMMlN mN mmm求：求： 光滑螺柱光滑螺柱ABAB所受水平力所受水平力. .已知：已知：0iM 1230AF lMMM解得解得123200A

21、BMMMFFlN解：以工件为研究对象。工件在水平面内解：以工件为研究对象。工件在水平面内受三个力偶和两个螺柱的水平约束力的作受三个力偶和两个螺柱的水平约束力的作用。根据力偶系的合成定理，三个力偶合用。根据力偶系的合成定理，三个力偶合成后仍为一力偶，必有一力偶与它平衡。成后仍为一力偶，必有一力偶与它平衡。因此螺柱因此螺柱A和和B的水平约束力必组成一力偶的水平约束力必组成一力偶。因为因为F FA A为正值，故所假设的方向是正确的。为正值，故所假设的方向是正确的。由力偶系的平衡条件知：由力偶系的平衡条件知：32 例例2-102-10AB1m2m3mARrBRr求图示简支梁的支座反力。求图示简支梁的支座反力。AB1m2m3ml解：以梁为研究对象，受力如图。解：以梁为研究对象，受力如图。12300iAMR lmmm解之得：解之得：123ABmmmRRl由力偶系平衡条件知：由力偶系平衡条件知：四. 实例33 系统如图，系统如图，ABAB杆上作用矩为杆上